《博弈論教程（第三版）》10第七章 零和博弈

第七章零和博弈7-1零和博弈與非零和博弈7-2最小最大方法7-3直線交叉法7-4霍特林模型7-5對抗性排序零和博弈：每一局博弈的總支付,即雙方得失之和總是0。二人“常和”博弈：每局雙方得失之和雖然不是零,卻是一個常數(shù)。

例如雙方每進行一局博弈,除了他們之間的輸贏支付外,還要向提供游戲器具或者場所的第三方交納一定的租金,則每局雙方得失之和就是一個負的常數(shù);又如每進行一局博弈,除了他們之間的輸贏支付外,雙方還可以得到來自第三方的一定數(shù)量的獎勵,則每局雙方得失之和就是一個正的常數(shù)。7-1零和博弈與非零和博弈常和博弈：二人常和博弈；多人常和博弈非零和博弈：變和博弈（不包括常和博弈）7-1零和博弈與非零和博弈設G是一個n人常和博弈,那么按照定義,在G的每種對局下博弈的n個參與人的支付的總和,是一個常數(shù)。n人常和博弈的偏零因子：常數(shù)的n分之一。常和博弈的每個支付都減去這個博弈的偏零因子，那么每種對局下博弈的所有參與人的支付總和為零。對于n人常和博弈G，每個支付中減去這個博弈的偏零因子，把它轉換成一個零和博弈，記作G’。G’是G的歸零博弈。研究二人零和博弈時，只要研究一個人的支付矩陣即可。7-2最小最大方法尋求二人零和博弈的純策略納什均衡：

馮.諾依曼提出最小最大方法基礎想法：局中人在進行零和博弈時對他們?nèi)〉煤媒Y果的機會抱“悲觀”的態(tài)度。你的對手會選擇一個使你獲得盡可能差的支付的策略。你的對手也會想，你會在所有可能選擇的策略中，選擇一個對他最不利的策略。假定給出的是行局中人的支付矩陣。行局中人的角度，希望博弈的結果是支付盡可能大的那個矩陣位置，而列局中人則希望博弈的結果是支付盡可能小的那個位置。行局中人：對他所能選擇的每個行策略，列局中人都將選擇該行中數(shù)字最小的那列。因此，行局個人應該選擇在列局中人所選擇的這些每行的最小的數(shù)字中最大的數(shù)字所對應的那行，就是選擇“最小”中的“最大”，maximin。列局中人：minmax最大最小—最小最大方法（最小最大法）：零和博弈中求解純策略納什均衡的方法，能找出所有純策略納什均衡。最小最大方法與相對優(yōu)勢策略下劃線法一樣,都是尋找同時行動博弈的純策略納什均衡的一種方法,但是,上面那樣的最小最大方法的適用范圍要窄一些,只適用于零和博弈,對于非零和博弈它就束手無策了。其中的原因在于,在非零和博弈中,可能存在共同利益,從而選擇一個你可能得到的所有最小支付中的最大者,不一定是你的最優(yōu)反應,因為你的對手所選擇的最優(yōu)策略未必是使你獲得最差支付的策略。注意7-3直線交叉法最小最大方法,只適用于尋找零和博弈中的純策略納什均衡,如果一個博弈不存在純策略納什均衡,我們就需要把上述方法予以擴展,以便找出混合策略的納什均衡。當Q翻出紅牌時,P的p混合策略所產(chǎn)生的期望支付是p-(1-p)=2p-1；當Q選擇出黑牌時,P使用p混合策略的期望支付是1-2p。找出P的最大最小策略，即在p的所有可能取值中找出能最大化P可能得到的最小支付的p值。擴展的最大最小法在均衡狀態(tài)下,對于每一個可能的p混合的值,P會預期Q總是選擇對Q自己最有利的行動。由于這是一個零和博弈,對Q而言最好的行動意味著對P而言是最不利的行動。因此,對于任何一個具體的p值,P總是預期Q會選擇與圖中兩條直線中處于較低位置的直線所對應的行動。當P選擇出紅牌的概率小于50%時(即p<0.5),P預期Q會選擇出紅牌。再從列局中人Q的角度來探討：

對于任意給定的q值,Q都會預期P采取對P自己最有利即對Q最不利的行動。從圖上看也就是說,如果q的取值位于兩條直線交點的左方,則P會選擇出黑牌;如果q的取值位于兩條直線交點的右方,則P會選擇出紅牌。

p*=0.5，q*=1/2=0.5，找出P和Q的最優(yōu)策略選擇后,我們接下來要做的事情就是把這兩個策略選擇放在一起,并證明它們構成這個博弈的納什均衡。當然,證明的思路仍然體現(xiàn)納什均衡的精髓:單獨偏離沒有好處。

給定P選擇p=0.5的p混合策略,此時Q無論是選擇出紅牌還是出黑牌,他所得到的期望支付都是0,這與他采取q混合策略時所得到的支付是相同的,因此,Q沒有激勵偏離給定的q混合策略的選擇。

給定Q選擇q=0.5的q混合策略,P選擇出紅牌或出黑牌的純策略,或者兩者混合的策略所得到的期望支付都是0。因此,他沒有激勵偏離給定的p=0.5的混合策略選擇。

合起來,這兩個混合策略是P和Q相互間的最優(yōu)反應,因此也就構成這個博弈的納什均衡7-4霍特林模型

設想在一個一字形排開的旅游地,有兩臺冷飲售賣機在兜攬生意。假設兩臺冷飲售賣機賣一樣的冷飲,價格也完全一樣,但是各自獨立,相互競爭。如果是三家獨立的冷飲售賣機在爭生意，他們就會轉來轉去轉個不停，不會出現(xiàn)穩(wěn)定的對局。冷飲售賣機定位問題，改編自大半個世紀以前美國經(jīng)濟學家霍特林(HaroldHotelling)提出來的雜貨鋪定位問題。美國經(jīng)濟學家和政治學家，運用霍特林模型，說明西方兩黨政治的部分現(xiàn)象。生活中的例子：等候出租車7-5對抗性排序零和博弈囚徒困境情侶博弈

囚徒困境和情侶博弈都有可能協(xié)調(diào)到雙贏的結果，可稱為協(xié)調(diào)博弈(gamesofcoordination)。廣義協(xié)調(diào)博弈包括所有能夠協(xié)調(diào)出雙贏對局的博弈，即使是囚徒困境那樣需要附加條件并且多次重復才能夠協(xié)調(diào)出雙贏結果的博弈。狹義的協(xié)調(diào)博弈，只指個體利益與集體利益一致的博弈，只指對于參與人來說合作總比不合作好的博弈。胖子進門博弈與情侶博弈有不同：雙方選擇不同的純策略，才是共