2019全國(guó)I卷理科數(shù)學(xué)高考真題-新

2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1?已知集合M={x|-4<x<2},N={xx2-x-6<0}，則M「|N={x—4<x<3}b.{x|-4<x<-2}c.{x|-2<x<2}d.{x|2<x<3}2?設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),貝ijA.(x+l)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1》=13.已知a=log0.2,b=2o.2,c=O.2o.3，則2A.a<bA.a<b<ca<c<bc<a<bb<c<a4?古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是申(尋1"0.618，稱(chēng)為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此?此外，最美人體的頭頂至咽5-1喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是——?若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為2105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是165cm175cm185cm190cm165cm175cm185cm190cmsinx+x「.5?函數(shù)f(x)=COE在E刃的圖像大致為卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是A．7．51121—B.C?D163232已知非零向量a,b滿足Ia1=21卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是A．7．51121—B.C?D163232已知非零向量a,b滿足Ia1=21bI，且(a-b)丄b,則a與b的夾角為1116A．nB.-32nC.—5nD.68.如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入2否是輸出/W+1A.A=B.A=2+-AC.A=D.A=1+12A9.記S為等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和.已知S=0,a=5，則nn45A.a=2nA.a=2n-5nB.a=3n-10nC.S=2n2-8nn1D.S=n2一2nn21°?已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1)，卩0),過(guò)F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若1化=2|F2BLIABl=lBFI，則C的方程為1x2yx2y2B.丁+亍=1x2y2CW+丁二1x2y2D丁+才二111.關(guān)于函數(shù)f(x)=sinlxI+IsinxI有下述四個(gè)結(jié)論:①f(x)是偶函數(shù)①f(x)是偶函數(shù)②f(x)在區(qū)間(一2)單調(diào)遞增③f(x)在［—兀,兀］有4個(gè)零點(diǎn)④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A.①②④B.②④A.①②④B.②④C.①④D.①③12.已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球0的球面上，PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,F分別是PA,AB的中點(diǎn)，ZCEF=90。，則球0的體積為B.4J6兀A.B.4J6兀二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。TOC\o"1-5"\h\z曲線y=3(x2+x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.記S為等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和.若a=；，a2=a，貝卩S二.nn1346515．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4:1獲勝的概率是.x2y2已知雙曲線C：—廠=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，過(guò)F的直線與C的兩條a2b2121漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若FA=AB，F(xiàn)B?FB=0，則C的離心率為.112三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。(12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)(sinB一sinC)2=sin2A一sinBsinC.求A；若邁a+b=2c，求sinC.(12分)如圖，直四棱柱ABCD-ABCD的底面是菱形，AA=4,AB=2,ZBAD=60°，E,M,N分別是BC，BB,111111AD的中點(diǎn).1證明：MN〃平面CDE；1求二面角A-MA-N的正弦值.1(12分)已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為2的直線l與C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)為P.2若|AF|+|BF|=4,求l的方程；若AP=3PB，求|AB|.(12分)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(l+x),f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)?證明：兀廣(x)在區(qū)間(j，2)存在唯一極大值點(diǎn)；f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).(12分)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分?甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和B,—輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.求X的分布列；若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，p.(i=0，1，-，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最i終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則P=0，P=1，P=aP+bp+cp(i=^2，…，7)，08ii-1ii+1其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設(shè)a=0.5，P=0?8.證明：{P―P}(i=0丄2,…,7)為等比數(shù)列；i+1i求PA，并根據(jù)PA的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.44(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。1122．［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中,x=在直角坐標(biāo)系xOy中,x=曲線C的參數(shù)方程為＜y=1-121+12

4t1+12t為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2pcos0+J3psin0+11二0.（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.23．［選修4—5：不等式選講］（10分）已知a,b,c為正數(shù)，且滿足abc=l.證明:1111)abc+—+—<a2+b2+c21)abc(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3>24.2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)?參考答案一、選擇題1.C2.C3.4.B5.D6.A7.B8.A9.A10.B11.C12.D1.C2.C3.4.B5.D6.A7.B8.A9.A10.B11.C12.D、填空題13.y=3x13.y=3x12114.15.0.1816.2三、解答題17.解：(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bcb2+c2-a212bc由余弦定理得cosA=2bc因?yàn)?°<A<180°，所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C，由題設(shè)及正弦定理得<2sinA+sin(l20o-C)=2sinC,即#+中0sC+2sinC=2sinC，可得cos°+60°)=-#?由于0。<由于0。<C<120。，所以sinG+6。。）=￥sinC=sin+60。一60。=sin（C+60。）cos60?！猚os（C+60。）sin60。18?解：（1）連結(jié)BC,ME.1因?yàn)镸,E分別為BB,BC的中點(diǎn),11所以ME〃BC,且ME二BC.1211又因?yàn)镹為AD的中點(diǎn)，所以ND二AD.2由題設(shè)知AB=DC,可得BC=AD,故ME=ND,因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN〃ED.又MN乞平面EDC,所以MN〃平面CDE.11（2）由已知可得DE丄DA.以D以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A（2,0,0）‘A?0,4）,M（炕2），N（1，0,2），孚=（0Q-4），AM="-2），AN=（—1,0,—2）,MN=（0,-丁3,0）.m?AM=0設(shè)m=（x，y,z）為平面A1MA的法向量’則J?匕=0

n-MN二0,n-~AN二0.所以fX+V'ly—22二0可取mn-MN二0,n-~AN二0.設(shè)n=(p,q,r)為平面A』N的法向量，則<—\3q=0,/cc1、所以］cc可取n=(2，°，—1).—p—2r-0.于是cos〈m,n〉m-nIm于是cos〈m,n〉m-nImilnI所以二面角A-MA1-N的正弦值為19.解：3設(shè)直線1:y_2x+t，AW”,BgU(3\(1)由題設(shè)得F-,0k4丿故IAFI+1BFI_x+x+3,122由題設(shè)可得Xi+X23y_—x+1由十2，可得9x2+12(t—1)x+4t2_0,y2_3x12(t—1)則叫嚴(yán)_—廠從而12(t—1)_5

—~92'37所以1的方程為y_x——28⑵由AP_3麗可得人_-3打.3y_—x+1小小小由\2，可得y2—2y+2t_0.y2_3x所以y+y_2.從而—3y+y_2，故y_—1,y_3.122221代入C的方程得x_3,x_.123…i4屈故1AB|_—.1120.解：(1)設(shè)g(x)_f'(x)，則g(x)_cosx—，g'(x)_—sinx+當(dāng)xef-1,彳］時(shí),k當(dāng)xef-1,彳］時(shí),k2丿g'(x)單調(diào)遞減，而g'(0)>0,g‘(〒)<0，可得g'(x)在—廳有唯一零點(diǎn),2k2丿則當(dāng)xe(-1,d)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)xe所以g(x)在(-則當(dāng)xe(-1,d)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)xe所以g(x)在(-1,a)單調(diào)遞增，在a，牙時(shí)，g'(x)<0.k2丿a,￡單調(diào)遞減，故g(x)在-1￡存在唯一極大值k2丿2丿(2)f(x)的定義域?yàn)?—1,+a).(i)當(dāng)xe(-1,0］時(shí)，由⑴知,f'(x)在(-1,0)單調(diào)遞增，而f'(0)=0，所以當(dāng)xe(-1,0)時(shí)，f'(x)<0，故f(x)在(-1,0)單調(diào)遞減，又f(0)=0，從而x=0是f(x)在(-1,0］的唯一零點(diǎn).-1單調(diào)遞減，而f'(0)=02丿，(-1(-f'-<0，所以存在0ea，彳k2丿-1單調(diào)遞減，而f'(0)=02丿，(-1(-f'-<0，所以存在0ea，彳k2丿k2，使得f'(0)=0，且當(dāng)xe(0,0)時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)xefp,彳丿時(shí)，f'(x)<0?故f(x)在(0,0)單調(diào)遞增,k2丿(-1(-1二1-lnk2丿k2丿又f(0)=0，f>又f(0)=0，f>0，-I所以當(dāng)xe0二時(shí)，f(x)>0.從而，f(x)在0,沒(méi)有零點(diǎn).(iii)當(dāng)xe((iii)當(dāng)xe(k2,:時(shí)，f'(x)<0，所以f(x)在［2,k2丿單調(diào)遞減?而ff-K0，f(兀)<o,所以f(x)在［韋,-k2有唯一零點(diǎn).(iv)當(dāng)xe(兀,+8)時(shí)，ln(x+1)>1，所以f(x)<0，從而f(x)在(兀,+a)沒(méi)有零點(diǎn).綜上，f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).21?解：X的所有可能取值為一1，0，1.P(X=-1)二(1-a)0，P(X二0)二a0+(1-a)(1-0)，P(X二1)二a(1-0)，所以X的分布列為(2)(i)由(1)得a=0.4,b=0.5,(2)(i)由(1)得a=0.4,b=0.5,c—0」因此p=0.4p+0.5p+0.1p，故0.1(pii-1ii+1ip-p—4(p-p).i+1iii-1i+1-p)—0.4(p-p)，即iii-1又因?yàn)閜-p=p豐0,101(ii)由(》可得所以｛p+i-p}(,=°'12...'7)為公比為4,首項(xiàng)為Pi的等比數(shù)列.P=p-p+p-p++p-p+p88776100—(p-p)+(p877-P6)+?.?+(p-p)=4~1p1031由于p8=l，故匕-占，所以p4—(pp4—(p-p)+(p-p)+(p-p)+(p-p)—4332211044-13p11257p表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙41藥治愈率為0?8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概