理論力學課件-理力第12章2新

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程或dt(e)z

(Fi

)d

(z

idt

M

(F

(e)

)Jz

dωiz(e))M

(F或

J

zdz

i(e))M

(FJ2z

dt

2剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程幾點說明：（1）只有對單個定軸轉(zhuǎn)動的剛體，才能使用剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程；例O2RPJOPaO2RJOFT′FTJO

FT

RFT

PJO

？

PR×i(F(e)

)d

(（2）若體做勻速轉(zhuǎn)動；z

i(e))M

(F，則Jzω

常量；若Jz不變，物（3）若常量，則z；若J

不變，物體做勻變速轉(zhuǎn)動；z

i(e))M

(F常量zJ

若Jz小，大，物體運動狀態(tài)易改變；若Jz大，小，物體運動狀態(tài)不易改變。dtiz(e))M

(FJz儀器、儀表鍛壓設(shè)備飛輪通常安裝在經(jīng)常受到?jīng)_擊的機器上，如往復式活塞發(fā)、沖床和剪床等。制造飛輪時，要求盡從定軸微分方程，看飛輪的作用可能將質(zhì)量分布在輪緣上，以使轉(zhuǎn)動慣量盡可能大，這樣，機器受到?jīng)_擊時，角加速度很小，從而可以保持比較穩(wěn)定的運轉(zhuǎn)狀態(tài)。JOdt2d2

mga

sin例1

已知：物理擺（復擺），m,

JO

,

a求：微小擺動的規(guī)律。解：由剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程得微小擺動時，

sin

JO

mgadt

2d2

0Od2

mgadt

2

J即：sin(JOO通解為

mgat

)O

稱角振幅，稱初相位，由初始條件確定.1：

求復擺微小擺動的周期。擺動微分方程為0Od2

mga

dt

2

Jnmga

JO則圓頻率為

實驗法測轉(zhuǎn)動慣量的依據(jù)周期為nJOmga

2

mgaJO

2或求：B處繩子突然剪斷瞬時，B點加速度與A處約束反力。例2

已知：均質(zhì)細長桿，m

,

l

,

JAAB解：（1）

B處繩子剪斷瞬時，AB受力與運動量如圖示。由剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程得mgFAxFAy2JA

mg

l2JA繩子剪斷瞬時，解得：

mglBB于是

a

a

Al

=

2Jmgl2方向如圖示aB突然解除約束問題如何求剪斷繩子前后鉸鏈A處約束反力的改變量？由質(zhì)心運動定理得（2）a

CnCA4Ja

l

=

mgl22maFC

AxnCAyma

mgF解得：

F

=0AxFmgAy-A4Jlm

g22ABmgFAxFAyaCCFOx

mgFOy例3

已知：均質(zhì)細長桿,，在m力,矩l

M,

J作O

用下繞水平軸O在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動,時

求：轉(zhuǎn)動角速度與

的關(guān)系A(chǔ)解：取桿為研究對象任一瞬時，受力與運動量如圖示。O由剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程得M2

M

-mg

l

cosdω

dtJO（1）dt（1）式變?yōu)樽髯儞Q

dωd

dt

dω

·

dd

dωd2

M

-mg

l

cosJ

dωO解得分離變量得d2

M

-mg

l

cosJ

dωOωddl2-mgMJOcos

兩邊取定積分得ωωdl2-mg

Mcos

0JO

d

0ω

2M

-mglsinJOFOx

mgFOyAOM得由

ω

2M

-mglsinJO2M

-mglsinJOd

dt分離變量,兩邊取定積分得dtt02M

-mglsinJOd

n0積分可解得t2：

求任一位置支座反力1：

求轉(zhuǎn)n圈所用的時間mgFOxFOyAOM例4由剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程得O1r1，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2轉(zhuǎn)動，其半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2，轉(zhuǎn)動慣量分別為J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求輪O1角加速度。r2O2MMO1O2解：分別以兩輪為研究對象受力與運動量如圖示1

12

1J

M

F

r運動學補充條件

1r1

2r2注意到

F

F

，聯(lián)立求解以上三式得

2

1Mr2

J

r2

J

r21

2 2

1F′FO1yFFnm2gFO2xFO1xm1gFO2yF′n12z

i

ii

1J

m

r

2§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量二、轉(zhuǎn)動慣量的確定計算法一、轉(zhuǎn)動慣量定義n實驗法復擺法觀察法（P281第12-8）lz1Cnz

i

ii

1J

m

r

21、均質(zhì)且簡單形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量2Jzr

dm積分法(1)均質(zhì)細直桿的軸轉(zhuǎn)動慣量設(shè)均質(zhì)細桿長

l，質(zhì)量為m,如圖選取x軸，并取微段dx,

則md

m

d

xl2112l2lz1mlJ

d

x

x2

ml2（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)細圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R由轉(zhuǎn)動慣量定義J

m

r2

R2

m

mR2z

i

i

i（3）均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)圓板的質(zhì)量為m，半徑為R2Jz2Rr

dm

0

R2m·r·r2dr=

1

mR2Rm2

·r

dr如圖取微元，微元質(zhì)量為于是圓板轉(zhuǎn)動慣量為2zzJ

m回轉(zhuǎn)半徑可查機械設(shè)計手冊得到2.由回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）計算轉(zhuǎn)動慣量在工程上常用回轉(zhuǎn)半徑來計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量，其定義為mJ

zz

如果已知回轉(zhuǎn)半徑，則物體的轉(zhuǎn)動慣量為zzCJ

J

md

23．由平行軸定理計算轉(zhuǎn)動慣量dzCCz剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心、且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。剛體對于通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小4．由組合法計算轉(zhuǎn)動慣量當物體由幾個幾何形狀簡單的物體組合而成時，可用組合法計算整體的轉(zhuǎn)動慣量。即先計算各部分的轉(zhuǎn)動慣量，然后再疊加起來。當物體可以看成由一個完整的圖形挖去一部分得到時，挖去部分按負質(zhì)量計算，這種方法稱為負質(zhì)量法。思考直接采用積分法1、如何計算均質(zhì)細桿對桿端軸的轉(zhuǎn)動慣量？zZClzC利用平行移軸定理3zJ

1

ml

2思考2、如何計算均質(zhì)矩形板、均質(zhì)圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量？在保持質(zhì)量不變的前提下，將矩形板沿軸方向壓縮成一細桿；將圓柱體沿軸線方向壓縮成一薄圓盤。abyxCRhzC思考3、如何計算均質(zhì)剛體對任意兩個平行軸的轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系？在計算均質(zhì)剛體對任意兩個平行軸的轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系時，必須借助平行軸定理，而不能直接應(yīng)用平行軸定理。dz2z1Ca

bJ2

J1

m(b

a

)2

2lRC2C1O例2已知均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別為m1、m2

，桿長為l；盤的半徑為R。桿與盤固結(jié)為一體，求Jo解：

Jo=Jo桿+

Jo

盤J

1

ml23O桿2JJc

m2l

2O盤222212lmRm2222211213lRm

lJom

m

例3

槽鋼截面尺寸如圖示，單位面積質(zhì)量為，求Jylll2l2lyABCDEFG解：ABCD部分質(zhì)量為1m

3l

·

4l12

l2131（y1J

m3l）236

l

4EFGH部分質(zhì)量為2m

-2l·

2l

-4

l2y2J

2112m（32l）2

m（2

2l）2

52

l

4+

Jyy1

J

Jy2563

l4負質(zhì)量m1m2c1l1c2l2課堂練習1、圖示復合細直桿由兩部分組成，第一段質(zhì)量為m1，長為l1；第二段質(zhì)量為m2，長為l2；求該桿對于桿端軸z的轉(zhuǎn)動慣量。zJz2