參數(shù)估計(jì)(2)市公開課一等獎(jiǎng)省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

點(diǎn)預(yù)計(jì)預(yù)計(jì)量優(yōu)良性區(qū)間預(yù)計(jì)第七章參數(shù)預(yù)計(jì)參數(shù)估計(jì)(2)第1頁參數(shù)預(yù)計(jì)分為點(diǎn)預(yù)計(jì)和區(qū)間預(yù)計(jì).在實(shí)際問題中,總體

X分布可能是部分未知或完全未知.(1)總體

X分布函數(shù)類型已知,如泊松分布P()或正態(tài)分布N(,2),而參數(shù),,2未知,需要依據(jù)樣本信息對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行預(yù)計(jì),稱為參數(shù)預(yù)計(jì).(2)總體

X分布函數(shù)類型未知,而要對(duì)其數(shù)字特征EX,DX進(jìn)行預(yù)計(jì),而數(shù)字特征通常與分布中參數(shù)有一定關(guān)系,所以也稱為參數(shù)預(yù)計(jì).參數(shù)估計(jì)(2)第2頁

總體樣本統(tǒng)計(jì)量加工作出推斷隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)分析參數(shù)估計(jì)(2)第3頁例1

已知某地域新生嬰兒體重X~N(,2)，隨機(jī)抽查100個(gè)嬰兒得到100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)：8,7,6,6.5,5,5.2,…而掌握信息就由這100個(gè)數(shù)據(jù)組成.§7.1點(diǎn)預(yù)計(jì)

適當(dāng)選擇一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，用此統(tǒng)計(jì)量觀察值作為未知參數(shù)近似值。據(jù)此,我們應(yīng)怎樣預(yù)計(jì)呢?未知,參數(shù)估計(jì)(2)第4頁為預(yù)計(jì),我們需要結(jié)構(gòu)出適當(dāng)樣本函數(shù)把樣本值代入T(X1,X2,…,Xn)中，得到T(x1,x2,…,xn)稱為

一個(gè)點(diǎn)預(yù)計(jì)值.T(X1,X2,…,Xn)稱為參數(shù)點(diǎn)預(yù)計(jì)量，T(X1,X2,…,Xn)，每當(dāng)有了樣本值，就代入該函數(shù)中算出一個(gè)值，用來作為預(yù)計(jì)值。參數(shù)估計(jì)(2)第5頁定義設(shè)總體X分布函數(shù)為F(x

;),其中是未知參數(shù),X1,X2,…,Xn是樣本,現(xiàn)由樣本建立不帶未知參數(shù)統(tǒng)計(jì)量T(X1,X2,...,Xn),對(duì)于樣本觀測值(x1,x2,...,xn),若將T(x1,x2,...,xn)作為預(yù)計(jì)值,則稱T(X1,X2,...,Xn)為預(yù)計(jì)量,記作=T(X1,X2,...,Xn),建立一個(gè)這么統(tǒng)計(jì)量作為預(yù)計(jì)量,稱為參數(shù)點(diǎn)預(yù)計(jì).參數(shù)估計(jì)(2)第6頁在不尤其強(qiáng)調(diào)情況下,預(yù)計(jì)量、預(yù)計(jì)值簡稱預(yù)計(jì).假如總體X分布函數(shù)F(x;1?2,...,k)中含有k個(gè)尋找一個(gè)預(yù)計(jì)量就是尋找預(yù)計(jì)未知參數(shù)方法，方法選定后，用樣本值代入統(tǒng)計(jì)量就得到該參數(shù)預(yù)計(jì)值.不一樣未知參數(shù),則要由樣本建立k個(gè)不帶未知參數(shù)統(tǒng)計(jì)量,作為這k個(gè)未知參數(shù)預(yù)計(jì)量.參數(shù)估計(jì)(2)第7頁

比如：能夠用樣本均值預(yù)計(jì)量就是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，標(biāo)準(zhǔn)上能夠由樣本結(jié)構(gòu)出許多統(tǒng)計(jì)量作為總體中某個(gè)未知參數(shù)也能夠用單個(gè)分量Xi作為總體均值預(yù)計(jì)量。預(yù)計(jì)量。參數(shù)估計(jì)(2)第8頁一矩法(K.Pearson在二十世紀(jì)初一系列論文中引進(jìn)方法)矩法基本思想:矩法理論依據(jù):用樣本矩作為總體矩預(yù)計(jì)量辛欽大數(shù)定律參數(shù)估計(jì)(2)第9頁定義:假如總體X分布函數(shù)F(x;1?2,...,l)中含有k=

k(1?2,...,l)=E(Xk)(k=1,2,...l)(1)(通常k都是1?2,...,l函數(shù)

)如能從(1)式中解出l個(gè)不一樣未知參數(shù),假定總體Xl階原點(diǎn)矩E(Xl)存在,并記k=

k(1?2,...,l)(k=1,2,...l)用i預(yù)計(jì)量Ai代入上式,得到預(yù)計(jì)量參數(shù)估計(jì)(2)第10頁稱為k矩法預(yù)計(jì)量,其中Ai(i=1,2,...l)為若為矩法預(yù)計(jì)量,g()為連續(xù)函數(shù),則樣本i階原點(diǎn)矩.也稱為g()矩法預(yù)計(jì)量.參數(shù)估計(jì)(2)第11頁例1不論總體X服從什么分布,都是有限，求參數(shù)及2矩法預(yù)計(jì)量.若EX=,DX=2解:設(shè)X1,X2,…,Xn是取自總體X樣本依據(jù)矩法可得:此處1=EX,2=E(X2)分別為總體一階,二階原點(diǎn)矩分別為1,2預(yù)計(jì)量參數(shù)估計(jì)(2)第12頁1

=,2=2+2因?yàn)樗?此處B2是樣本二階中心矩)本例題說明,樣本均值和樣本二階中心矩B2分別為總體均值和方差矩法預(yù)計(jì)量.參數(shù)估計(jì)(2)第13頁例2求事件A概率P(A)=p矩法預(yù)計(jì)量.用隨機(jī)變量X表示事件A指示變量解:P{X=1}=p,即A出現(xiàn)A不出現(xiàn)則P{X=0}=1p,EX=p所以p矩法預(yù)計(jì)量為其中n為事件A在n次獨(dú)立試驗(yàn)中出現(xiàn)次數(shù).也就是說,在n次獨(dú)立試驗(yàn)中,用事件A出現(xiàn)頻率出現(xiàn)概率p矩法預(yù)計(jì)量.作為事件A參數(shù)估計(jì)(2)第14頁例3設(shè)總體X服從[1,2]上均勻分布,其密度為其中1,2未知,2>1,求

1,2矩法預(yù)計(jì)量.解:因?yàn)镋X=DX=由方程組則分別是

1,2矩法預(yù)計(jì)量.解出參數(shù)估計(jì)(2)第15頁例4設(shè)總體X服從參數(shù)>0指數(shù)分布,其密度為求矩預(yù)計(jì).解:因?yàn)镋X=又因?yàn)镈X=即由矩法即由矩法此例說明,矩預(yù)計(jì)結(jié)果可能不唯一(通常選擇第一個(gè)結(jié)果)參數(shù)估計(jì)(2)第16頁例5設(shè)總體X~P(),求參數(shù)矩預(yù)計(jì).解:因?yàn)镋X=,所以又因?yàn)镈X=,所以此例一樣說明矩預(yù)計(jì)結(jié)果不唯一.參數(shù)估計(jì)(2)第17頁注:(1)預(yù)計(jì)量和預(yù)計(jì)值區(qū)分.參數(shù)預(yù)計(jì)值是預(yù)計(jì)量一次觀察值,因?yàn)轭A(yù)計(jì)統(tǒng)計(jì)量優(yōu)良性質(zhì),如無偏性,有效性,相合性等.,即由一個(gè)怎樣統(tǒng)計(jì)量得到,并研究該值數(shù)值本身,而是關(guān)心它是用什么方法求出來只是一個(gè)近似值,參數(shù)預(yù)計(jì)所關(guān)心不是預(yù)計(jì)量是隨機(jī)變量,含有波動(dòng)性,因而參數(shù)預(yù)計(jì)值參數(shù)估計(jì)(2)第18頁(2)矩預(yù)計(jì)是古老點(diǎn)預(yù)計(jì)方法,直觀且簡便,矩預(yù)計(jì)量不統(tǒng)一,這在應(yīng)用時(shí)是很不利.一些分布(如泊松分布),B2都是矩預(yù)計(jì).利用分布函數(shù)F(x;)對(duì)參數(shù)所提供信息.另外,不存在,就不能用矩法.其次,矩法沒有充分不過矩法要求總體原點(diǎn)矩存在,假如原點(diǎn)矩預(yù)計(jì)時(shí),并不一定要知道X分布函數(shù)F(x;),尤其是對(duì)總體X期望和方差等數(shù)字特征進(jìn)行參數(shù)估計(jì)(2)第19頁二最大似然法

(極大似然法)(R.Fisher在19論文中提出方法)未知參數(shù)預(yù)計(jì)量(極大似然法是點(diǎn)預(yù)計(jì)中最主要方法.利用總體X分布函數(shù)表示式F(x;)及樣本所提供信息,建立)(X1,X2,...,Xn)比如:兩人射擊同一目標(biāo),事先并不知道誰技術(shù)好,現(xiàn)在每人各打一發(fā),有一人擊中目標(biāo),我們認(rèn)為擊中技術(shù)比擊不中技術(shù)要好,顯然是合理.參數(shù)估計(jì)(2)第20頁又比如:某事件A發(fā)生概率是0.1或0.9,在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生了,當(dāng)然認(rèn)為它發(fā)生概率是0.9.再比如:設(shè)在一口袋中裝有許多白球和黑球,只知道兩種球百分比是3:1,但并不知道黑球多還是白球多,就是說占百分比是1/4還是3/4.抽到黑球概率是1/4或3/4,希望經(jīng)過試驗(yàn)來判斷黑球參數(shù)估計(jì)(2)第21頁設(shè)總體X為連續(xù)型,密度為f(x;),其中為待估參數(shù),(X1,X2,...,Xn)為樣本,則樣本聯(lián)合密度為樣本落在點(diǎn)(x1,x2,...,xn)鄰域內(nèi)概率為這是函數(shù).將直接影響到選取使到達(dá)最大作為預(yù)計(jì)值.可見,取值不一樣,極大似然法原理就是參數(shù)估計(jì)(2)第22頁通常記為而假如X為離散型,通慣用X概率函數(shù)P(x;)代替f(x;).作為樣本觀察值函數(shù),參數(shù)估計(jì)(2)第23頁定義設(shè)總體X密度函數(shù)為f(x;1?2,...,l),其中

1?2,...,l為未知參數(shù),(X1,X2,…,Xn)為i極大似然預(yù)計(jì)量.聯(lián)合密度函數(shù)為f(x1,x2,...,xn;1?2,...,l),稱L(1?2,...,l)=為1?2,...,l似然函數(shù).若有使下式成立max{L(1?2,...,l)}

1?2,...,l則稱(X1,X2,...,Xn)為樣本,其(i=1?2,...,l)參數(shù)估計(jì)(2)第24頁lnL(1?2,...,l)=因?yàn)橐驗(yàn)閘nx是關(guān)于x單調(diào)上升函數(shù),所以lnL與L有相同極大值點(diǎn).稱為似然方程組.由此解得(X1,X2,…,Xn)且能驗(yàn)證它是一個(gè)極大值點(diǎn),極大似然預(yù)計(jì)量.則為i參數(shù)估計(jì)(2)第25頁若X為離散型,概率函數(shù)為P(x;1?2,...,l),則似然函數(shù)為L(1?2,...,l)=由似然方程組解得(X1,X2,…,Xn),若它是極大值點(diǎn)為i極大似然預(yù)計(jì)量.則參數(shù)估計(jì)(2)第26頁

求參數(shù)及2極大似然預(yù)計(jì)量.解：Xi密度函數(shù)為：

,2似然函數(shù)：例1設(shè)總體(X1,X2,...,Xn)為樣本參數(shù)估計(jì)(2)第27頁取對(duì)數(shù)：似然方程組：和B2分別為和2極大似然預(yù)計(jì)量.(與和2矩預(yù)計(jì)量完全一樣)所以,解出：參數(shù)估計(jì)(2)第28頁例2設(shè)總體X服從參數(shù)>0指數(shù)分布,其密度為求最大似然預(yù)計(jì).解:似然函數(shù)為則LnL()=nLnXi似然方程為解出(輕易驗(yàn)證,為極大值點(diǎn))參數(shù)估計(jì)(2)第29頁設(shè)總體X服從[1,2]上均勻分布,1,2未知,求1,2最大似然預(yù)計(jì)量例3解：X密度函數(shù)為可知1,2似然函數(shù)為參數(shù)估計(jì)(2)第30頁似然方程為從似然方程中不可能解出1及2極大似然預(yù)計(jì)量.現(xiàn)在,依據(jù)似然函數(shù)定義來確定1及2非零,必須有極大似然預(yù)計(jì)量.顯然,要使似然函數(shù)L(1,2)參數(shù)估計(jì)(2)第31頁為1及2極大似然預(yù)計(jì)量.1X1*=min{X1,X2,...Xn}Xn*

=max{X1,X2,...Xn}2

因?yàn)榻袢t有所以,參數(shù)估計(jì)(2)第32頁例4設(shè)總體X在[0,]上服從均勻分布，其概率密?(x;)=求最大似然預(yù)計(jì).度函數(shù)為L()=解:似然函數(shù)為（i=1,2,...,n）＝max{Xi}是最大似然預(yù)計(jì)量．所以參數(shù)估計(jì)(2)第33頁解:似然函數(shù)：取對(duì)數(shù)：>0

，求極大似然預(yù)計(jì)量.例5設(shè)總體X~P(),

X概率函數(shù)為參數(shù)估計(jì)(2)第34頁

解似然方程：故參數(shù)極大似然預(yù)計(jì)量為：得：參數(shù)估計(jì)(2)第35頁例6設(shè)總體X服從（0-1）分布,即求參數(shù)p極大似然預(yù)計(jì)量.X01P1-pp（0<p<1）P(A)=p,解：總體X分布列為似然函數(shù)：參數(shù)估計(jì)(2)第36頁

取對(duì)數(shù)：似然方程：解方程得：所以,p極大似然預(yù)計(jì)量為參數(shù)估計(jì)(2)第37頁

(1)寫出似然函數(shù)：(2)取對(duì)數(shù)：(3)求解似然方程：求極大似然預(yù)計(jì)步驟：(當(dāng)總體X是離散型時(shí),用X概率函數(shù)P(x;)代替密度函數(shù)f(x;))對(duì)各參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),并令它們?yōu)?即參數(shù)估計(jì)(2)第38頁求出此方程組解(4)驗(yàn)證確實(shí)使lnL(1,2,...n)到達(dá)最大值.(這一步通常省略)參數(shù)估計(jì)(2)第39頁注:(2)極大似然法充分利用了總體分布函數(shù)表示式(1)若似然函數(shù)L(1?2…k)

不是可微函數(shù)則不能用上述方法.提供信息,因而有一些優(yōu)良性質(zhì).最大似然預(yù)計(jì)有下述性質(zhì):設(shè)函數(shù)u=u()含有單值反函數(shù)=(u).又設(shè)是X概率分布中最大似然預(yù)計(jì).參數(shù)最大似然預(yù)計(jì),則是u()參數(shù)估計(jì)(2)第40頁(3)極大似然法是最主要和最好方法之一,但(4)在總體服從正態(tài)分布,泊松分布,二項(xiàng)分布計(jì)算較復(fù)雜(有一些近似算法).指數(shù)分布情況下,矩法和極大似然法預(yù)計(jì)結(jié)果相同.(均勻分布預(yù)計(jì)結(jié)果不一樣)參數(shù)估計(jì)(2)第41頁§7.2預(yù)計(jì)量優(yōu)良性我們知道,對(duì)同一未知參數(shù)能夠結(jié)構(gòu)出許多預(yù)計(jì)量,怎樣評(píng)價(jià)這些預(yù)計(jì)量好壞?主要有以下幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn):1．無偏性3．一致性(相合性)*2．有效性參數(shù)估計(jì)(2)第42頁

因?yàn)轭A(yù)計(jì)量是隨機(jī)變量，對(duì)于不一樣樣本值會(huì)一無偏性得到不一樣預(yù)計(jì)值.我們希望預(yù)計(jì)量觀察值在屢次重復(fù)試驗(yàn)中,能在未知參數(shù)真值附近擺動(dòng).一個(gè)預(yù)計(jì)量，若E()=,則稱是無偏預(yù)計(jì)量.定義設(shè)＝(X1,X2,…,Xn)為未知參數(shù)不然稱為有偏預(yù)計(jì)量.參數(shù)估計(jì)(2)第43頁記E()=bn,稱bn為預(yù)計(jì)量偏差.若bn0,則稱為有偏預(yù)計(jì)量.若則稱為漸進(jìn)無偏預(yù)計(jì)量.對(duì)于參數(shù)任一實(shí)值函數(shù)g(),假如g()無偏預(yù)計(jì)量存在,也就是說存在統(tǒng)計(jì)量T,使得E(T)=g()則稱g()為可預(yù)計(jì)函數(shù).參數(shù)估計(jì)(2)第44頁例1設(shè)總體Xk階原點(diǎn)矩存在,即k=E(Xk)是有限,則子樣k階原點(diǎn)矩是總體k階原點(diǎn)矩?zé)o偏預(yù)計(jì)量.解:子樣k階原點(diǎn)矩為所以,Ak是k無偏預(yù)計(jì)量尤其地,為EX無偏預(yù)計(jì)E(Ak)=

參數(shù)估計(jì)(2)第45頁例2

設(shè)總體X方差DX=2是有限,證實(shí)是2有偏預(yù)計(jì)量是2無偏預(yù)計(jì)量證:子樣b2是2矩法預(yù)計(jì),因?yàn)閰?shù)估計(jì)(2)第46頁所以B2是2有偏預(yù)計(jì)量參數(shù)估計(jì)(2)第47頁即S2是2無偏預(yù)計(jì)量.即B2是2漸近無偏預(yù)計(jì)量.另外而所以參數(shù)估計(jì)(2)第48頁上述例子說明,不論總體服從什么分布,只要EX=

和DX=2存在,那么和分別是和2無偏預(yù)計(jì)量.參數(shù)估計(jì)(2)第49頁普通地,當(dāng)總體Xk階原點(diǎn)矩k存在時(shí),子樣k階原點(diǎn)矩Ak總是總體Xk階原點(diǎn)矩?zé)o偏預(yù)計(jì)量.而子樣k階無偏預(yù)計(jì)是對(duì)預(yù)計(jì)量一個(gè)常見要求,它確實(shí)是一個(gè)中心矩Bk不是總體Xk階中心矩k無偏預(yù)計(jì)量.優(yōu)良性質(zhì),其意義在于:它確保了在屢次重復(fù)抽樣平均意義下,給出靠近真值預(yù)計(jì).但在一些情況下,“平均”沒有實(shí)際意義,所以,預(yù)計(jì)量無偏性要依據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行分析.參數(shù)估計(jì)(2)第50頁注:例3

當(dāng)DX0,因?yàn)閯t若當(dāng)E()=時(shí),不一定有E(g())=g(),其中,當(dāng)是無偏預(yù)計(jì)量時(shí),g(

)不一定是g()無偏預(yù)計(jì)量.g()為實(shí)值函數(shù),即:參數(shù)估計(jì)(2)第51頁例4設(shè)X1,X2,...,Xn是總體X~N(

,

2)一個(gè)樣本,解:E(Xi)=

D(Xi)=2

(i=1?2…,n)由題設(shè)依據(jù)Xi與Xi+1獨(dú)立性,有=D(Xi+1)+D(Xi)+[EXi+1EXi]2=22

適當(dāng)選擇常數(shù)c,使為2無偏預(yù)計(jì).參數(shù)估計(jì)(2)第52頁所以故參數(shù)估計(jì)(2)第53頁二有效性都是參數(shù)

無偏預(yù)計(jì)量，若有定義：和D()<D()都有設(shè)則稱較有效。任一無偏預(yù)計(jì)量。則稱是最小方差無偏預(yù)計(jì)量.是參數(shù)

無偏預(yù)計(jì)量，若對(duì)參數(shù)

（也稱最優(yōu)無偏預(yù)計(jì)）設(shè)參數(shù)估計(jì)(2)第54頁

≤例5設(shè)X1,X2,...,Xn是取自總體X一個(gè)樣本,且無偏預(yù)計(jì)量都是總體均值因?yàn)樗詷颖揪递^個(gè)別樣本X1有效.參數(shù)估計(jì)(2)第55頁

設(shè)總體X均值與方差分別為X1,X2為總體X樣本,例6對(duì)于參數(shù)兩個(gè)預(yù)計(jì)量問哪一個(gè)更有效?解:先驗(yàn)證

與

均為無偏預(yù)計(jì)量參數(shù)估計(jì)(2)第56頁

比有效.因?yàn)樗詤?shù)估計(jì)(2)第57頁例7設(shè)總體X均值與方差分別為X1,X2,...,Xn是取自總體X一個(gè)樣本,和樣本加權(quán)平均值樣本均值(其中)均可作為參數(shù)預(yù)計(jì)量,比較它們優(yōu)良性.解:因?yàn)樗跃鶠闊o偏預(yù)計(jì)量參數(shù)估計(jì)(2)第58頁又依據(jù)X1,X2,...,Xn獨(dú)立性,有所以又因?yàn)樗员扔行?參數(shù)估計(jì)(2)第59頁我們不但希望一個(gè)預(yù)計(jì)量是無偏，且含有較小方差（無偏性與有效性是在樣板容量n固定情況下建立起來評(píng)判法則），還希望當(dāng)樣板容量無限增大時(shí)，即觀察次數(shù)無限增多時(shí)，預(yù)計(jì)量在某種意義下越來越靠近于被估參數(shù)真值，這就是一致性要求。三一致性（相合性）參數(shù)估計(jì)(2)第60頁定義：則稱是一致預(yù)計(jì)(相合預(yù)計(jì)).預(yù)計(jì)量，n為樣本容量，若對(duì)>0,有是總體未知參數(shù)設(shè)成立參數(shù)估計(jì)(2)第61頁是指n時(shí)情形.而預(yù)計(jì)量無偏性是對(duì)固定n來說，所以稱為“小樣本性質(zhì)”.相合性能夠說是對(duì)預(yù)計(jì)量一個(gè)起碼而合理要求,假如不論作多少次試驗(yàn),也不能把g()預(yù)計(jì)到任意指定準(zhǔn)確程度,則這個(gè)預(yù)計(jì)量是否適用值得懷疑.相合性稱為預(yù)計(jì)量“大樣本性質(zhì)”，參數(shù)估計(jì)(2)第62頁點(diǎn)預(yù)計(jì)是參數(shù)預(yù)計(jì)一個(gè)主要方法,它用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量去預(yù)計(jì)未知參數(shù).理論推導(dǎo)簡便,在應(yīng)用中也有很多方便之處,能夠用樣本觀察值算出參數(shù)預(yù)計(jì)值.不過，預(yù)計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量,它只是給出了未知參數(shù)一個(gè)近似值，并沒有給出這個(gè)近似值誤差范圍和§7.3區(qū)間預(yù)計(jì)范圍和參數(shù)落入該范圍概率大小問題,即要討論預(yù)計(jì)精度和可靠性問題.預(yù)計(jì)可信程度.在實(shí)際應(yīng)用中自然要提出確定參數(shù)所在參數(shù)估計(jì)(2)第63頁區(qū)間預(yù)計(jì)恰好填補(bǔ)了點(diǎn)預(yù)計(jì)這個(gè)缺點(diǎn).點(diǎn)預(yù)計(jì)與區(qū)間預(yù)計(jì)互為補(bǔ)充，各有用途.依據(jù)樣本指出未知參數(shù)一個(gè)范圍（區(qū)間），使它以比較大可能性包含未知參數(shù)真值.也就是說,我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高可靠程度相信它包含未知參數(shù)真值.參數(shù)估計(jì)(2)第64頁滿足設(shè)總體X分布函數(shù)F(x;)中含有一個(gè)待估若由子樣X1,X2,…,Xn確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量則稱隨機(jī)區(qū)間(T1,T2)是參數(shù)

置信水平為1T1,T2分別稱為置信下限和置信上限.置信區(qū)間.一區(qū)間預(yù)計(jì)基本思想定義參數(shù)，對(duì)于給定常數(shù)(0<<1),T1=T1(X1,X2,…,Xn)和T2=T2(X1,X2,…,Xn)P{T1<<T2}=1參數(shù)估計(jì)(2)第65頁1又稱為置信度,稱為顯著性水平．參數(shù)區(qū)間預(yù)計(jì)意義:真值,也可能不包含真值.當(dāng)抽樣次數(shù)充分大時(shí),所以,一個(gè)置信度為0.95區(qū)間預(yù)計(jì)(T1,T2),但它是一個(gè)常數(shù),而區(qū)間(T1,T2)是隨機(jī),假如在樣本容量n不變情況下,重復(fù)抽樣屢次,每個(gè)樣本值確定一個(gè)區(qū)間(T1,T2),每個(gè)這么區(qū)間可能包含包含區(qū)間頻率靠近于置信度1.待估參數(shù)即使未知,參數(shù)估計(jì)(2)第66頁其實(shí)際意義可了解為:當(dāng)抽樣100次時(shí),平均約有95個(gè)區(qū)間包含了參數(shù),平均約有5個(gè)區(qū)間不包含參數(shù)．置信水平1表明置信區(qū)間(T1,T2)可靠性,1越大,區(qū)間(T1,T2)包含概率越大.固定,置信區(qū)間(T1,T2)長度T2T1反應(yīng)置信區(qū)間精度,T2T1越小,預(yù)計(jì)精度越高,誤差越小.參數(shù)估計(jì)(2)第67頁我們既希望置信水平1盡可能大,又希望預(yù)計(jì)精度盡可能高,不過,當(dāng)樣本容量n給定時(shí),1與T2T1是相互制約,降低其中一個(gè)也就增大了另一個(gè).普通地,求參數(shù)區(qū)間預(yù)計(jì)奈曼(Neyman)標(biāo)準(zhǔn)是:確?？煽啃?即固定1,努力提升精度,也就是選取長度最短置信區(qū)間.參數(shù)估計(jì)(2)第68頁(1)通常說隨機(jī)區(qū)間(T1,T2)以1概率包含參數(shù)注:而不說參數(shù)以1概率落入隨機(jī)區(qū)間(T1,T2),因?yàn)閰?shù)是非隨機(jī).(2)定義中,普通以取0.05為最多,還有0.01,0.10,及0.001等,這幾個(gè)數(shù)字并無特殊意義,主要是這么標(biāo)準(zhǔn)化了后造表方便.參數(shù)估計(jì)(2)第69頁

二單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)置信區(qū)間1.當(dāng)2已知時(shí),區(qū)間預(yù)計(jì)例1

設(shè)總體X~N(,

2),2已知,未知,X1,X2,…,Xn是總體X樣本,求置信區(qū)間.(置信水平為1).解:要求置信區(qū)間,就是要在給定置信水平1下,求兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量T1和T2,使P{T1<<T2}=1同時(shí)要盡可能使區(qū)間長度T2T1到達(dá)最小參數(shù)估計(jì)(2)第70頁選點(diǎn)預(yù)計(jì)為因?yàn)樗栽谡龖B(tài)分布表中能夠查出上側(cè)分位數(shù)使即參數(shù)估計(jì)(2)第71頁由此可得置信區(qū)間為所以,這么確定區(qū)間長度最短.)(依據(jù)N(0,1)密度函數(shù)特點(diǎn):對(duì)稱,原點(diǎn)附近密度最大.參數(shù)估計(jì)(2)第72頁對(duì)于不一樣置信水平1,置信區(qū)間也不一樣0.010.050.102.581.961.65參數(shù)估計(jì)(2)第73頁(1)平均直徑預(yù)計(jì)值為：某企業(yè)生產(chǎn)滾珠,其直徑服從正態(tài)分布,從某日例2產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè)，測得直徑(mm)為：14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）預(yù)計(jì)該日產(chǎn)品平均直徑；（2）若已知方差為0.06，試求平均值置信區(qū)間.(1=90%)

解：設(shè)滾珠直徑為X，則參數(shù)估計(jì)(2)第74頁

1=90%

，

（2）若已知方差為0.06，求平均值置信區(qū)間(1=90%)當(dāng)=0.1時(shí),置信度為1置信區(qū)間為：=(14.79,15.12)參數(shù)估計(jì)(2)第75頁

2.當(dāng)2未知時(shí)，總體均值置信區(qū)間依據(jù)定理7對(duì)給定置信度1-，自由度n1,查t分布分位(前面當(dāng)方差2已知時(shí),用統(tǒng)計(jì)量現(xiàn)在方差未知，考慮用樣本方差S2代替)因?yàn)閠分布密度函數(shù)圖形與正態(tài)分布類似,數(shù)表得到參數(shù)估計(jì)(2)第76頁即即所以,均值置信度為1置信區(qū)間為使得參數(shù)估計(jì)(2)第77頁例3

已知某地域新生嬰兒體重X~隨機(jī)抽查12個(gè)嬰兒體重(單位：克)，95%置信區(qū)間.解：因方差2未知，取

置信度為1

置信區(qū)間：，求置信度為參數(shù)估計(jì)(2)第78頁（1）代入(1)式得：將=(2818,3296)參數(shù)估計(jì)(2)第79頁

取對(duì)給定置信度1,令3.方差2置信區(qū)間為1置信區(qū)間.設(shè)總體個(gè)樣本，參數(shù)估計(jì)(2)第80頁從中解得：所以,方差2置信度為1置信區(qū)間為：參數(shù)估計(jì)(2)第81頁

標(biāo)準(zhǔn)差置信度為1置信區(qū)間為：參數(shù)估計(jì)(2)第82頁從一批鋼珠中隨機(jī)抽取9個(gè),測量它們直徑,并求出例4其樣本均值樣本方差s2=0.252,假定鋼珠直徑X~N(,2),求置信水平為95和2置信區(qū)間.解:置信區(qū)間為此處n=9,=0.05查表得t0.025(8)=2.306參數(shù)估計(jì)(2)第83頁所以,置信區(qū)間為(31.060.192,31.06+0.192)=(30.868,31.252)

2置信區(qū)間為查表得所以,2置信區(qū)間為(0.028,0.233)參數(shù)估計(jì)(2)第84頁

設(shè)總體總體X和Y樣本,且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立X1,X2,...,Xn,和Y1,Y2,...,Ym分別是取自記三兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)區(qū)間預(yù)計(jì)設(shè)置信水平為1-參數(shù)估計(jì)(2)第85頁1當(dāng)12,22已知時(shí),12區(qū)間預(yù)計(jì)因?yàn)樗杂泤?shù)估計(jì)(2)第86頁對(duì)給定置信水平1,查表得到上側(cè)分位數(shù)使得即參數(shù)估計(jì)(2)第87頁所以,12置信區(qū)間為參數(shù)估計(jì)(2)第88頁2當(dāng)12=22=

2未知時(shí),12區(qū)間預(yù)計(jì)且V1,V2獨(dú)立,則依據(jù)2分布可加性參數(shù)估計(jì)(2)第89頁所以,把U,V帶入上式,得到然后查t分布表,求出上分位數(shù),即得到12置信區(qū)間參數(shù)估計(jì)(2)第90頁當(dāng)12,22未知時(shí),12區(qū)間預(yù)計(jì)(貝倫斯菲舍爾問題)當(dāng)前還沒有普通解.參數(shù)估計(jì)(2)第91頁3當(dāng)

1,2未知時(shí),方差比

區(qū)間預(yù)計(jì)分別為12,22無偏預(yù)計(jì)且V1,V2獨(dú)立,所以參數(shù)估計(jì)(2)第92頁所以即所以置信區(qū)間為參數(shù)估計(jì)(2)第93頁例5

兩正態(tài)總體

參數(shù)均未知,依次抽取容量為13,10兩獨(dú)立樣本,

測得

求兩總體方差比

置信區(qū)間.

(1=0.9)解:

n=13m=10=0.1

查F-分布表,得F0.05(12,9)=3.07F0.95(12,9)=參數(shù)估計(jì)(2)第94頁

而

所以

置信區(qū)間為參數(shù)估計(jì)(2)第95頁四非正態(tài)總體參數(shù)區(qū)間預(yù)計(jì)(大樣本法)1.均值區(qū)間預(yù)計(jì)

設(shè)總體X,EX=a,DX=2>0,求a區(qū)間預(yù)計(jì).

依據(jù)中心極限定理

所以,當(dāng)n相當(dāng)大時(shí),近似地有即a置信區(qū)間為與X是正態(tài)總體時(shí)a置信區(qū)間一樣.(近似服從)參數(shù)估計(jì)(2)第96頁

當(dāng)未知時(shí),因?yàn)閚相當(dāng)大,樣本均方差s是一個(gè)相合預(yù)計(jì),可用s代替,得(近似服從)所以,a置信區(qū)間為它置信水平,當(dāng)n相當(dāng)大時(shí),近似地為1,近似程度怎樣,不但取決于n大小,還要看總體分布.參數(shù)估計(jì)(2)第97頁例6

若事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生概率為p,作n次獨(dú)立

重復(fù)試驗(yàn),用n記A發(fā)生次數(shù),求p置信區(qū)間.解:

依據(jù)中心極限定理,當(dāng)n相當(dāng)大時(shí),近似地有所以(此題也能夠用前面置信區(qū)間)即參數(shù)估計(jì)(2)第98頁由上式可解出即p置信區(qū)間為(A,B)其中A,B是方程兩個(gè)根即A,B=其中A取負(fù)號(hào),B取正號(hào),(此題也能夠用前面置信區(qū)間)參數(shù)估計(jì)(2)第99頁注:

本題依據(jù)中心極限定理,

近似服從N(0,1)所以,區(qū)間預(yù)計(jì)(A,B)置信水平1也是近似.當(dāng)n較大時(shí),如n

30,相去不遠(yuǎn).實(shí)際上,當(dāng)n較小時(shí),求p區(qū)間預(yù)計(jì)意義不大.因?yàn)樽畲笾禐槿舭阎蹈臑閰?shù)估計(jì)(2)第100頁此時(shí),區(qū)間(A,B)長為取=0.05,有若要求區(qū)間長不超出0.3(這是一個(gè)很低要求)則有可計(jì)算出n

39以上說明:在試驗(yàn)次數(shù)少于40時(shí),求p區(qū)間預(yù)計(jì)沒有太大實(shí)用意義.參數(shù)估計(jì)(2)第101頁例7求泊松分布P()中未知參數(shù)置信區(qū)間.解:泊松分布P()均值和方差均為

依據(jù)中心極限定理,

近似服從N(0,1)當(dāng)n相當(dāng)大時(shí),仿照例6做法,可得區(qū)間預(yù)計(jì)(A,B)其中A,B是方程兩個(gè)根即A,B=(A取負(fù)號(hào),B取正號(hào))參數(shù)估計(jì)(2)第102頁X和Y樣本,且設(shè)X1,X2,...,Xn和Y1,Y2,...,Ym分別是取自總體E(X)=1,D(X)=122均值差12區(qū)間預(yù)計(jì)假定兩個(gè)總體及其樣本是相互獨(dú)立