2022年秋高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程測(cè)評(píng)試題新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

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14.已知雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,則雙曲線的方程可以為(寫出一個(gè)正確答案即可);此時(shí),你所寫的方程對(duì)應(yīng)的雙曲線的離心率為.

15.(2021上海徐匯區(qū)期末)設(shè)橢圓x225+y29=1上的一點(diǎn)P到橢圓兩焦點(diǎn)的距離的乘積為s,則當(dāng)s取得最大值時(shí),16.(2021江蘇常州期中)已知圓C:(x-3)2+y2=1,點(diǎn)M在拋物線T:y2=4x上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)M引直線l1,l2與圓C相切,切點(diǎn)分別為A,B,則|AB|的取值范圍為.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)分別求下列曲線的方程.(1)已知橢圓C:x2a2+y25=1(a>5)的離心率為(2)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1的焦距為4218.(12分)(2021陜西咸陽(yáng)期末)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程為x=-2.(1)求拋物線C的方程;(2)若直線l:y=x-2與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),求|AB|.19.(12分)(2021浙江紹興期中)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,(1)求雙曲線C的方程;(2)直線l與雙曲線C相交于P,Q兩點(diǎn),弦PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為A(8,3),求直線l的方程.20.(12分)(2021寧夏銀川期中)如圖,把半橢圓Γ1:x2a2+y2b2=1(x≥0)與圓弧Γ2:(x-1)2+y2=a2(x<0)合成的曲線稱作“曲圓”,其中F(1,0)為Γ1的右焦點(diǎn),如圖所示,A1,A2,B1,B2分別是“曲圓”與x軸、y軸的交點(diǎn),已知∠B1FB2=2π3,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為θ的直線交“曲圓”于P,(1)求橢圓Γ1和圓弧Γ2的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)P,Q分別在第一、第三象限時(shí),求△A1PQ的周長(zhǎng)的取值范圍.21.(12分)如圖,直線l與圓E:x2+(y+1)2=1相切于點(diǎn)P,與拋物線C:x2=4y相交于不同的兩點(diǎn)A,B,與y軸相交于點(diǎn)T(0,t)(t>0).(1)若T是拋物線C的焦點(diǎn),求直線l的方程;(2)若|TE|2=|PA|·|PB|,求t的值.22.(12分)(2021上海虹口期末)已知橢圓Γ:x212+y28=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)點(diǎn)F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),交y(1)若F1P⊥F2P,求t的值.(2)若點(diǎn)A在第一象限,滿足F1A·F2A(3)在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)Q,使得QA·QB是一個(gè)確定的常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,

第三章測(cè)評(píng)1.D因?yàn)閽佄锞€x2=ay(a≠0)的焦點(diǎn)F0,a4在直線y=2x-4上,所以a4=-4,即a2.A由方程x1-y2+y1-x2=1,可知x∈[-顯然x<0,y<0,方程不成立,排除C;又1-y2∈[0,1],所以xy<0不成立,排除B,D,故選A.3.A雙曲線x2a2?y24=1(a>0)的漸近線為y=±2a因?yàn)殡p曲線x2a2?y24=1(a>0)的漸近線與圓x2+(所以2a4+a2=1,解得a=24.B設(shè)該拋物線的焦點(diǎn)為F,A,B的橫坐標(biāo)分別為xA,xB,則|AB|=|AF|+|FB|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+1=3>2p=所以符合條件的直線有且只有兩條.5.C由雙曲線的方程x216?y29=1可得a2所以c2=a2+b2=25,即焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為A,B的坐標(biāo),所以|AB|=10,|BC|-|AC|=±2a=±8,由正弦定理知sinCsinA-6.D如圖所示,由題意得焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0),準(zhǔn)線方程x=-1,設(shè)M的坐標(biāo)y24,y∴y24∴|y|=3y24-1,整理得3y2-4解得|y|=23,又∠x(chóng)FM=60°,∴|FM|=23sin60°7.C由橢圓的定義知,x23+y2=1的蒙日?qǐng)Ar2=3+1所以蒙日?qǐng)A為x2+y2=4.蒙日?qǐng)A的半徑r1=2.因?yàn)閳A(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一個(gè)點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上,所以兩圓相切.由已知r2=3,所以22+b2=r1解得b=±21.8.B因?yàn)辄c(diǎn)P是Γ上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn),故∠POF為銳角,又sin∠POF<cos∠POF,所以0<tan∠POF<1.設(shè)直線OP的斜率為k,則0<k<1.由y可得x故Pabb所以Qλabb因?yàn)镕Q·OP=0,故kQF=-1k,所以kλab解得λ=ca×b2+a2k2b故ca×b2+a2k2b(k2+1)>e,整理得到a故a2-b2≥2b2,即2a2≤3c2,即63≤e<19.AC由題可得2a=6,2b=4,則a2=9,b2=4,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為x29+y24=10.AD∵雙曲線C:x2a2?y2a2=∴雙曲線的漸近線與x軸的夾角為45°.∵F是雙曲線C:x2a2?y2a2=1(a>0)的右焦點(diǎn)∴0°≤∠POF<45°或135°<∠POF≤180°.∴∠POF的大小可能是30°,150°.故選AD.11.BCD設(shè)M(x,y),則kAM=y-0x+5,k由題意可得,y-0故y2=k(x2-25).若k=-1,方程化為y2+x2=25,點(diǎn)M的軌跡為以原點(diǎn)為圓心,5為半徑的圓(不含與x軸的交點(diǎn));若-1<k<0,方程化為x225+y2-25k=1,點(diǎn)M若k<-1,方程化為y2-25k+x225=1,表示焦點(diǎn)在y軸,以A若k>0,方程化為x225?y225k=1,點(diǎn)M的軌跡為焦點(diǎn)在x綜上可知,BCD正確.故選BCD.12.BD依題意設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),對(duì)于A選項(xiàng),由拋物線定義可得|AF|=x1+p2,因?yàn)閤1>0,所以|AF|=x1+p2>p2對(duì)于B選項(xiàng),設(shè)直線AB的方程為x=my+p2,聯(lián)立x=my+p2,y2Δ=4m2p2+4p2>0,y1+y2=2mp,y1y2=-p2,所以x1+x2=y122p+y22則|AB|=x1+x2+p≥p+p=2p,故B正確;對(duì)于C選項(xiàng),OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),因?yàn)閥1y2=-p2,y12=2px1,y22=所以x1x2=y1則OA·OB=x1x2+y1y2=p24-p2所以∠AOB不可能為銳角,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)閨AB|=x1+x2+p=2pm2+p+p=2p(m2+1),所以以AB為直徑的圓的半徑為r=p(m2+1),又因?yàn)锳B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0=x1+x22=pm2所以x0--p2=pm2+12+p故以AB為直徑的圓一定與直線x=-p2相切,故D正確13.10∵拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)P(3,y0)到其準(zhǔn)線的距離為8,∴3+p2=8,解得p=1014.x2-y24=15(答案不唯一)因?yàn)殡p曲線的漸近線為y=2所以雙曲線的方程為x2-y24=λ(λ故可取λ=1,可得雙曲線的方程為x2-y24所以c=5.此時(shí)其離心率e=ca15.(0,3)或(0,-3)設(shè)橢圓x225+y29=1的焦點(diǎn)為F1,F2,由橢圓定義可得,|PF1則s=|PF1|·|PF2|≤|PF1|當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=a=5,即P(0,3)或(0,-3)時(shí),s取得最大值25.16.142,2如圖,連接MC,CA,CB,AB,則CA⊥MA,CB⊥MB,MC故|AB|=2·AM·ACMC=2AMCM=2CM設(shè)M(x,y),則|CM|=(x所以當(dāng)x=1時(shí),|CM|取得最小值22,當(dāng)x→+∞時(shí),|AB|趨近于2,故|AB|的取值范圍為14217.解(1)因?yàn)闄E圓C:x2a2+y25=1(a>所以c=a2因?yàn)闄E圓的離心率為e=23則e=ca=a2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+(2)因?yàn)殡p曲線C:x2a2?y2b2=1的焦距為42,則ba=1,解得a2=b2=所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24?18.解(1)∵拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-2,∴-p2=-2,得p=故拋物線C的方程為y2=8x.(2)顯然直線l:y=x-2過(guò)焦點(diǎn)F(2,0),聯(lián)立y2=8x,y=x-2,消去設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=12,故|AB|=x1+x2+p=12+4=16.19.解(1)∵實(shí)軸長(zhǎng)為8,離心率e=54,∴2a=8,e=ca=54,又a2+b2=c2,即a=4,故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216?(2)設(shè)P,Q的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),∵線段PQ的中點(diǎn)為(8,3),∴x1+x2=16,y1+y2=6.∵x1216?y∴(x1整理得y1-y2x1∴直線l的方程為y-3=32(x-即3x-2y-18=0.20.解(1)由題意可得c=1,∠OFB2=π3,則b=3∴a2=b2+c2=4,則橢圓Γ1:x24+y2圓弧Γ2的方程為Γ2:(x-1)2+y2=4(x<0).(2)由題意得:在等腰△A1QF中,A1Q=4sinθ2若P,Q分別在第一、第三象限,則θ的取值范圍為0,π3,∴△A1PQ的周長(zhǎng)L=|A1Q|+|FQ|+|PF|+|PA1|=4sinθ2+2+2+2=6∵θ∈0,π3,∴L=6+4sinθ21.解(1)∵T(0,t)(t>0)是拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn),∴t=1.設(shè)直線l的方程為y=kx+1,由直線l與圓E相切,得21+k2=1,即k=±3,∴直線l的方程為y=±3(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+t,x2=4y,則x1+x2=4k,x1x2=-4t,∴|PA|·|PB|=1+k2|x1-x0|·1+k2|x2-x0|=(1+k2)[x1x2-x0(x1+x2)+x02]=(1+k2)[x02-4(kx0+t)]=(1+k2)由直線l與圓E相切,得|t+1|1+k2=1,即1+k2=(t+1)2,由|TE|=t+1,|TE|2=|PA|·|PB|,得(1+k2)|x02-4∴x02-4y0=±1,又點(diǎn)P∴x02-4y0=1,又x02+(y0+1)2=1,解得y0由直線l與PE互相垂直,得k=-1kPE=-∵y0=kx0+t,∴t=y0-kx0=y0+x0當(dāng)y0=-3+22時(shí),t=-y當(dāng)y0=-3-22時(shí),t=-y∵t>0,∴t的值為2-22.解(1)由橢圓Γ:x212+y28=1的方程可知c2=a2-b2所以c=2,即左焦點(diǎn)F1(-2,0),右焦點(diǎn)F2(2,0).因?yàn)镻(0,t),若F1P⊥F2/r