第5章 平面問(wèn)題有限元分析 等參單元課件

2022/11/5平面問(wèn)題有限元分析-等參單元1第五章平面問(wèn)題有限元分析

等參單元曹國(guó)華5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)5.2四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣5.3四節(jié)點(diǎn)矩形單元?jiǎng)偠染仃?.4等參單元2022/11/2平面問(wèn)題有限元分析-等參單元1第五章平面

雖然三角形單元具有很好的“適應(yīng)性”，幾乎任何復(fù)雜邊界的彈性體總可以劃分為三角形，并且三角形單元計(jì)算公式簡(jiǎn)單，但精度較低。5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)三角形單元間雖然能夠保證位移連續(xù)，但應(yīng)力的精度較差，不能很好的反映彈性體內(nèi)應(yīng)力的準(zhǔn)確分布規(guī)律。為了提高計(jì)算精度，準(zhǔn)確反映彈性體內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)，可以采用一些較精密的單元類型。

本節(jié)將介紹常用的矩形單元，它采用了比常應(yīng)變?nèi)切螁卧螖?shù)更高的位移模式，因而可以更好地反映彈性體中的位移狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)。另外，對(duì)一些邊界比較規(guī)則且呈直線的平面結(jié)構(gòu)的分析，采用矩形單元較合適。這時(shí)單元總數(shù)可以減少，相應(yīng)的原始數(shù)據(jù)準(zhǔn)備工作和單元特征計(jì)算工作均可節(jié)省。2022/11/52平面問(wèn)題有限元分析-等參單元雖然三角形單元具有很好的“適應(yīng)性”，幾乎任何如圖所示的矩形單元，不失一般性，令矩形單元的長(zhǎng)、寬分別為2a、2b。矩形單元有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，共8個(gè)自由度，即共有8個(gè)節(jié)點(diǎn)位移，采用類似三角形單元的分析方法，同樣可以完成對(duì)矩形單元的力學(xué)特性分析。5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/53平面問(wèn)題有限元分析-等參單元如圖所示的矩形單元，不失一般性，令矩形單元的長(zhǎng)、這里引入一個(gè)局部坐標(biāo)系、，這樣可以推出比較簡(jiǎn)潔的結(jié)果。如圖所示，取矩形單元的形心o為局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)，和軸分別與整體坐標(biāo)軸x和y平行，兩坐標(biāo)系存在有以下的坐標(biāo)變換關(guān)系式中：、——矩形形心處坐標(biāo)。矩形形心處坐標(biāo)以及矩形長(zhǎng)、寬可由下式計(jì)算5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/54平面問(wèn)題有限元分析-等參單元這里引入一個(gè)局部坐標(biāo)系、，這樣可以推出比較5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)在局部坐標(biāo)系中，節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)是，其值分別為±1。如節(jié)點(diǎn)1在局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（－1，－1）。2022/11/55平面問(wèn)題有限元分析-等參單元5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-由于矩形有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，共8個(gè)自由度，可以選擇有8個(gè)待定參數(shù)的位移模式，如下該函數(shù)稱為雙線性函數(shù)。將節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值代入上式，可列出四個(gè)節(jié)點(diǎn)處的位移分量，即兩組四元聯(lián)立方程，由此可求得位移模式中的8個(gè)未知參數(shù)1，2，…，85.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/56平面問(wèn)題有限元分析-等參單元由于矩形有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，共8個(gè)自由度，可以選擇有2022/11/57平面問(wèn)題有限元分析-等參單元3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/27平面問(wèn)題有限元分析-等參單元3(1,1)求出α1,α2,α3,α4；α

5,α

6,α7,α85.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/58平面問(wèn)題有限元分析-等參單元求出α1,α2,α3,α4；α5,α6,α7式中：——矩形單元的形函數(shù)，i＝1，2，3，4；——形函數(shù)矩陣；——單元節(jié)點(diǎn)位移列陣，，i＝1，2，3，4。5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)2022/11/59平面問(wèn)題有限元分析-等參單元式中：——矩形單元的形函數(shù)，i＝1，2，3，4；——形（i＝1，2，3，4）形函數(shù)的表達(dá)式為5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)2022/11/510平面問(wèn)題有限元分析-等參單元（i＝1，2，3，4）形函數(shù)的表達(dá)式為5.1四節(jié)點(diǎn)矩形引入符號(hào)，，i＝1，2，3，4，則上式可以統(tǒng)一寫為可以看出，矩形單元的形函數(shù)具有和三角形單元形函數(shù)同樣的性質(zhì)，即：形函數(shù)在各單元節(jié)點(diǎn)上的值，具有“本點(diǎn)是1、它點(diǎn)為零”的性質(zhì)；在單元內(nèi)任意點(diǎn)上，四個(gè)形函數(shù)之和等于1；單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)。有關(guān)證明過(guò)程比較簡(jiǎn)單，請(qǐng)自行推導(dǎo)。5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/511平面問(wèn)題有限元分析-等參單元引入符號(hào)，有了單元的位移模式，就可以利用平面問(wèn)題的幾何方程求出單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變，將位移代入幾何方程，得式中的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣的子塊（i＝1，2，3，4）為5.2四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/512平面問(wèn)題有限元分析-等參單元有了單元的位移模式，就可以利用平面問(wèn)題的幾何方程求出單元5.2四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/513平面問(wèn)題有限元分析-等參單元5.2四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/213平面求得應(yīng)變之后，再將應(yīng)變代入物理方程，便可推導(dǎo)出以節(jié)點(diǎn)位移表示的應(yīng)力，如下式中，應(yīng)力矩陣為其子塊（i＝1，2，3，4）為5.2應(yīng)四節(jié)點(diǎn)矩形單元變與應(yīng)力矩陣2022/11/514平面問(wèn)題有限元分析-等參單元求得應(yīng)變之后，再將應(yīng)變代入物理方程由前面的討論可以發(fā)現(xiàn)，四邊形單元的位移模式比常應(yīng)變?nèi)切螁卧捎玫木€性位移模式增添了項(xiàng)（即相當(dāng)于xy項(xiàng)），把這種位移模式稱為雙線性模式。在這種模式下，單元內(nèi)的應(yīng)變分量將不再是常量，這一點(diǎn)可以從的表達(dá)式中看出。另外四邊形單元的位移模式中的與三角形單元相同，它反映了剛體位移和常應(yīng)變，而且在單元的邊界上(=±1或

=±1)，位移是按線性變化的，顯然在兩個(gè)相鄰單元的公共邊界上，其位移是連續(xù)的。5.2四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/515平面問(wèn)題有限元分析-等參單元由前面的討論可以發(fā)現(xiàn)，四邊形單元的位移模式比常應(yīng)變?nèi)蓡卧膽?yīng)力矩陣表達(dá)式還可以看出，矩形單元中的應(yīng)力分量也都不是常量。正應(yīng)力、和剪應(yīng)力均沿、兩個(gè)方向線性變化，即沿x、y兩個(gè)方向線性變化。正因?yàn)槿绱?，若在彈性體中采用相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)時(shí)，矩形單元的精度要比常應(yīng)變?nèi)切螁卧木雀?。但是，矩形單元也有一些明顯的缺點(diǎn)，矩形單元不能適應(yīng)斜交的邊界和曲線邊界，不便于對(duì)不同部位采用不同大小的單元，以便提高有限元分析計(jì)算的效率和精度。5.2四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/516平面問(wèn)題有限元分析-等參單元由單元的應(yīng)力矩陣表達(dá)式還可以看出，矩形單元中的應(yīng)矩形單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)過(guò)程與三節(jié)點(diǎn)三角形單元類似，即，由前文可知的推導(dǎo)過(guò)程與形函數(shù)的具體表達(dá)形式、節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)均無(wú)關(guān)，該表達(dá)式具有普遍意義。若單元厚度t為常量，則可以進(jìn)一步表示為將單元?jiǎng)偠染仃噷懗勺訅K的形式，如下5.3四節(jié)點(diǎn)矩形單元?jiǎng)偠染仃?022/11/517平面問(wèn)題有限元分析-等參單元矩形單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)過(guò)程與三節(jié)點(diǎn)三角形單元類似，即上式中每一個(gè)子塊矩陣均為2行×2列，單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K矩陣的表達(dá)式為

（r、s＝1，2，3，4）將應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣子塊和彈性矩陣，代入上式，得5.3四節(jié)點(diǎn)矩形單元?jiǎng)偠染仃?022/11/518平面問(wèn)題有限元分析-等參單元上式中每一個(gè)子塊矩陣均為2行×2列，單元?jiǎng)偠染仃囀街校海╮、s＝1，2，3，4）5.3四節(jié)點(diǎn)矩形單元?jiǎng)偠染仃?022/11/519平面問(wèn)題有限元分析-等參單元式中：（r、s＝1，2，3，4）5.3四節(jié)點(diǎn)矩形單元?jiǎng)偠壤鐖D所示，該模型中有兩個(gè)四邊形單元，彈性模量為＝210GPa，厚度為＝0.025m，泊松比＝0.3，＝1kN，求單元所受應(yīng)力。算例2022/11/520平面問(wèn)題有限元分析-等參單元例如圖所示，該模型中有兩個(gè)四邊形單元解：?jiǎn)卧偎鶎?duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為2、4、3、1，單元②所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為4、6、5、3。在有限元分析過(guò)程中，首先求解單元①和②的剛度矩陣；然后組裝整體剛度矩陣，組裝的過(guò)程同三角形單元，此處不再給出；最后引入邊界條件（，＝0）并結(jié)合受力情況，求得整體節(jié)點(diǎn)位移列陣＝10-5×{0，0，0，0，0.1162，-0.1674，-0.1149，-0.1628，0.1514，-0.4707，-0.1568，-0.4978}T。算例2022/11/521平面問(wèn)題有限元分析-等參單元解：?jiǎn)卧偎鶎?duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為2、4、3、1，單元②所對(duì)應(yīng)的解：為了求解單元應(yīng)力，需要先求得每個(gè)單元所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移列陣，結(jié)合單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)，可從整體位移列陣中提取單元①和單元②的位移列陣，如下＝10-5×{0，0，-0.1149，-0.1628，0.1162，-0.1674，0，0}T＝10-5×{-0.1149，-0.1628，-0.1568，-0.4978，0.1514，-0.4707，0.1162，-0.1674}T算例注意：整體節(jié)點(diǎn)位移列陣是按照節(jié)點(diǎn)編號(hào)由小到大排列的，而單元位移列陣是按照單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)排列的，如單元①所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為2、4、3、1，則單元①的位移列陣中的前兩個(gè)數(shù)則表示節(jié)點(diǎn)2的x和y方向位移。2022/11/522平面問(wèn)題有限元分析-等參單元解：為了求解單元應(yīng)力，需要先求得每個(gè)單元所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位將單元①和單元②的位移列陣代入應(yīng)力矩陣，可求得單元①和單元②的應(yīng)力，如下算例2022/11/523平面問(wèn)題有限元分析-等參單元將單元①和單元②的位移列陣代入應(yīng)力矩陣，可求得單元①和通過(guò)以上兩式便可以求得單元①和單元②內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力，以單元①為例，若取，，則表示單元①的13邊中點(diǎn)處的應(yīng)力；若取，，則表示24邊中點(diǎn)處的應(yīng)力。若計(jì)算單元形心處的應(yīng)力，則取，為通過(guò)分析結(jié)果可知，單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力是坐標(biāo)的函數(shù)，若在彈性體中采用相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)時(shí)，矩形單元的精度顯然要高于常應(yīng)變?nèi)切螁卧木?。算?022/11/524平面問(wèn)題有限元分析-等參單元通過(guò)以上兩式便可以求得單元①和單元②內(nèi)任意點(diǎn)等參元是目前大型有限元程序中應(yīng)用最廣泛的單元，它不僅能運(yùn)用于各種曲線邊界，而且能夠構(gòu)造出高精度的位移函數(shù)，所以廣泛地在一維、二維和三維的各類問(wèn)題中應(yīng)用。本章以平面問(wèn)題為例介紹等參元的計(jì)算方法。地球表面上的一點(diǎn)可由畫在地球表面的經(jīng)線和緯線來(lái)確定，即線。此坐標(biāo)稱自然坐標(biāo)。其與直角坐標(biāo)間的變換關(guān)系為自然坐標(biāo)及其坐標(biāo)變換oRzyx5.4等參單元2022/11/525平面問(wèn)題有限元分析-等參單元等參元是目前大型有限元程序中應(yīng)用最廣泛的單元，二維單元的坐標(biāo)變換(平面圖形變換)1）整體坐標(biāo)和局部坐標(biāo)2）變換函數(shù)－插值函數(shù)由坐標(biāo)變換的性質(zhì)，如能找到將圖（b）中的正方形映射到（a）中的任意直邊四邊形的變換式，則該變換式就是單元局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的變換式（變換函數(shù)），現(xiàn)取插值函數(shù)如下：坐標(biāo)變換與等參元的概念3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)局部坐標(biāo)/自然坐標(biāo)式中5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點(diǎn)）整體坐標(biāo)0xy3412圖（b）圖（a）2022/11/526平面問(wèn)題有限元分析-等參單元二維單元的坐標(biāo)變換(平面圖形變換)由坐標(biāo)變換的形狀函數(shù)：5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點(diǎn)）2022/11/527平面問(wèn)題有限元分析-等參單元形狀函數(shù)：5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點(diǎn)）202求出α1,α2,α3,α4；α

5,α

6,α7,α85.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/528平面問(wèn)題有限元分析-等參單元求出α1,α2,α3,α4；α5,α6,α75.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)局部坐標(biāo)/自然坐標(biāo)整體坐標(biāo)0xy34125.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-式（Δ）是形狀函數(shù)，與位移函數(shù)一樣，在i節(jié)點(diǎn)，Ni=1,在其它節(jié)點(diǎn)，Ni=0，該形狀函數(shù)與位移函數(shù)一樣求解。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，將（Δ）式寫成如下通用公式5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點(diǎn)）2022/11/530平面問(wèn)題有限元分析-等參單元式（Δ）是形狀函數(shù)，與位移函數(shù)一樣，在i節(jié)點(diǎn)，位移函數(shù)：5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點(diǎn)）2022/11/531平面問(wèn)題有限元分析-等參單元位移函數(shù)：5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點(diǎn)）202坐標(biāo)變換函數(shù)與位移函數(shù)采用相同的形狀函數(shù)5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點(diǎn)）對(duì)比節(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)個(gè)數(shù)一樣，在選取單元的位移函數(shù)時(shí)，可取單元的自然坐標(biāo)作為自變量，取圖形（坐標(biāo)）變換式的形狀函數(shù)為位移函數(shù)的形狀函數(shù)。2022/11/532平面問(wèn)題有限元分析-等參單元坐標(biāo)變換函數(shù)與位移函數(shù)采用相同的形狀函數(shù)5.4等參單元-任意像上述這樣，坐標(biāo)變換與位移函數(shù)采用相同的節(jié)點(diǎn)，且取相同的插值函數(shù)（形狀函數(shù)）的變換叫做等參變換。這種單元叫等參元。在等參元的坐標(biāo)變換中，局部坐標(biāo)（自然坐標(biāo)）中的正方形或立方體稱為母單元，而整體坐標(biāo)內(nèi)曲邊形稱子單元。5.4等參單元-任意直邊四邊形單元（4節(jié)點(diǎn)）2022/11/533平面問(wèn)題有限元分析-等參單元MATHCAD例子像上述這樣，坐標(biāo)變換與位移函數(shù)采用相同的節(jié)點(diǎn)作業(yè)：

采用MATHCAD求解如圖所示，該模型中有兩個(gè)四邊形單元，彈性模量為＝210GPa，厚度為＝0.025m，泊松比＝0.3，＝1kN，求單元所受應(yīng)力。2022/11/534平面問(wèn)題有限元分析-等參單元作業(yè)：采用MATHCAD求解如圖所示，2022/11/5平面問(wèn)題有限元分析-等參單元35第五章平面問(wèn)題有限元分析

等參單元曹國(guó)華5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)5.2四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣5.3四節(jié)點(diǎn)矩形單元?jiǎng)偠染仃?.4等參單元2022/11/2平面問(wèn)題有限元分析-等參單元1第五章平面

雖然三角形單元具有很好的“適應(yīng)性”，幾乎任何復(fù)雜邊界的彈性體總可以劃分為三角形，并且三角形單元計(jì)算公式簡(jiǎn)單，但精度較低。5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)三角形單元間雖然能夠保證位移連續(xù)，但應(yīng)力的精度較差，不能很好的反映彈性體內(nèi)應(yīng)力的準(zhǔn)確分布規(guī)律。為了提高計(jì)算精度，準(zhǔn)確反映彈性體內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)，可以采用一些較精密的單元類型。

本節(jié)將介紹常用的矩形單元，它采用了比常應(yīng)變?nèi)切螁卧螖?shù)更高的位移模式，因而可以更好地反映彈性體中的位移狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)。另外，對(duì)一些邊界比較規(guī)則且呈直線的平面結(jié)構(gòu)的分析，采用矩形單元較合適。這時(shí)單元總數(shù)可以減少，相應(yīng)的原始數(shù)據(jù)準(zhǔn)備工作和單元特征計(jì)算工作均可節(jié)省。2022/11/536平面問(wèn)題有限元分析-等參單元雖然三角形單元具有很好的“適應(yīng)性”，幾乎任何如圖所示的矩形單元，不失一般性，令矩形單元的長(zhǎng)、寬分別為2a、2b。矩形單元有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，共8個(gè)自由度，即共有8個(gè)節(jié)點(diǎn)位移，采用類似三角形單元的分析方法，同樣可以完成對(duì)矩形單元的力學(xué)特性分析。5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/537平面問(wèn)題有限元分析-等參單元如圖所示的矩形單元，不失一般性，令矩形單元的長(zhǎng)、這里引入一個(gè)局部坐標(biāo)系、，這樣可以推出比較簡(jiǎn)潔的結(jié)果。如圖所示，取矩形單元的形心o為局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)，和軸分別與整體坐標(biāo)軸x和y平行，兩坐標(biāo)系存在有以下的坐標(biāo)變換關(guān)系式中：、——矩形形心處坐標(biāo)。矩形形心處坐標(biāo)以及矩形長(zhǎng)、寬可由下式計(jì)算5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/538平面問(wèn)題有限元分析-等參單元這里引入一個(gè)局部坐標(biāo)系、，這樣可以推出比較5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)在局部坐標(biāo)系中，節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)是，其值分別為±1。如節(jié)點(diǎn)1在局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（－1，－1）。2022/11/539平面問(wèn)題有限元分析-等參單元5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-由于矩形有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，共8個(gè)自由度，可以選擇有8個(gè)待定參數(shù)的位移模式，如下該函數(shù)稱為雙線性函數(shù)。將節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值代入上式，可列出四個(gè)節(jié)點(diǎn)處的位移分量，即兩組四元聯(lián)立方程，由此可求得位移模式中的8個(gè)未知參數(shù)1，2，…，85.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/540平面問(wèn)題有限元分析-等參單元由于矩形有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，共8個(gè)自由度，可以選擇有2022/11/541平面問(wèn)題有限元分析-等參單元3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/27平面問(wèn)題有限元分析-等參單元3(1,1)求出α1,α2,α3,α4；α

5,α

6,α7,α85.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/542平面問(wèn)題有限元分析-等參單元求出α1,α2,α3,α4；α5,α6,α7式中：——矩形單元的形函數(shù)，i＝1，2，3，4；——形函數(shù)矩陣；——單元節(jié)點(diǎn)位移列陣，，i＝1，2，3，4。5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)2022/11/543平面問(wèn)題有限元分析-等參單元式中：——矩形單元的形函數(shù)，i＝1，2，3，4；——形（i＝1，2，3，4）形函數(shù)的表達(dá)式為5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)2022/11/544平面問(wèn)題有限元分析-等參單元（i＝1，2，3，4）形函數(shù)的表達(dá)式為5.1四節(jié)點(diǎn)矩形引入符號(hào)，，i＝1，2，3，4，則上式可以統(tǒng)一寫為可以看出，矩形單元的形函數(shù)具有和三角形單元形函數(shù)同樣的性質(zhì)，即：形函數(shù)在各單元節(jié)點(diǎn)上的值，具有“本點(diǎn)是1、它點(diǎn)為零”的性質(zhì)；在單元內(nèi)任意點(diǎn)上，四個(gè)形函數(shù)之和等于1；單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)。有關(guān)證明過(guò)程比較簡(jiǎn)單，請(qǐng)自行推導(dǎo)。5.1四節(jié)點(diǎn)矩形單元位移函數(shù)2022/11/545平面問(wèn)題有限元分析-等參單元引入符號(hào)，有了單元的位移模式，就可以利用平面問(wèn)題的幾何方程求出單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變，將位移代入幾何方程，得式中的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣的子塊（i＝1，2，3，4）為5.2四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/546平面問(wèn)題有限元分析-等參單元有了單元的位移模式，就可以利用平面問(wèn)題的幾何方程求出單元5.2四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/547平面問(wèn)題有限元分析-等參單元5.2四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/213平面求得應(yīng)變之后，再將應(yīng)變代入物理方程，便可推導(dǎo)出以節(jié)點(diǎn)位移表示的應(yīng)力，如下式中，應(yīng)力矩陣為其子塊（i＝1，2，3，4）為5.2應(yīng)四節(jié)點(diǎn)矩形單元變與應(yīng)力矩陣2022/11/548平面問(wèn)題有限元分析-等參單元求得應(yīng)變之后，再將應(yīng)變代入物理方程由前面的討論可以發(fā)現(xiàn)，四邊形單元的位移模式比常應(yīng)變?nèi)切螁卧捎玫木€性位移模式增添了項(xiàng)（即相當(dāng)于xy項(xiàng)），把這種位移模式稱為雙線性模式。在這種模式下，單元內(nèi)的應(yīng)變分量將不再是常量，這一點(diǎn)可以從的表達(dá)式中看出。另外四邊形單元的位移模式中的與三角形單元相同，它反映了剛體位移和常應(yīng)變，而且在單元的邊界上(=±1或

=±1)，位移是按線性變化的，顯然在兩個(gè)相鄰單元的公共邊界上，其位移是連續(xù)的。5.2四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/549平面問(wèn)題有限元分析-等參單元由前面的討論可以發(fā)現(xiàn)，四邊形單元的位移模式比常應(yīng)變?nèi)蓡卧膽?yīng)力矩陣表達(dá)式還可以看出，矩形單元中的應(yīng)力分量也都不是常量。正應(yīng)力、和剪應(yīng)力均沿、兩個(gè)方向線性變化，即沿x、y兩個(gè)方向線性變化。正因?yàn)槿绱耍粼趶椥泽w中采用相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)時(shí)，矩形單元的精度要比常應(yīng)變?nèi)切螁卧木雀?。但是，矩形單元也有一些明顯的缺點(diǎn)，矩形單元不能適應(yīng)斜交的邊界和曲線邊界，不便于對(duì)不同部位采用不同大小的單元，以便提高有限元分析計(jì)算的效率和精度。5.2四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)變與應(yīng)力矩陣2022/11/550平面問(wèn)題有限元分析-等參單元由單元的應(yīng)力矩陣表達(dá)式還可以看出，矩形單元中的應(yīng)矩形單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)過(guò)程與三節(jié)點(diǎn)三角形單元類似，即，由前文可知的推導(dǎo)過(guò)程與形函數(shù)的具體表達(dá)形式、節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)均無(wú)關(guān)，該表達(dá)式具有普遍意義。若單元厚度t為常量，則可以進(jìn)一步表示為將單元?jiǎng)偠染仃噷懗勺訅K的形式，如下5.3四節(jié)點(diǎn)矩形單元?jiǎng)偠染仃?022/11/551平面問(wèn)題有限元分析-等參單元矩形單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)過(guò)程與三節(jié)點(diǎn)三角形單元類似，即上式中每一個(gè)子塊矩陣均為2行×2列，單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K矩陣的表達(dá)式為

（r、s＝1，2，3，4）將應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣子塊和彈性矩陣，代入上式，得5.3四節(jié)點(diǎn)矩形單元?jiǎng)偠染仃?022/11/552平面問(wèn)題有限元分析-等參單元上式中每一個(gè)子塊矩陣均為2行×2列，單元?jiǎng)偠染仃囀街校海╮、s＝1，2，3，4）5.3四節(jié)點(diǎn)矩形單元?jiǎng)偠染仃?022/11/553平面問(wèn)題有限元分析-等參單元式中：（r、s＝1，2，3，4）5.3四節(jié)點(diǎn)矩形單元?jiǎng)偠壤鐖D所示，該模型中有兩個(gè)四邊形單元，彈性模量為＝210GPa，厚度為＝0.025m，泊松比＝0.3，＝1kN，求單元所受應(yīng)力。算例2022/11/554平面問(wèn)題有限元分析-等參單元例如圖所示，該模型中有兩個(gè)四邊形單元解：?jiǎn)卧偎鶎?duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為2、4、3、1，單元②所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為4、6、5、3。在有限元分析過(guò)程中，首先求解單元①和②的剛度矩陣；然后組裝整體剛度矩陣，組裝的過(guò)程同三角形單元，此處不再給出；最后引入邊界條件（，＝0）并結(jié)合受力情況，求得整體節(jié)點(diǎn)位移列陣＝10-5×{0，0，0，0，0.1162，-0.1674，-0.1149，-0.1628，0.1514，-0.4707，-0.1568，-0.4978}T。算例2022/11/555平面問(wèn)題有限元分析-等參單元解：?jiǎn)卧偎鶎?duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為2、4、3、1，單元②所對(duì)應(yīng)的解：為了求解單元應(yīng)力，需要先求得每個(gè)單元所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移列陣，結(jié)合單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)，可從整體位移列陣中提取單元①和單元②的位移列陣，如下＝10-5×{0，0，-0.1149，-0.1628，0.1162，-0.1674，0，0}T＝10-5×{-0.1149，-0.1628，-0.1568，-0.4978，0.1514，-0.4707，0.1162，-0.1674}T算例注意：整體節(jié)點(diǎn)位移列陣是按照節(jié)點(diǎn)編號(hào)由小到大排列的，而單元位移列陣是按照單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)排列的，如單元①所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為2、4、3、1，則單元①的位移列陣中的前兩個(gè)數(shù)則表示節(jié)點(diǎn)2的x和y方向位移。2022/11/556平面問(wèn)題有限元分析-等參單元解：為了求解單元應(yīng)力，需要先求得每個(gè)單元所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位將單元①和單元②的位移列陣代入應(yīng)力矩陣，可求得單元①和單元②的應(yīng)力，如下算例2022/11/557平面問(wèn)題有限元分析-等參單元將單元①和單元②的位移列陣代入應(yīng)力矩陣，可求得單元①和通過(guò)以上兩式便可以求得單元①和單元②內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力，以單元①為例，若取，，則表示單元①的13邊中點(diǎn)處的應(yīng)力；若取，，則表示24邊中點(diǎn)處的應(yīng)力。若計(jì)算單元形心處的應(yīng)力，則取，為通過(guò)分析結(jié)果可知，單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力是坐標(biāo)的函數(shù)，若在彈性體中采用相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)時(shí)，矩形單元的精度顯然要高于常應(yīng)變?nèi)切螁卧木取Ｋ憷?022/11/558平面問(wèn)題有限元分析-等參單元通過(guò)以上兩式便可以求得單元①和單元②內(nèi)任意點(diǎn)等參元是目前大型有限元程序中應(yīng)用最廣泛的單元，它不僅能運(yùn)用于各種曲線邊界，而且能夠構(gòu)造出高精度的位移函數(shù)，所以廣泛地在一維、二維和三維的各類問(wèn)題中應(yīng)用。本章以平面問(wèn)題為例介紹等參元的計(jì)算方法。地球表面上的一點(diǎn)可由畫在地球表面的經(jīng)線和緯線來(lái)確定，即線。此坐標(biāo)稱自然坐標(biāo)。其與直角坐標(biāo)間的變換關(guān)系為自然坐標(biāo)及其坐標(biāo)變換oRzyx5.4等參單元2022/11/559平面問(wèn)題有限元分析-等參單元等參元是目前大型有限元程序中應(yīng)用最廣泛的單元，二維單元的坐標(biāo)變換(平面圖形變換)1）整體坐標(biāo)和局部坐標(biāo)2）變換函數(shù)－插值函數(shù)由坐標(biāo)變換的性質(zhì)，如能找到將圖（b）中的正方形映射到（a）中的任意直邊四邊形的變換式，則該變換式就是單元局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的變換式（變換函數(shù)），現(xiàn)取插值函數(shù)如下：坐標(biāo)變換與等參元的概念3(1,1)2(1,-1)1(