平面向量知識點(diǎn)總結(jié)(精華)

必修4 平面向量知識點(diǎn)小結(jié)一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別 .向量常用有向線段來表示 .注意：不能說向量就是有向線段，為什么 提示：向量可以平移.舉例1已知A(1,2)uuurr1,3)平移后得到的向，B(4,2)，則把向量AB按向量a(量是_____.結(jié)果：(3,0)2.零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：r，規(guī)定：零向量的0方向是任意的；uuur3.單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量 （與AB共線uuur的單位向量是 AB ）；uuur|AB|相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；r平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作： r∥r，a b規(guī)定：零向量和任何向量平行 .注：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；r③平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?)；④三點(diǎn)A、B、C共線uuuruuurAB、AC共線.6.相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量r.a的相反向量記作ra.舉例2rrrr如下列命題：（1）若|a||b|，則ab.（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同 .uuuruuuur（3）若ABDC，則ABCD是平行四邊形.（4）若ABCD是平行四邊形，則uuuruuuurABDC.rrrrrr（5）若ab，bc，則ac.rrrrrr結(jié)果：（4）（5）（6）若a//b，b//c則a//c.其中正確的是.二、向量的表示方法uuur1.幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如 AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2.符號表示：用一個小寫的英文字母來表示，如rrra，b，c等；3.坐標(biāo)表示：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同rrr的兩個單位向量i,j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為rrrrrraxiyj(x,y)，稱(x,y)為向量a的坐標(biāo)，a(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)表示.結(jié)論：如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.三、平面向量的基本定理定理rr同一平面內(nèi)的一組基底向量，r設(shè)e1,e2a是該平面內(nèi)任一向量，rrr則存在唯一實(shí)數(shù)對(1,2)，使a1e12e2.（1）定理核心：rrr；（2）從左向右看，是對向量r的分解，且a1122aλeλe表達(dá)式唯一；反之，是對向量ra的合成.（3）向量的正交分解：當(dāng)rr時，就說rrr為對向量r的正交分ae,eaλeλe解．rrrr.結(jié)果：舉例3（1）若a(1,1)，b(1,1)，c(1,2)，則c1r3ra2b.2（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 BA.r，rB.rrC.rr(0,0)(1,2)(1,2)(5,7)(3,5)(6,10)eeeeeerr13D.e1(2,3)，e2,42uuuruuuruuurruuurruuur（3）已知AD,BE分別是△ABC的邊BC，AC上的中線,且ADa，BEb,則BCrr.結(jié)果：2r4r可用向量a,b表示為3a3b.uuuruuuruuuruuuruuur，則rs的（4）已知△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD2DB，CDrABsAC值是.結(jié)果：0.四、實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量r的積是一個向量，記作raa，它的長度和方向規(guī)定如下：rr（1）模：|a||||a|；（2）方向：當(dāng)rr的方向相同，當(dāng)r0時，a的方向與a0時，a的r0時，rr方向與a的方向相反，當(dāng)a0，注意： r .a 0五、平面向量的數(shù)量積1.兩個向量的夾角：對于非零向量rruuurruuurra，b，作OAa，OBb，則把AOB(0rr)稱為向量a，b的夾角.當(dāng)rrrr時，rr0時，a，b同向；當(dāng)時，a，b反向；當(dāng)a，b垂2直.r平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a，b，它們的夾角為，我們把數(shù)量rrrrrr|a||b|cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：ab，rrrr.即ab|a||b|cos規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是 0.注：數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不再是一個向量 .舉例4uuuruuuruuuruuuruuur_________.結(jié)（1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，則ABBC果： 9.2）已知結(jié)果：1.

r1r1rrrrrrrr的夾角為4，則____.akbdka1,b0,cdabcrrrrrr結(jié)果：23.（3）已知|a|2，|b|5，ab3，則|ab|____.rrrrrrrrr（4）已知a,b是兩個非零向量，且|a||b||ab|，則a與ab的夾角為____.結(jié)果：30o.rrr3.向量b在向量a上的投影：|b|cos，它是一個實(shí)數(shù)，但不一定大于0.舉例5rrrrrr已知|a|3，|b|5，且ab12，則向量a在向量b上的投影為______.結(jié)果：12.5rrrrr的模rrr4.ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a|a|與b在a上的投影的積.5.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量rr，則：a，b，其夾角為rrrr（1）abab0；rrrrrrr2rrr2rr2；（2）當(dāng)a、b同向時，ab|a||b|，特別地，aaa|a||a|arrrrrrab|a||b|是a、b同向的充要分條件；rrrrrrrrrrrr當(dāng)a、b反向時，ab|a||b|，ab|a||b|是a、b反向的充要分條件；當(dāng)為銳角時，充分條件；

rrrrrr0是為銳角的必要不ab0，且a、b不同向，abrrrrrr當(dāng)為鈍角時，ab0，且a、b不反向；ab充分條件.rr（3）非零向量a，b夾角的計(jì)算公式：cos

0是 為鈍角的必要不rrrrrrabrr；④ab|a||b|.|a||b|舉例6rr,2)rr的夾角為銳角，則的（1）已知a(,2)，b(3，如果a與b取值范圍是______.結(jié)果：4或0且1；33uuuruuuruuuruuur夾角的（2）已知△OFQ的面積為S，且OFFQ1，若1S3，則OF，F(xiàn)Q22取值范圍是_________.結(jié)果：,；43rrrrrr）.（3）已知a(cosx,sinx)，b(cosy,siny)，且滿足|kab|3|akb|（其中k0rrrr的最小值，并求此時rr①用k表示ab；②求aba與b的夾角的大小.rr20)；②最小值為1，60o.k1(k結(jié)果：①ab24k六、向量的運(yùn)算幾何運(yùn)算（1）向量加法運(yùn)算法則：①平行四邊形法則；②三角形法則.uuurruuurruuurr運(yùn)算形式：若ABa，BCb，則向量AC叫做a

r與b的和，即r r uuur uuur uuura b AB BC AC；作圖：略.注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量 .（2）向量的減法運(yùn)算法則：三角形法則 .運(yùn)算形式：若uuurruuurrrruuuruuuruuurABa，ACb，則abABACCA，即由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn) .作圖：略.注：減向量與被減向量的起點(diǎn)相同 .舉例7uuuruuuruuuruuuruuuruuuur；③（1）化簡：①ABBCCD；②ABADDCuuuruuuruuuruuur.uuuruuurr(ABCD)(ACBD)結(jié)果：①AD；②CB；③0；uuurruuurruuurrrrr.（2）若正方形ABCD的邊長為1，ABa，BCb，ACc，則|abc|結(jié)果：22；uuuruuuruuuruuuruuur，則△ABC的（3）若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OBOCOBOC2OA形狀為.結(jié)果：直角三角形；（4）若D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，△ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足uuuruuuruuurruuur，則的值為.結(jié)果：2；|AP|PABPCP0，設(shè)uuur|PD|uuuruuuruuurr，則△ABC的內(nèi)角C為.（5）若點(diǎn)O是△ABC的外心，且OAOBCO0結(jié)果：120o.r(x1,y1)，r(x2,y2)，則2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ab（1）向量的加減法運(yùn)算：rr(x1x2,y1rrx2,y1y2).aby2)，ab(x1舉例8（1）已知點(diǎn)A(2,3)，B(5,4)uuuruuuruuurR)，則當(dāng)____，C(7,10)，若APABAC(時，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上.結(jié)果：1；2（2）已知A(2,3)，B(1,4)，且21uuur)，則x.結(jié)AB(sinx,cosy)，x,y(2,2y果：6或2；（3）已知作用在點(diǎn)uuruuruur(3,1)，則合力A(1,1)的三個力F1(3,4)，F(xiàn)2(2,5)，F(xiàn)3uuruuruuruur結(jié)果：(9,1).FF1F2F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是.（2）實(shí)數(shù)與向量的積：r(x1,y1)(x1,y1).auuury1)，即一個向量的坐標(biāo)等（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB(x2x1,y2于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).舉例9設(shè)A(2,3)，B(1,5)，且uuuruuuruuuruuur，則C,D的坐標(biāo)分別是AC1AB，AD3AB3__________.結(jié)果：(1,11),(7,9).3（4）平面向量數(shù)量積：rrx1x2y1y2.ab舉例10rr(sinx,sinx)r(1,0).已知向量a(sinx,cosx)，b，c（1）若3，求向量r、r的夾角；xac3,]，函數(shù)f(x)rr1，求的值.結(jié)果：（1）150o；（2）若x[ab的最大值為284（2）1或21.2r2r2x2y2rx22.（5）向量的模：a|a||a|y舉例11rrorr已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a3b|.結(jié)果：13.（6）兩點(diǎn)間的距離：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則|AB|(x2x1)2(y2y1)2.舉例12如圖，在平面斜坐標(biāo)系yxOy中，xOy60o，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若

60oOxuuurrrrr分別為與x軸、y軸同OPxe1ye2，其中e1,e2方向的單位向量，則 P點(diǎn)斜坐標(biāo)為 (x,y).1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2,2)，求P到O的距離|PO|；2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程.結(jié)果：（1）2；（2）x2y2xy10.七、向量的運(yùn)算律rrrr，(r(rrrrr1.交換律：abbaa))a，abba；rrrrrrrrrrrrrrrrrr2.結(jié)合律：abc(ab)c，abca(bc)，(a)b(ab)a(b)；3.分配律：(rrrrrrr，rrrrrrr)aaa，(ab)ab(ab)cacbc.舉例13給出下列命題：①rrrrrrrrrrrrra(bc)abac；②a(bc)(ab)c；③rr2r2rrr2；(ab)|a|2|a||b||b|rrrrrrrrrrrrr2rrrr；⑥2；⑦abb④若ab0，則a0或b0；⑤若abcb則ac|a|ar2r；aarr2r2r2；⑨rr2r2rrr2.⑧(ab)ab(ab)a2abb其中正確的是.結(jié)果：①⑥⑨.說明：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個實(shí)數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除 (相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即rrrrrra(bc)(ab)c，為什么八、向量平行(共線)的充要條件rrrrrr2rr2x1y2y1x20.a//bab(ab)(|a||b|)舉例14rrrr(1)若向量a(x,1)，b(4,x)，當(dāng)x_____時，a與b共線且方向相同.結(jié)果：2.2）已知果：4.

rrrrrrrrrr.結(jié)a(1,1)，b(4,x)，ua2b，v2ab，且u//v，則xuuuruuuruuur結(jié)（3）設(shè)PA(k,12)，PB(4,5)，PC(10,k)，則k_____時，A,B,C共線.果：2或11.九、向量垂直的充要條件rrrrrrrrx1x2y1y20.abab0|ab||ab|uuuruuuruuuruuur特別地ABACABAC.uuuruuuruuuruuur|AB||AC||AB||AC|舉例15(1)已知uuuruuur，若uuuruuur，則.結(jié)果：3OA(1,2)OAOBmOB(3,m)m（2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，B90，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.結(jié)果：(1,3)或（3，－1））；rrrrrr.結(jié)果：(b,a)或（3）已知n(a,b)向量nm，且|n||m|，則m的坐標(biāo)是( b,a).十、線段的定比分點(diǎn)1.定義：設(shè)點(diǎn)P是直線PP12上異于P1、P2的任意一點(diǎn)，若存在一個實(shí)數(shù)uuuruuur叫做點(diǎn)uuuur所成的比，點(diǎn)叫，使PPPP，則實(shí)數(shù)P分有向線段PPP1212做有向線段uuuur的以定比為的定比分點(diǎn).P1P2的符號與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系（1）uuuur，即點(diǎn)P在線段PP12上0；P內(nèi)分線段PP12（2）uuuur時，①點(diǎn)在線段PP12的延長線上1，②點(diǎn)P外分線段PPP12P在線段PP的反向延長線上10.12uuuur所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段uuuur所成的注：若點(diǎn)P分有向線段PP12P2P1比為1.舉例uuuruuur16若點(diǎn)P分AB所成的比為3，則A分BP所成的比為.4結(jié)果： 73.線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)P(x,y)，P(x,y)，點(diǎn)P(x,y)分有向線段uuuur所成的比為，則定比分P1P2111222xx1x2,點(diǎn)坐標(biāo)公式為1(1).y1y2y.1時，就得到線段12xx1x2,特別地，當(dāng)1的中點(diǎn)坐標(biāo)公式2PPy1y2.y2說明：（1）在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確(x,y)，(x1,y1)、(x2,y2)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo).（2）在具體計(jì)算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比 .舉例17（1）若M(3,uuuuruuuur，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.2)，N(6,1)，且MP1MN3結(jié)果：(6,37)；（2）已知A(a,0)，B(3,2uuuuruuuur，則a)，直線y1ax與線段AB交于M，且AM2MB2r.結(jié)果：２或4.a十一、平移公式r(h,k)平移至P(x,y)，則xxh,；曲線f(x,y)0按如果點(diǎn)P(x,y)按向量ayyk.r(h,k)平移得曲線f(xh,yk)0.向量a說明：（1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系（ 2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了?。∨e例18rr平（1）按向量a把(2,3)平移到(1,2)，則按向量a把點(diǎn)(7,2)移到點(diǎn)______.結(jié)果：(8,3)；（2）函數(shù)ysin2x的圖象按向量r平移后，所得函數(shù)的解析式是ar結(jié)果：(,1).ycos2x1，則a________.4十二、向量中一些常用的結(jié)論一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；rrrrrr2.模的性質(zhì)：|a||b||ab||a||b|.（1）右邊等號成立條件：rrrrrrrrra、b同向或a、b中有0|ab||a||b|；（2）左邊等號成立條件：rrrrrrr