四年級(jí)等差數(shù)列求和

四年級(jí)等差數(shù)列求和TTAstandardizationoffice[TTA5AB-TTAK08-TTA2C]

第3講：等差數(shù)列求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)計(jì)算:1+2+3+4++99+100=?老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：1+100=2+99=3+98==49+52=50+51。100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1十100）X100-2=5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列’的求和問題。若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列的第一個(gè)數(shù)（第一項(xiàng)）叫首項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)（最后一項(xiàng)）叫末項(xiàng)，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個(gè)不變的數(shù)，這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)不變的數(shù)則稱為這個(gè)數(shù)列的公差。計(jì)算等差數(shù)列的和，可以用以下關(guān)系式：等差數(shù)列的和二（首項(xiàng)+末項(xiàng)）x項(xiàng)數(shù)末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差x（項(xiàng)數(shù)-1）項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）。公差+1例1：計(jì)算下列數(shù)列的和1,2,3,4,5,,100；8,15,22,29,36,,71o其中(1)是首項(xiàng)為L末項(xiàng)為100,公差為1的等差數(shù)列；(2)是首項(xiàng)為8,末項(xiàng)為71,公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=(首項(xiàng)十末項(xiàng))x項(xiàng)數(shù)-2隨堂小練：計(jì)算等差數(shù)列L3,5,7,9,,99的和例2：計(jì)算下面數(shù)列的和1+2+3++1999分析：這串加數(shù)1,2.3,,1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1,末項(xiàng)是1999,共有1999個(gè)數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得解：原式=(1+1999)x1999-2=1999000注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例3：計(jì)算下面數(shù)列的和11+12+13++31分析：這串加數(shù)11,12,13,,31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11,末項(xiàng)是31,共有31-11+1=21(項(xiàng))。解：原式=(H+31)x21-2=441在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng)):公差十1,末項(xiàng)=首項(xiàng)十公差X(項(xiàng)數(shù)-1)。例4：計(jì)算下面數(shù)列的和3+7+11++99分析：3,7.111.99是公差為4的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)=(99-3)-4+1=25解：原式=(3+99)x25=2=1275例5：求首項(xiàng)是25,公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。解：末項(xiàng)=25+3x(40-1)=142,和=(25+142)x40-2=3340o利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，也可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。隨堂小練：(1)求等差數(shù)列：1、3、5、7、9……它的第21項(xiàng)是多少？(2)求等差數(shù)列：2、6、10、14、18……它的第60項(xiàng)是多少？例6：已知數(shù)列2、5、8、11、14……35,這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？分析：第2項(xiàng)比首項(xiàng)多1個(gè)公差,第3項(xiàng)比首項(xiàng)多2個(gè)公差，第4項(xiàng)比首項(xiàng)多3個(gè)公差……，那第n項(xiàng)比首項(xiàng)多(n-1)個(gè)公差?？筛鶕?jù),項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng)):公差+1進(jìn)行計(jì)算，(35-2)±3十1=12。所以，這個(gè)數(shù)列共有12項(xiàng)。由此可知：項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))。公差+1隨堂小練：(1)有一個(gè)等差數(shù)列：1、3、5、7、9……99,這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？⑵(3)有一個(gè)等差數(shù)列：2、5、8、11……101,這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？例7：在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2,邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米（2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時(shí)，每層的小三角形數(shù)目為1、3、5、7、9等，由此可知，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：⑴最大三角形面積為（1十3十5十十⑸xl2=[（1+15）x8=2]x12=768（平方厘米）2）火柴棍的數(shù)目為3+6+9H24=（3+24）x8-2=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2,整個(gè)圖形由108根火柴擺成。例8：盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓球？分析：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2x2只球第十次多了2x10只球。因此拿了十次后，多了2xl+2x2++2xl0=2x（1+2++10）=2x55=110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110+3=113（只）。解：綜合列式為：（3-1）x（1+2++10）+3=2x[（1+10）xlO-2]+3=113（只）課后練習(xí)：1、求下列等差數(shù)列的和。6+7+8+9+……+74+752+6+10+14+……+122+1261+2+3+4+……+2007+20082、有一個(gè)數(shù)列，4、10、16、22……52,這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)？3、4、一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是3,公差是2,項(xiàng)數(shù)是10。它的末項(xiàng)是多少？5、求等差數(shù)列1、4、7、10……，這個(gè)等差數(shù)列的第30項(xiàng)是多少？6、7、有一個(gè)數(shù)列：6、10、14、18、22……,這個(gè)數(shù)列前100項(xiàng)的和是多少？8、9、在等差數(shù)列1、5、9、13、17……401中，401是第幾項(xiàng)第50項(xiàng)是多少10、11、求1—99個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字的和。12、8已知等差數(shù)列5,8,11…，求出它的第1