北師大數(shù)學(xué)八下課件4角平分線

初中數(shù)學(xué)課件

燦若寒星*****整理制作初中數(shù)學(xué)課件

燦若寒星*****整理制作第一章三角形的證明4角平分線廣東學(xué)導(dǎo)練數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)配北師大版第一章三角形的證明4角平分線廣東學(xué)導(dǎo)練數(shù)學(xué)八課前預(yù)習(xí)

1．如圖1-4-1，OP平分∠AOB，PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，則PC與PD的大小關(guān)系是 （）

A．PC＞PD B．PC=PD

C．PC＜PD D．不能確定

2．到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形 （）

A．三條中線的交點(diǎn)

B．三條高的交點(diǎn)

C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

D．三條角平分線的交點(diǎn)BD課前預(yù)習(xí)1．如圖1-4-1，OP平分∠AOB，BD

3．用尺規(guī)作∠AOB的平分線的步驟：①在OA和OB上分別截取OD，OE，使______________；②分別以__________為圓心，以______________的長(zhǎng)為半徑作弧，弧在∠AOB的_______交于一點(diǎn)C；③作___________，OC就是∠AOB的平分線．

4．在Rt△ABC中,銳角A的平分線與銳角B的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點(diǎn)D,則∠ADB=_______.

5.如圖1-4-2,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E,且AB=10cm,則△DEB的周長(zhǎng)是_______.OD=OE點(diǎn)D，E內(nèi)部射線OC45°10cm3．用尺規(guī)作∠AOB的平分線的步驟：OD=OE點(diǎn)D，E名師導(dǎo)學(xué)新知1角平分線的性質(zhì)定理

定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．

注意：①用語(yǔ)言符號(hào)表示：如圖1-4-3，如果點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，且PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，那么PM=PN；②點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)；③角平分線的性質(zhì)能夠證明線段相等或?yàn)樽C三角形全等準(zhǔn)備條件.名師導(dǎo)學(xué)新知1角平分線的性質(zhì)定理定理角平分線上的點(diǎn)到【例1】如圖1-4-4，已知OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA=OB，P是OD上一點(diǎn)，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別是點(diǎn)M，N．求證：PM=PN．

解析已知PM⊥BD，PN⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，只要證∠3=∠4即可．【例1】如圖1-4-4，已知OD平分∠AOB，在OA，OB邊證明∵OD平分∠AOB，∴∠1=∠2.在△OBD和△OAD中，∵OB=OA，∠1=∠2，OD=OD，∴△OBD≌△OAD（SAS）.∴∠3=∠4.∵PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.證明∵OD平分∠AOB，舉一反三如圖1-4-5，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=5，DE=2，求△BCE的面積.舉一反三如圖1-4-5，在△ABC中，CD是AB邊上的高解：如答圖1-4-1,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F.∵CD是AB邊上的高，∴DE⊥AB.∵BE平分∠ABC，∴DE=EF=2.∵BC=5，∴△BCE的面積=解：如答圖1-4-1,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F.新知2角平分線的性質(zhì)定理的逆定理

定理

在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．

語(yǔ)言符號(hào)：如圖1-4-6，若點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，且PM=PN，則點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

性質(zhì)定理及逆定理的關(guān)系：

點(diǎn)在角的平分線上點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.因此角平分線的性質(zhì)定理的逆定理也是角平分線的判定定理，可以證明兩角相等.新知2角平分線的性質(zhì)定理的逆定理定理在一個(gè)角的內(nèi)部，【例2】如圖1-4-7，PA⊥ON于點(diǎn)A，PB⊥OM于點(diǎn)B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，求∠PCA的大小.

解析根據(jù)圖形可知∠PCA=∠OPC+∠POC，所以關(guān)鍵是找∠AOP與∠POB的關(guān)系，由PA=PB可知∠AOP=∠POB.

解∵PA⊥ON，PB⊥OM，PA=PB，∴∠AOP=∠POB.又∵∠MON=50°，∴∠POC=25°.∴∠PCA=∠POC+∠OPC=25°+30°=55°.【例2】如圖1-4-7，PA⊥ON于點(diǎn)A，舉一反三如圖1-4-8,BD⊥AM于點(diǎn)D，CE⊥AN于點(diǎn)E，BD,CE交于點(diǎn)F，CF＝BF，求證：點(diǎn)F在∠A的平分線上.舉一反三如圖1-4-8,BD⊥AM于點(diǎn)D，CE⊥AN于點(diǎn)證明：如答圖1-4-2,連接AF.∵BD⊥AM,CE⊥AN,∴∠FDC=∠FEB=90°.又∵∠CFD=∠BFE,CF=BF,∴△CDF≌△BFE(AAS).∴FD=FE.∵BD⊥AM,CE⊥AN,∴∠CAF＝∠BAF.∴AF平分∠BAC,即點(diǎn)F在∠A的平分線上.證明：如答圖1-4-2,連接AF.

已知：∠AOB（如圖1-4-9）．

求作：射線OC，使∠AOC=∠BOC.

注意：（1）這個(gè)作法是以SSS公理為基礎(chǔ)的．

由作法可知：OD=OE，EC=DC.

又∵OC=OC，

∴△OEC≌△ODC.

∴∠BOC=∠AOC.

（2）所作圖形是過(guò)頂點(diǎn)O的射線OC，其關(guān)鍵是確定點(diǎn)C的位置．新知3作已知角的平分線已知：∠AOB（如圖1-4-9）．新知3作已知角的平分線（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，兩弧不相交；而等于DE時(shí)，兩弧雖然有一個(gè)交點(diǎn)，但難以準(zhǔn)確得到．（4）點(diǎn)C是兩弧交于∠AOB內(nèi)的點(diǎn)，另一交點(diǎn)沒(méi)有作出，這是因?yàn)镺，C兩點(diǎn)就可以確定出平分∠AOB的射線．（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，兩弧【例3】如圖1-4-10，在公路的南側(cè)、鐵路的東側(cè)有一所學(xué)校，這所學(xué)校到公路和鐵路的距離相等，并且與兩路的交叉點(diǎn)O處的距離為400m．請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出學(xué)校的位置，并說(shuō)明理由．（比例尺1∶12500）

解析學(xué)校到公路和鐵路的距離相等，就是指學(xué)校在把公路和鐵路看作兩條直線相交時(shí)所成角的平分線上．【例3】如圖1-4-10，在公路的南側(cè)、鐵路的東側(cè)有一所學(xué)校

解把公路和鐵路看作兩條直線，畫出它們所成角的平分線，在角的平分線上從頂點(diǎn)截出表示實(shí)際長(zhǎng)400m的線段，即可確定學(xué)校的位置，如圖1-4-11，圖中的點(diǎn)P即為所求．表示實(shí)際長(zhǎng)400m的線段為40000÷12500=3.2cm．解把公路和鐵路看作兩條直線，畫出它們所成角的平分線，在舉一反三如圖1-4-12，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A.（1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系（不要求證明）.舉一反三如圖1-4-12，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，且∠解：（1）如答圖1-4-3所示：（2）DE∥AC解：（1）如答圖1-4-3所示：

定理

三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等．

注意：交點(diǎn)只可能在三角形的內(nèi)部，且到三邊的垂線段相等.新知4三角形角平分線交點(diǎn)的性質(zhì)定理定理三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊【例4】如圖1-4-13，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且O到三邊AB，BC，CA的距離OF=OD=OE，若∠A=70°，求∠BOC的度數(shù)．

解析要求∠BOC的度數(shù)，只要求得∠1和∠3的度數(shù)，由180°-∠1-∠3即可得出∠BOC的度數(shù).根據(jù)題中所給條件，可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠A＝70°，可得出∠1+∠3，從而求得∠BOC的度數(shù)．【例4】如圖1-4-13，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且O到三邊AB

解∵OF⊥AB，OD⊥BC，且OF=OD，∴BO平分∠ABC.∴∠1＝∠2.同理可得∠3=∠4.解∵OF⊥AB，OD⊥BC，且OF=OD，舉一反三如圖1-4-14，在△ABC中，BD,CE分別平分∠ABC,∠ACB，且BD,CE交于點(diǎn)O，過(guò)O作OP⊥BC于點(diǎn)P，OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥AC于點(diǎn)N.求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.證明：∵BD平分∠ABC,OP⊥BC，OM⊥AB,∴OP＝OM.∵CE平分∠ACB,OP⊥BC，ON⊥AC,∴OP＝ON.∴OM＝ON.∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.舉一反三如圖1-4-14，在△ABC中，BD,CE分別平初中數(shù)學(xué)課件

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1．如圖1-4-1，OP平分∠AOB，PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，則PC與PD的大小關(guān)系是 （）

A．PC＞PD B．PC=PD

C．PC＜PD D．不能確定

2．到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形 （）

A．三條中線的交點(diǎn)

B．三條高的交點(diǎn)

C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

D．三條角平分線的交點(diǎn)BD課前預(yù)習(xí)1．如圖1-4-1，OP平分∠AOB，BD

3．用尺規(guī)作∠AOB的平分線的步驟：①在OA和OB上分別截取OD，OE，使______________；②分別以__________為圓心，以______________的長(zhǎng)為半徑作弧，弧在∠AOB的_______交于一點(diǎn)C；③作___________，OC就是∠AOB的平分線．

4．在Rt△ABC中,銳角A的平分線與銳角B的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點(diǎn)D,則∠ADB=_______.

5.如圖1-4-2,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E,且AB=10cm,則△DEB的周長(zhǎng)是_______.OD=OE點(diǎn)D，E內(nèi)部射線OC45°10cm3．用尺規(guī)作∠AOB的平分線的步驟：OD=OE點(diǎn)D，E名師導(dǎo)學(xué)新知1角平分線的性質(zhì)定理

定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．

注意：①用語(yǔ)言符號(hào)表示：如圖1-4-3，如果點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，且PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，那么PM=PN；②點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)；③角平分線的性質(zhì)能夠證明線段相等或?yàn)樽C三角形全等準(zhǔn)備條件.名師導(dǎo)學(xué)新知1角平分線的性質(zhì)定理定理角平分線上的點(diǎn)到【例1】如圖1-4-4，已知OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA=OB，P是OD上一點(diǎn)，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別是點(diǎn)M，N．求證：PM=PN．

解析已知PM⊥BD，PN⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，只要證∠3=∠4即可．【例1】如圖1-4-4，已知OD平分∠AOB，在OA，OB邊證明∵OD平分∠AOB，∴∠1=∠2.在△OBD和△OAD中，∵OB=OA，∠1=∠2，OD=OD，∴△OBD≌△OAD（SAS）.∴∠3=∠4.∵PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.證明∵OD平分∠AOB，舉一反三如圖1-4-5，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=5，DE=2，求△BCE的面積.舉一反三如圖1-4-5，在△ABC中，CD是AB邊上的高解：如答圖1-4-1,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F.∵CD是AB邊上的高，∴DE⊥AB.∵BE平分∠ABC，∴DE=EF=2.∵BC=5，∴△BCE的面積=解：如答圖1-4-1,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F.新知2角平分線的性質(zhì)定理的逆定理

定理

在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．

語(yǔ)言符號(hào)：如圖1-4-6，若點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，且PM=PN，則點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

性質(zhì)定理及逆定理的關(guān)系：

點(diǎn)在角的平分線上點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.因此角平分線的性質(zhì)定理的逆定理也是角平分線的判定定理，可以證明兩角相等.新知2角平分線的性質(zhì)定理的逆定理定理在一個(gè)角的內(nèi)部，【例2】如圖1-4-7，PA⊥ON于點(diǎn)A，PB⊥OM于點(diǎn)B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，求∠PCA的大小.

解析根據(jù)圖形可知∠PCA=∠OPC+∠POC，所以關(guān)鍵是找∠AOP與∠POB的關(guān)系，由PA=PB可知∠AOP=∠POB.

解∵PA⊥ON，PB⊥OM，PA=PB，∴∠AOP=∠POB.又∵∠MON=50°，∴∠POC=25°.∴∠PCA=∠POC+∠OPC=25°+30°=55°.【例2】如圖1-4-7，PA⊥ON于點(diǎn)A，舉一反三如圖1-4-8,BD⊥AM于點(diǎn)D，CE⊥AN于點(diǎn)E，BD,CE交于點(diǎn)F，CF＝BF，求證：點(diǎn)F在∠A的平分線上.舉一反三如圖1-4-8,BD⊥AM于點(diǎn)D，CE⊥AN于點(diǎn)證明：如答圖1-4-2,連接AF.∵BD⊥AM,CE⊥AN,∴∠FDC=∠FEB=90°.又∵∠CFD=∠BFE,CF=BF,∴△CDF≌△BFE(AAS).∴FD=FE.∵BD⊥AM,CE⊥AN,∴∠CAF＝∠BAF.∴AF平分∠BAC,即點(diǎn)F在∠A的平分線上.證明：如答圖1-4-2,連接AF.

已知：∠AOB（如圖1-4-9）．

求作：射線OC，使∠AOC=∠BOC.

注意：（1）這個(gè)作法是以SSS公理為基礎(chǔ)的．

由作法可知：OD=OE，EC=DC.

又∵OC=OC，

∴△OEC≌△ODC.

∴∠BOC=∠AOC.

（2）所作圖形是過(guò)頂點(diǎn)O的射線OC，其關(guān)鍵是確定點(diǎn)C的位置．新知3作已知角的平分線已知：∠AOB（如圖1-4-9）．新知3作已知角的平分線（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，兩弧不相交；而等于DE時(shí)，兩弧雖然有一個(gè)交點(diǎn)，但難以準(zhǔn)確得到．（4）點(diǎn)C是兩弧交于∠AOB內(nèi)的點(diǎn)，另一交點(diǎn)沒(méi)有作出，這是因?yàn)镺，C兩點(diǎn)就可以確定出平分∠AOB的射線．（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，兩弧【例3】如圖1-4-10，在公路的南側(cè)、鐵路的東側(cè)有一所學(xué)校，這所學(xué)校到公路和鐵路的距離相等，并且與兩路的交叉點(diǎn)O處的距離為400m．請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出學(xué)校的位置，并說(shuō)明理由．（比例尺1∶12500）

解析學(xué)校到公路和鐵路的距離相等，就是指學(xué)校在把公路和鐵路看作兩條直線相交時(shí)所成角的平分線上．【例3】如圖1-4-10，在公路的南側(cè)、鐵路的東側(cè)有一所學(xué)校

解把公路和鐵路看作兩條直線，畫出它們所成角的平分線，在角的平分線上從頂點(diǎn)截出表示實(shí)際長(zhǎng)400m的線段，即可確定學(xué)校的位置，如圖1-4-11，圖中的點(diǎn)P即為所求．表示實(shí)際長(zhǎng)400m的線段為40000÷12500=3.2cm．解把公路和鐵路看作兩條直線，畫出它們所成角的平分線，在舉一反三如圖1-4-12，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A.（1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系（不要求