2021一模解答題數(shù)列

【第一組】寶山21.若有窮數(shù)列は“｝:七、あ、…'x"滿足ム+|N七+，，x,.>0(這里ハ〃eN*,?>3,l<z<n-l?常數(shù)，>0),則稱有窮數(shù)列｛ん｝具有性質P").(1)已知有窮數(shù)列は"｝具有性質尸(り(常數(shù)f2丄),且21ス2ーム1+1ス3-*2I+…+|X"-X"_|| -,試求?的值;(2)設。川=2|り+，+2|-|4+,一2|(i、〃eN*,n>3,\<i<n-\,常數(shù)r>2),判斷有窮數(shù)列｛4ノ是否具有性質ー2),并說明理由;(3)若有窮數(shù)列｛券｝:M、%、…'先具有性質P⑴,其各項的和為200〇,將あ、當、…、れ中的最大值記為A,當AeN?時,求A+〃的最小值.【第二組】崇明21.對于數(shù)列｛4｝,若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和,則稱｛ム｝為P數(shù)列.(1)若數(shù)列1,2,x,8是P數(shù)列,求實數(shù)ズ的取值范圍;(2)設數(shù)列ム,斯,是首項為ー1ゝ公差為［的等差數(shù)列,若該數(shù)列是P數(shù)列,求d的取值范圍;(3)設無窮數(shù)列｛し｝是首項為公比為"的等比數(shù)列,有窮數(shù)列｛〃｝、｛g｝是從｛凡｝中取出部分項按原來的順序所組成的不同數(shù)列，起所有項和分別記為キ、T2,求證:當a>0且エ=4時,數(shù)列｛し｝不是數(shù)數(shù)列.【第三組】虹口21.設x是實數(shù),〃是整數(shù),若|xー〃|〈丄,則稱〃是數(shù)軸上與x最接近的整數(shù).2（1）數(shù)列｛4｝的通項為ム,且對任意的正整數(shù)〃,〃是數(shù)軸上與し最接近的整數(shù),寫出ー個滿足條件的數(shù)列｛%｝的前三項;（2）數(shù)列｛q｝的通項公式為《,=〃,其前〃項和為S”,求證:整數(shù)明是數(shù)軸上與實數(shù)^^最接近的整數(shù);（3）［是首項為2,公比為§的等比數(shù)列的前〃項和,ル是數(shù)軸上與,最接近的正整數(shù),求4+4+…+"202〇.【第四組】普陀.已知無窮數(shù)列團,ノ的首項為《,其前〃項和為5“,且41Mーム=〃(”eN*),其中d為常數(shù)且d*0.(1)設q=d=l,求數(shù)列｛4｝的通項公式,并求lim(l-丄)的值;an(2)設d=2,S7=-7.是否存在正整數(shù)ん使得數(shù)列｛〃?邑｝中的項公S?く夜成立?若存在,求出滿足條件k的所有值,若不存在,請說明理由;(3)求證:數(shù)列｛%｝中不同的兩項之和仍為此數(shù)列中的某ー項的充要條件為存在整數(shù)〃?且加之一1,使得4=〃7ム,2【第五組】長寧,2.若對于數(shù)列數(shù)“｝中的任意兩項《、％(，＞ノ),在｛2｝中都存在一項am,使得品=丄,aj則稱數(shù)列｛%｝為“X數(shù)列”;若對于數(shù)列｛%｝中的任意ー項し(n＞3)?在｛%｝中都存在兩項見、a,(k＞い,使得。,=",則稱數(shù)列｛q｝為“丫數(shù)列”.ai(1)若數(shù)列/“｝為首項為1公差也為1的等差數(shù)列,判斷數(shù)列｛”/是否為“X數(shù)列”，并說明理由;(2)若數(shù)列｛叫的前〃項和S“=2"-l(〃eN*),求證:數(shù)列｛叫為“丫數(shù)列”；(3)若數(shù)列｛%｝為各項均為正數(shù)的遞增數(shù)列,且既為“X數(shù)列”,又為“丫數(shù)列”，求證:q,a2,%,%成等比數(shù)列.【第六組】徐匯21.對于項數(shù)為加(/n>3,/neN)的有限數(shù)列｛%｝,記該數(shù)列前，項4,も,…，4中的最大項為七(i=1,2,…,小),記若=max｛4,,該數(shù)列后/w-i項。川,at+2,…，4”中的最小項ル(i=L2,…,m—1),記％=min｛4+1,q+2,…，4”｝,4=%-y(i=1,2,3,??,/?—1).(1)對于共有四項的數(shù)列:3,4,7,1?求出相應的4、ム、&；⑵設c為常數(shù),且ヘ+ス…=c(ん=1,2,3,…,め),求證:ム=%(ん=1,2,3,…,加)；(3)設實數(shù)ス>0,數(shù)列｛%｝滿足q=l,atl=Aan_,+-(〃=2,3,…,機),若數(shù)列｛凡｝對應的4滿足4+1>4對任意的正整數(shù)，=1,2,3,…,加ー2恒成立，求實數(shù)/1的取值范圍.【第七組】閔行21.已知數(shù)列｛4｝與出“｝滿足(+|ーム=え(ク向ーク)(ス為非零常數(shù))，neN,.(1)若｛a｝是等差數(shù)列,求證:數(shù)列｛%｝也是等差數(shù)列;(2)若q=2,2=3,6=sin—,求數(shù)列｛q｝的前2021項和;2フ h4-h(3)設4=仇=え，ん=ク，ム=也エ%!(n>3I〃wN*),若對<%｝中的任意2 2兩項。ハ%(i,jwN*,i*j),14一勺l<2都成立,求實數(shù)/1的取值范圍.【第ハ組】青浦21.若無窮數(shù)列｛ム｝和無窮數(shù)列g,』滿足:存在正常數(shù)ん使得對任意的〃eN*,均有\(zhòng)an-b?\<A,則稱數(shù)列｛し｝與也｝具有關系P(A).(1)設無窮數(shù)列｛ム｝和也,｝均是等差數(shù)列,且%=2〃,b,,=n+2(〃wN*),問:數(shù)列｛凡｝與｛み｝是否具有關系P(D?說明理由;(2)設無窮數(shù)列｛し｝是首項為1,公比為g的等比數(shù)列,4=し+i+l,neN,.證明:數(shù)列｛し｝與｛々｝具有關系P(A),并求?的最小值;(3)設無窮數(shù)列｛し｝是首項為1,公差為［(JeR)的等差數(shù)列,無窮數(shù)列｛み｝是首項為2,公比為4(夕eN*)的等比數(shù)列,試求數(shù)列｛し｝與｛み｝具有關系P(A)的充要條件.【第九組】嘉定21.若項數(shù)為"的有窮數(shù)列｛%｝滿足:044<%<生<…<a?(keN*,ZN3),且對任意的i、j(l<i<j<k),勺+4與arai至少有一個是數(shù)列｛%｝中的項,則稱數(shù)列｛凡｝具有性質A(1)判斷數(shù)列1、2、4、8是否具有性質。,并說明理由;(2)設項數(shù)為似keN*,223)的數(shù)列｛し｝具有性質タ,求證:ね*=2(ム+ム+…+4);(3)若項數(shù)為儀んeN?メN3)的數(shù)列｛a“｝具有性質タ,寫出一個當セ=4時,｛6,｝不是等差數(shù)列的例子，并證明當と>4時,數(shù)列｛凡｝是等差數(shù)列.【第十組】浦東19.勤儉節(jié)約是中華民族的傳統(tǒng)美德,為避免舌尖上的浪費,各地各部門采取了精準供應的措施,某學校食堂經調查分析預測,從年初開始的前〃(〃=1,2,3,…,12)個月對某種食材[ 635〃 1<n<6的需求總量S.(公斤)近似地滿足,2 Cい，為保證全年每ー[-6ガ+774〃ー6187<?<12個月該食材都夠用,食堂前〃個月的進貨總量須不低于前〃個月的需求總量.(1)如果每月初進貨646公斤,那么前7個月每月該食材是否都夠用?(2)若每月初等量進貨，(公斤),為保證全年每一個月該食材都夠用，求P的最小值.【第十一組】楊浦21.設數(shù)列｛%｝與ゆ”｝滿足:｛4｝的各項均為正數(shù),"cos4,n€N*.(1)設も=亨,a,=y(若｛勿｝是無窮等比數(shù)列,求數(shù)列け』的通項公式;(2)設。<q4エ,求證:不存在遞減的數(shù)列｛。,J,使得｛〃｝是無窮等比數(shù)列;(3)當14〃く2優(yōu)+1時，｛2｝為公差不為。的等差數(shù)列且其前26+1項的和為0,若對任意滿足條件。<4,46萬(l<n<2w+l)的數(shù)列｛叫,其前2機+1項的和52"均不超過100萬,求正整數(shù)〃［的最大值.【第十二組】松江21.對于由m個正整數(shù)構成的有限集加=｛《,ム，生，…，4“｝,記P(M)=q+%+…+4,特別規(guī)定P(0)=O,若集合M滿足:對任意的正整數(shù)え4P(M),都存在集合”的兩個子集A、8,使得ス=P(A)-P(B)成立,則稱集合為M為“滿集”.(1)分別判斷集合M=凡2｝與％=｛L4｝是否是“滿集”,請說明理由;(2)若外,生,…,ち由小到大能排列成公差為d(deN*)的等差數(shù)列,求證:集合M為“滿集”的必要條件是《=1,4=1或2；(3)若q,a2,???,ち由小到大能排列成首項為1,公比為2的等比數(shù)列,求證:集合”是“滿集”.【第十三組】金山21.若數(shù)列｛凡｝滿足:44^4ス(2>1.且ス為實常數(shù)),〃WN*,則稱數(shù)列｛%｝為え??5(え)數(shù)列.(1)若數(shù)列に,J的前三項依次為4=2,a2=x,a3=9t且｛%｝為8(3)數(shù)列,求實數(shù)x的取值范圍;(2)已知｛し｝是公比為ワ(gwl)的等比數(shù)列,且り>0,記Tn=|a2—a)|+1a3—?21+…+1an+1ー?！↖,T—tT若存在數(shù)列｛q｝為8(4)數(shù)列,使得小川"W0成立,求實數(shù)1的取值范圍;

…T(3)記無窮等差數(shù)列｛し｝的首項為a,,公差為イ,證明:“0444義ード是“｛し｝為8(え)數(shù)列”的充要條件.。。12“13 ?"a\na2\。22。23 '"a2n431。32〃33 ?"a3n氏1%3 ."am.【第十四組】靜安15.ガ（〃N5）個正數(shù)排成"行"列方陣,其中每一行從左至右成等差數(shù)列,每一列從上至下都是公比為同一個實數(shù)4的等比數(shù)列.已知42=1，%?=2,%=a.（1）設2=4”,求數(shù)列S“｝的通項公式;（2）設5,=%+%+〇3]+…,求證:S〃<1（A7GN*）；（3）設（請用數(shù)學歸納法證明:北=2ーヰ（"eN*）.【第十五組】黃浦21.已知函數(shù)y=/(x)的定義域為R,數(shù)列{%}(〃eN*)滿足生マ4,/(ム)+げ(0バ)=，(ム+切ハ(n>2,neN*)(實數(shù)え、/是非零常數(shù)).(1)若え=-1,且數(shù)列伍“}(〃wN*)是等差數(shù)列,求實數(shù)，的值;(2)若生+妬尸。,數(shù)列{2}(〃eN*)滿足ク=%+也(nsN,)，求通項公式”;(3)若ん=一1,『ナ1,數(shù)列{4}(?eN*)是等比數(shù)列,且4=a(a/0,aeR),%*q,試證明:于(a)=ta.【第一組】21.(1)f=丄;(2)&｝具有性質尸”一2)；(3)110.2【第二組】21.(1)(3,5)；(2)(〇,;);(3)略.【第三組】21.(1)1、2、3,an=n.(2)略;(3)7；=6[1-(-)"],12108.【第四組】(1)4=〃,1；(2)1、2、3、4、5、6、7、8；(3)略.【第五組】TOC\o"1-5"\h\z(1)數(shù)列｛4｝的通項為4=〃,ム=2,%=3, 2分a29???丄=ス不是正整數(shù),?..不是數(shù)列｛%｝的項,a22...數(shù)列｛%｝不是“X數(shù)列”. ……4分(2)數(shù)列｛《,｝的前〃項和S“=2"-1(〃wN*),Aan=2n~', ……6分當〃N3時,取セ=〃j-l,I=m-2, 8分則”,=22iT=2"T=q 數(shù)列｛し｝是“丫數(shù)列”. ……10分ai(3)證明:記タ=幺,..?數(shù)列僅“｝是各項均為正數(shù)的遞增數(shù)列,.??り>1,且當ん>ノ時,—>1, ……11分巧若ん〉/,an=~=~Xak>ak>ai9貝リ〃>ん〉ノ,① 12分。/ai?..數(shù)列｛%｝是“3>i>JZlx數(shù)列”，.?.存在，?>_/,且4=",%由①知:3>/>；>1,.-.i=2,J=l,2即q=歪="イ，即q,a2.小成等比數(shù)列， 14分...數(shù)列｛し｝是"X數(shù)列”,存在正整數(shù)セ、/(%>/),使得包=",可由①得:4〉ん〉/,「?3之え〉ノ,進而生="=4ザ"',記〃4=2?1wN*,ai???數(shù)列｛凡｝是“丫數(shù)列”存在正整數(shù)山,使得し=2=4メ生="ゴ,?2由ワ>1得:am>a3, 16分若q=qプ<qグ,再由%="デ<ム得:2<%<3,與〃くwN?矛盾;若。4>4/=am,貝リ％<am<a4,與數(shù)列｛““｝遞增矛盾,.?.%=4/,即4,a2,a3,4成等比數(shù)列. ……18分【第六組】(1)4=2,ム=3,4=6；(2)證明略;⑶Ae(-,1).【第七組】(1)略;(2)-2018；(3)(-2,0)U(0,2).【第八組】(1);ム=2〃,bn=n+2(〃eN*),若數(shù)列｛凡｝與｛々｝具有關系尸⑴，則對任意的〃wN*,均有1%ー々區(qū)1,即|2〃-(〃+2)區(qū)1,亦即|〃-2區(qū)1,但〃=4時,|n-2|=2>l,...數(shù)列｛%｝與｛2｝不具有關系P(D.(2)證明:?..無窮數(shù)列｛凡｝是首項為1,公比為く的等比數(shù)列，.??4=(；)"T,.?,ク=4+|+1,..?仇=(*"+1,??-1へ-bnH(-)-,-(-)"-11=1-プ<1，.?.數(shù)列｛叫與電｝具有關系P(A),設A的最小值為4,\an-bn\<\,-：\an-bn\<\, A,^1,若。<ム<1,則當〃>1叫ロ-時,3- .則1— >ん，這與“對任意的〃eN*,均有1ムール?yún)^(qū)ん”矛盾，.ヽ4=1,即A的最小值為1.(3)..?數(shù)列5,』是首項為1,公差為d(JeR)為等差數(shù)列,無窮數(shù)列｛d｝是首項為2,公比為タ(qwN*)的等比數(shù)列,a“=%+(n—l)d=dn+1—d,bn=bxqn=—q"t設1—d=a,-=b>Otq q則ム=dn+a,b?=bqn,neN*?數(shù)列｛%｝與め｝具有關系尸(A),即存在正常數(shù)A,使得對任意的〃eN*,均有1/ー4區(qū)A,(I)當d=0,4=1時，I-b?H1-2|=1<1,取A=l,則I/一ク區(qū)A,數(shù)列｛%｝與｛4｝具有關系p(A)；(II)當d=0,4N2時，假設數(shù)列ノ"｝與｛a｝具有關系P(A),則存在正常數(shù)A,使得對任意的〃eN*,均有I4ー々區(qū)A,?.?也I一1%國。ー々I,.?.對任意的〃wN",\t>n\~\an\<A,即。グ41+A,qn<--,.■.n<\oSv--,b b這與“對任意的〃eN*,均有14I一I風區(qū)ん”矛盾,不合;(川)當［ナ0,4=1時,假設數(shù)列｛%｝與｛々｝具有性質尸(A),則存在正常數(shù)A,使得對任意的〃eN*,均有Iムー4IVA,???|ム|一也國4fー纟I,.??對任意的“wN”,1ぐーク區(qū)A,即|凡區(qū)2+A,|グ〃+a區(qū)2+A,/.1|-1a|<2+A,n<"+ ,\d\這與“對任意的〃eN*,均有|ム|-1々區(qū)A”矛盾,不合;(IV)當dwO,gN2時，假設數(shù)列｛ム｝與｛a｝具有性質ア激),則存在正常數(shù)A,使得對任意的〃eN*,均有Iム一ガ區(qū)A,,:1力ITム141ムーガI,...對任意的〃wN*,I力I一Iム區(qū)A,bq"qdn+a\+Ad\n+\u\+A,q"4 〃H ,bb設W=/l>0,回±4=〃>O,則對任意的〃eN*,グ4ス〃+〃，b b..?グN2",???對任意的〃eN*,2"<2n+/z,可以證明:存在N>1,當〃〉N時，2">n2,(利用バ〃)=2"ー〃2單調性)又2〃エ丸k+4,??.ガくえ〃+〃,即ガース〃ー"<。,解得:0<れくス+ホプ4〃2這與對任意的〃eN*,2〃くス〃+ル矛盾,不合;綜上:數(shù)列｛4｝與｛々｝具有關系尸(A)的充要條件為イ=O,q=L【第九組】21.(1)不具有性質P；(2)證明略;(3)數(shù)列。,1,4,5具有性質P,但該數(shù)列不是等差數(shù)列,證明略.【第十組】19.(1)夠用;(2)652.2公斤.【第十一組】TOC\o"1-5"\h\z21.(1)b、=cos刈?=ー^^,b3-cos—=—,公比為q=— 2 分2 4 2 ' 32 ”2由片=ム也解得:ム=1,數(shù)列め｝的通項公式為4=(一也)"， ……4分7T(2)證明:反證法:設存在,則〇<ム<4<テ，此時cos%>cos“|>0,公比q=2>1, ……6分cosムcosan=cos01"(<7)"-1I考慮不等式cosq-グt>1, 8分當〃>1-10glz(cos4)時，即〃N1+［1—log/cosq)］時，有cosa“>l(其中［幻表示不超過x的最大整數(shù))，這與れx)=cosx的值域為［-1,1］矛盾, ……10分???假設不成立,得證.⑶..(ム+ち")(2加+1)=〇,.?.ム+%廣。,2由等差數(shù)列性質ク+b2nl+2.,=ム+ム”用=。(IWiく機+1,/GN'), ?”…11分TOC\o"1-5"\h\z即cos《.+cosa2m+2,,.=0J特別地,bm+i=0, 12分現(xiàn)考慮S?"的最大值,為使S?"取最大值,應有??e［5］,6幻,否則在^2m+i中將替換a't,且cosan=cosa：,a：e［5乃,6乃］,將得到ー個更大的S2,向, ……14分由cosq.+cos%“+2t=°可知:q+%〃1+2T=2, =11乃,特別地,nw+1=-1,〒日,ハ、 八3ヽ11た(2m+1)/1萬,,ハハ ,,ハ于是び21)2=機?(1阮)+テ=-ーキーG〇〇ズ， ……16分

解得:機4解得:機4記,?.?根的最大值為8.2218分【第十二組】TOC\o"1-5"\h\z(1)集合是“滿集”,集合“2不是“滿集”， ……2分對于集合M，P(必)=1+2=3,且必共有4個子集:0,⑴，{2},{1,2},當k分別取1,2,3時,由1=P({1})—P(0),2=P({2})-P(0),3=P({1,2))-P(0),M是“滿集”； ……3分對于集合“2,P(M,)=l+4=5,且共有4個子集:0,⑴，{4},{1,4},當ん=2時,不存在{1,4}的兩個子集A、B,使得P(A)-P(8)=2,???加2不是“滿集”. ……4分(2)???叫，生,…,ち由小到大能排列成公差為"(deN*)的等差數(shù)列，ム<ム<L<ム，記自=P(M)=ム+ム+L+ム, 5分為“滿集”，?..對任意的正整數(shù)スく%,都存在集合M的兩個子集A、B,使得ん=P(A)-P(B)成立,當ス=%-1時，由ムー1=P(A)-P(5),及P(B)NO知:P(A)=%或P(A)=%—1,若P(A)=%,則P(B)=1,TOC\o"1-5"\h\zq=l,此時A={4M2，“3，L,q』,B={a}], 7分若P(A)=&-1,則AuM,在M的真子集中,P(A)=42+/+L+4.最大,必有イ=1,此時ん={%，q丄,8=0,綜上可得:卬=1, ……8分若dN3,當ス=自ー3時，?.,(/ー〇)〉(ふー1)>((た〇一1)一1)>&>(ム)一(1+め)>L,.??不存在M的子集4、B,使得ん=ムー3=P(A)—P(8),."=1,2,綜上：集合M為“滿集”的必要條件是4=1,d=l或2. ……10分(3)由已知:P={1,2,4,L,2"i},P(M)=l+2+4+L+2吁|=2'"-1, ……11分對任意ス42'"-1,,??たeN”,，存在用”,ムeN?和回e{O,l},使得％=2匕+0,同理有仁=2勾+02,&2=2ム+，3,…,其中匕<ム-1,ムeN*,Pi€{0,1},經過有限次的操作后,必存在え=1(0<5<W),

TOC\o"1-5"\h\zk=2k\+月=2(2k?+p,)+P[=L=2"+2"1ps+2'Ps^\+L+2p,+2°pt, 14分當P*=0ム=L=巴"=1時，k=2x+2j>+2h+L+2j", ……16分此時取A={2',2%L,2ん},5=0,則有/>(4)ー尸(3)=(2'+2ム+2ム+L+2J")-0=k,..?集合M是“滿集”. ……18分-<-<321.-<-<321.(1)解:由；,得,-<-<3—<x<63I故實數(shù)x的取值范圍是［3,6］； 4分3<x<27IJx（2）解:由他,』為8（4）數(shù)列，得タ= 4］, 6分①當ワ€(1,4]時,an+l>an,故（,=（ルー。|）+（。3一ル川 卜（ム+1-4）=an+l~a\?從而冬=4三L"m冬=46（1,4］,所以當。>1時,ナ》q； 9分②當qe匕」）時,an+l<an,4故％=（4一心）十（。2一%）+…+（?！暴`?！?|）=イーo〃+111分從而冬=貝丁，hmず1"="所以當0<K1時，ナス111分Tn\-q" —°Tn（3）證明:（必要性）當｛4｝為B（/l）數(shù)列時，—>4>〇,4,ル故數(shù)列｛凡｝的所有項都同號,……12分由.￠［不，ス］,得 4ス，即一くスーI, 13分qX.