2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題

第第1頁數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)課程---高中聯(lián)賽模擬試卷2023 班 號姓名 第一試一、填空題：本大題共8864分1．不等式的解集是．答案：解：設(shè)，，則原不等式化為，即．結(jié)合 得，于是．2．設(shè)為方程答案：的一個(gè)虛根，則．解：由題意知，又為方程的一個(gè)虛根，故，所以，即．而．3．設(shè) ， 且 ，則 的最小值為 ．答案：解：令

， 知 ，則方程

可化為，即 ，解得 〔 舍去．4．在中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)，從小到大排列后能構(gòu)成等差數(shù)列的概率是4．在中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)，從小到大排列后能構(gòu)成等差數(shù)列的概率是．答案：解：設(shè)選取的三個(gè)數(shù)為．對于給定的，由，知可取，所以

，當(dāng)且僅當(dāng) ， 時(shí)取等號．共 種選擇．因此，對全部滿足條件的

數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)課程---高中聯(lián)賽模擬試卷，三數(shù)從小到大排列后能構(gòu)成等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為．所以，三數(shù)從小到排列后能成等差數(shù)列的概率為 ．某四周體的四個(gè)面都是邊長為， ，點(diǎn)的八面體的體積是 ．答案：

的三角形，則以該四周體六條棱的中點(diǎn)為頂解：如圖，矩形 中，， ， ，簡潔驗(yàn)證四周體 滿足條件，此時(shí)，四周體六條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的八面體是 ．又易得，所以 ．銳角、、滿足是 ．答案：解：由得整理得即

，則 的值，，，又、、為銳角，所以 ， ，從而即橢圓

，又．的左右焦點(diǎn)分別為與 ，點(diǎn)在直線

，所以 ，上．第2頁第第3頁直線交軸于，則，即，從而而……，①又由圓冪定理，，……②，，從而有 ，．代入①、②得，．8．假設(shè)形如 的五位數(shù)滿足：、、37整除，則滿足條件的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是 ．答案：解：留意到，．設(shè)，，．則，，．由于且，則假設(shè)、、中有一個(gè)被整除，則其余兩個(gè)也被整除．356分．解同意寫出文字說明、證明過程或演算步驟．9〔此題總分值16分〕證明： 為直角三角形的充分必要條件是 ．證明〔必要性〕數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)課程---高中聯(lián)賽模擬試卷當(dāng)取最大值時(shí)，數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)課程---高中聯(lián)賽模擬試卷當(dāng)取最大值時(shí)，與的比值等于．答案：解：由平面幾何知，要使最大，則過，，三點(diǎn)的圓必定與直線相切于點(diǎn)．因此，全部滿足題意的的個(gè)數(shù)〔即相應(yīng)的的個(gè)數(shù)〕為．證法一：假設(shè)，則正弦定理得．故，即．因此，．同理，．〔充分性〕

， ．則 ．?dāng)?shù)學(xué)競賽培訓(xùn)課程 高中聯(lián)賽模擬試卷假設(shè) 、 、

均為正，則

……①，， ．由①得因此，又由 、 、證法二：

．．沖突．均非負(fù)，知 、 、 中有一個(gè)為．由 、 、其所對應(yīng)的角為直角．10〔此題總分值20分求全部的函數(shù)

．均非負(fù)，知 、 、 中有一個(gè)為，，對于全部整數(shù)，滿足，……①且解：將先考慮

．代入式①得的情形．

．由此得 或 ．將所以，

代入式①得 ，即 ．， ， ．如前所述，將代入式①得．如前所述，將代入式①得．另一方面，將 代入式①得 ．此時(shí)，對于推出的情形不成立．因此，再考慮不行能．的情形．用 代替取 ，得代入式①得．故對任一整數(shù)有對全部的成立．．所以，此函數(shù)為偶函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)競賽培訓(xùn)課程 高中聯(lián)賽模擬試卷假設(shè)為正整數(shù)，則由數(shù)學(xué)歸納法可證明，對全部的正整數(shù)，有〔唯一是由于每個(gè)函數(shù)值取決于從前的兩個(gè)值．

是唯一的解由于函數(shù)為偶函數(shù)，所以，對于任意的整數(shù)，有數(shù)．1〔此題總分值20分〕

，且是滿足式①的唯一函在拋物線交于點(diǎn)

的圖像上內(nèi)接一個(gè)梯形，設(shè)點(diǎn) 到底邊 、

，其中，的中點(diǎn)的線段長分別為

， ．對角線 與、．求梯形 的面積．解：如右圖，由題意知 ．設(shè) ， ．則 ， ．從而，由 、分另為邊

， ， ．、 的中點(diǎn)得而 為梯形

， ．對角線的交點(diǎn)，易知、，且 軸．

、三點(diǎn)共線〔如可用塞瓦定理證明，即令表示 〔或 〕與軸正向的夾角．于是， ．過點(diǎn)作 ．則 ．所以， ， ， ．則．設(shè) ．則 ，．故第5頁第第10頁，．則，．，．則，．故．設(shè)均為正實(shí)數(shù)，求解：由知，同理的最小值．，，所以；又加試〔40分〕〔柯西不等式〕所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)〔柯西不等式〕所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．的內(nèi)心為，三個(gè)內(nèi)角的角平分線分別為、、，線段的、交于點(diǎn)、．證明：、、、四點(diǎn)共圓．〔40分〕數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)課程---高中聯(lián)賽模擬試卷證明：要證如圖，設(shè)線段

、、 、 四點(diǎn)共圓，只需證： ．的中點(diǎn)為，則下面只需再證設(shè) 與線段上．

中垂線的交點(diǎn)為

〔 位于不包含點(diǎn) 的弧于是這說明，點(diǎn)

．從而， ．位于的 角平分線上。因而，點(diǎn)

與 重合．所以，、 、

、四點(diǎn)位于同一圓周上．故從而，、、 、

．四點(diǎn)共圓．〔50分〕組合在 座城市之間有兩種方式的飛行航線被執(zhí)行：任意一座城市至少和七座城市有直航；任意兩座城市可以通過有限次直航來連接．求最小的整數(shù)，使得無論如何安排滿足條件的航線，任意一座城市到任意其他城市最多可以經(jīng)過次直航到達(dá)．解： ．首先證明： ．假設(shè)接路線為

，不妨設(shè)有兩座城市．

、 間至少經(jīng)過次 到達(dá)．設(shè)城市 到 的一個(gè)最短連由于每一座城市至少和七座城市有直航連接，所以城市 與 與除 以外至少六座城市有直航連接， 與除 以外至少五座城市有直航連接．設(shè) ，分別與城市 、 、 、 、 、 、 、 、 、有直航連接，且不屬于城市

的全部城市組成的集合為

．易知，， ， ．又 ，否則，城市、故所以， ．其次證明： ．

之間有更短連接路線．，沖突．對

座城市

與城市集合

．當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，

，且對 ，

， 中不包括城市．對 ，城市 、 、

與集合

中的全部城市有直航連接；城市、 集合與

中全部城市有直航連接；城市 、

與集合

中全部城市有直航連接；集合中任意一座城市除與上述的城市連接；城市與 有直航連接

有直航連接，與且僅與集合．

中其余城市有直航這樣，城市直航連接，且城市

至少與七座城市有直航連接，集合至少經(jīng)過 次直航來連接．因此，

中任意一座城市均只與七座城市有．?dāng)?shù)學(xué)競賽培訓(xùn)課程---高中聯(lián)賽模擬試卷〔50分〕求全部的實(shí)數(shù)，使得、均為完全平方數(shù)．解：首先證明：為正整數(shù)．由，設(shè) ，．則 ，．明顯，不是解．故 ．設(shè)必有 ．所以， ．又 ，則當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)