北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)角平分線的性質(zhì)定理及逆定理課件

4角平分線北師大版八年級(jí)下冊(cè)第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)定理及逆定理4角平分線北師大版八年級(jí)下冊(cè)第1課時(shí)角平分線的性1、什么叫角平分線？3、你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?

2、如何用尺規(guī)作角的平分線？如果一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，那么這條射線叫角的平分線。1、什么叫角平分線？3、你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?

２．分別以M，N為圓心．大于MN的長(zhǎng)為半徑作?。畠苫≡凇螦OB的內(nèi)部交于C．如何用尺規(guī)作角的平分線？ABOMNC作法：

１．以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于M，交OB于N．３．作射線OC．則射線OC即為所求．

請(qǐng)你說明OC為什么是∠AOB的平分線,并與同桌進(jìn)行交流.２．分別以M，N為圓心．大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧命題：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等條件：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等

已知：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA

，PE⊥OB.求證：PD=PE.命題：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等條件：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角∴PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。證明：∴OC是∠AOB的平分線(已知)，∴∠1=∠2(角平分線的定義)?！逷D⊥OA，PE⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定義)。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO(已證)，∠1＝∠2(已證)，OP＝OP(公共邊)，∴△PDO≌△PEO(AAS)。12ABDEPOC∴PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。證明：∴OC是∠AO用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵∠1=∠2

PD⊥OA

，PE⊥OB∴PD=PE.交換定理的條件和結(jié)論得到的命題如何敘述？注：這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明兩條線段相等的根據(jù)之一.角平分線性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.12ABDEPOC用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵∠1=∠2交換定理的條件和結(jié)論得到的命你能寫出它的逆命題嗎？′思考逆命題在角的內(nèi)部到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn),

在這個(gè)角的平分線上.它是真命題嗎?如果是.請(qǐng)你證明它.已知:如圖,點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E，且PD=PE.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.分析:要證明點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,可以先作出過點(diǎn)P的射線OC,然后證明∠AOC=∠BOC.OCBAPDE你能寫出它的逆命題嗎？′思考逆命題在角的內(nèi)部到一個(gè)角的兩邊證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中,

∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)．∴點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.

在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，在一個(gè)角的內(nèi)部，到角判斷下列推理是否正確（1）如圖，∵AD平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC∴PE=PF（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）（2）如圖，∵PE=PF∴AD平分∠BAC

（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）（3）如圖，∵點(diǎn)P在∠BAC

的平分線上

∴PE=PF（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）ABCDEFP（對(duì)）（錯(cuò)）（錯(cuò)）判斷下列推理是否正確（1）如圖，∵AD平分∠BAC，PE⊥A判斷下列推理是否正確ABCDEFP（4）如圖，∵PE⊥AB，PF⊥AC

∴AD平分∠BAC（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）（錯(cuò)）（5）如圖∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF∴點(diǎn)P在∠BAC

的平分線上（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）（對(duì)）判斷下列推理是否正確ABCDEFP（4）如圖，∵PE⊥AB例1如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，求DE的長(zhǎng).ABCDEF例1如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC上，A解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，∴AD平分∠ABC（在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.∴在Rt△ADE中，∠AED=90°，

AD=10，

解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF1、已知：如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.ABCMNP圖1求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到到三條邊的距離相等。1、已知：如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.A證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)

∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上

∴PD＝PE

同理：PE＝PF

∴PD＝PE＝PF

即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等ABCMNP圖1DEF證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂求證：P在∠A的平分線上HEGABCP圖22、已知：如圖2，PB、PC分別是△ABC的外角平分線，相交于點(diǎn)P.求證：P在∠A的平分線上HEGABCP圖22、已知：如圖2證明：作PE⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于E。PH⊥BC于H，PG⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

∵BP是角平分線

∴PE=PH

∵PC是角平分線

∴PH=PG

∴PE=PG

∴P在∠A的平分線上HEGABCP圖2證明：作PE⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于E。PH⊥BC于H，PG⊥3、如圖，某個(gè)居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個(gè)大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請(qǐng)確定該超市的位置P。小區(qū)CP3、如圖，某個(gè)居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D都在第一象限．

求證：無(wú)論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為a（a為大于0的常數(shù)）的

EF證明：作DE⊥x軸于E,PF⊥y軸于F

EF證明：作DE⊥x軸于E,PF⊥y軸于F1.角平分線的性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等2.角平分線的性質(zhì)定理的逆定理：在角的內(nèi)部，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。4.角平分線的性質(zhì)定理是證明角相等、線段相等的新途徑.角平分線的逆定理是證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.3.性質(zhì)定理和逆定理的關(guān)系點(diǎn)在角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等1.角平分線的性質(zhì)定理：2.角平分線的性質(zhì)定理的逆定理：4.1.從教材習(xí)題中選取

2.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題布置作業(yè)1.從教材習(xí)題中選取布置作業(yè)4角平分線北師大版八年級(jí)下冊(cè)第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)定理及逆定理4角平分線北師大版八年級(jí)下冊(cè)第1課時(shí)角平分線的性1、什么叫角平分線？3、你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?

2、如何用尺規(guī)作角的平分線？如果一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，那么這條射線叫角的平分線。1、什么叫角平分線？3、你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?

２．分別以M，N為圓心．大于MN的長(zhǎng)為半徑作?。畠苫≡凇螦OB的內(nèi)部交于C．如何用尺規(guī)作角的平分線？ABOMNC作法：

１．以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于M，交OB于N．３．作射線OC．則射線OC即為所求．

請(qǐng)你說明OC為什么是∠AOB的平分線,并與同桌進(jìn)行交流.２．分別以M，N為圓心．大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧命題：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等條件：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等

已知：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA

，PE⊥OB.求證：PD=PE.命題：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等條件：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角∴PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。證明：∴OC是∠AOB的平分線(已知)，∴∠1=∠2(角平分線的定義)。∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定義)。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO(已證)，∠1＝∠2(已證)，OP＝OP(公共邊)，∴△PDO≌△PEO(AAS)。12ABDEPOC∴PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。證明：∴OC是∠AO用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵∠1=∠2

PD⊥OA

，PE⊥OB∴PD=PE.交換定理的條件和結(jié)論得到的命題如何敘述？注：這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明兩條線段相等的根據(jù)之一.角平分線性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.12ABDEPOC用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵∠1=∠2交換定理的條件和結(jié)論得到的命你能寫出它的逆命題嗎？′思考逆命題在角的內(nèi)部到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn),

在這個(gè)角的平分線上.它是真命題嗎?如果是.請(qǐng)你證明它.已知:如圖,點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E，且PD=PE.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.分析:要證明點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,可以先作出過點(diǎn)P的射線OC,然后證明∠AOC=∠BOC.OCBAPDE你能寫出它的逆命題嗎？′思考逆命題在角的內(nèi)部到一個(gè)角的兩邊證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中,

∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)．∴點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.

在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，在一個(gè)角的內(nèi)部，到角判斷下列推理是否正確（1）如圖，∵AD平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC∴PE=PF（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）（2）如圖，∵PE=PF∴AD平分∠BAC

（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）（3）如圖，∵點(diǎn)P在∠BAC

的平分線上

∴PE=PF（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）ABCDEFP（對(duì)）（錯(cuò)）（錯(cuò)）判斷下列推理是否正確（1）如圖，∵AD平分∠BAC，PE⊥A判斷下列推理是否正確ABCDEFP（4）如圖，∵PE⊥AB，PF⊥AC

∴AD平分∠BAC（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）（錯(cuò)）（5）如圖∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF∴點(diǎn)P在∠BAC

的平分線上（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）（對(duì)）判斷下列推理是否正確ABCDEFP（4）如圖，∵PE⊥AB例1如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，求DE的長(zhǎng).ABCDEF例1如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC上，A解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，∴AD平分∠ABC（在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.∴在Rt△ADE中，∠AED=90°，

AD=10，

解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF1、已知：如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.ABCMNP圖1求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到到三條邊的距離相等。1、已知：如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.A證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)

∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上

∴PD＝PE

同理：PE＝PF

∴PD＝PE＝PF

即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等ABCMNP圖1DEF證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂求證：P在∠A的平分線上HEGABCP圖22、已知：如圖2，PB、PC分別是△ABC的外角平分線，相交于點(diǎn)P.求證：P在∠A的平分線上HEGABCP圖22、已知：如圖2證明：作PE⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于E。PH⊥BC于H，PG⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

∵BP是