2018-2019學(xué)年第一學(xué)期數(shù)學(xué)湘教七年級第一章有理數(shù)課件

具有相反意義的量本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.1

在日常生產(chǎn)和生活實(shí)踐中，由于記數(shù)、測量、分配等方面的需要產(chǎn)生了自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù).你還見過其他的數(shù)嗎？說一說

如圖1-1所示的溫度計(jì)上是如何區(qū)分零上的度數(shù)和零下的度數(shù)的？

用不同顏色的數(shù)字來區(qū)分零上和零下的溫度數(shù)固然是一種辦法，但與在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)過的整數(shù)和分?jǐn)?shù)(或小數(shù))一樣，對于數(shù)要進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算.

如果僅用顏色來區(qū)分，就不便于運(yùn)算．因此我們要想其他的辦法．（1）在預(yù)報(bào)北京市某天的天氣時，播音員說：“北

京，晴，局部多云，零下6攝氏度到5攝氏度．”

這時,屏幕上是如何顯示這天的溫度的？觀察屏幕上顯示“-6~5℃”存入2500元記做“+2500”，支出3000元記做“-3000”．（2）儲蓄存折上是怎樣表示“存入2500元”和“支出3000元”的？

溫度的“零上5攝氏度”與“零下6攝氏度”、儲蓄中的“存入2500元”與“支出3000元”分別是一對意義相反的量．

在具有相反意義的一對量中，我們把其中的一種量用正數(shù)表示；

而另一種量用負(fù)數(shù)表示，它是在正數(shù)前面加上“-”（讀作負(fù)）號.例如-3，-1，-0.168，-等就是負(fù)數(shù).例如3，125，10.5，等大于0的自然數(shù)和分?jǐn)?shù)(或小數(shù))就是正數(shù).

有的時候在正數(shù)前面加上“+”（讀作正）號，以強(qiáng)調(diào)它是正數(shù).例如，“正數(shù)5”寫作“+5”，但通常把“+”號省略不寫.

0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).結(jié)論我們也把正數(shù)和0

統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù).

請舉出一些具有相反意義的量的例子，并分別表示它們.動腦筋海平面以上與海平面以下表示的意義相反.海平面以上1025m記做“1025m”，海平面以下155m記做“-155m”.

在東西向的馬路上，把出發(fā)點(diǎn)記為0，向東與向西意義相反．若把向東走2km記做“2km”，那么向西走2.6km應(yīng)記做“-2.6km”．

請你舉例說明從小學(xué)到現(xiàn)在，我們學(xué)過的數(shù)有哪些.議一議自然數(shù)0，1，2，3，…小數(shù)3.2，，5.33，…分?jǐn)?shù)…負(fù)數(shù)-3，-100，-0.125，，…有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也可以化為分?jǐn)?shù).分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).例如：，…例如：，…負(fù)分?jǐn)?shù)-0.125…正分?jǐn)?shù)0.6…1，3，167，…正整數(shù)-3，-1，-155，…負(fù)整數(shù)0有理數(shù)正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù).正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù).整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).結(jié)論1.回答下列問題：（1）通常把水結(jié)冰時的溫度規(guī)定為0℃，那么比水結(jié)冰時的溫度低5℃應(yīng)記做什么?

答：記作-5℃練習(xí)（2）如果在東西向的馬路上把出發(fā)點(diǎn)記為0，把向東走的路程記做正數(shù)，那么走-50m是什么意思？

答：向西走了50m.2.有下列數(shù):3.6，,-78，0，-0.37，9，-5.14，-1.

其中整數(shù)：

；分?jǐn)?shù)：

.-78，0，9，-13.6，，-0.37，-5.143.

下列有理數(shù)中哪些是非負(fù)數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)？答：2.7，2010，0，，2為非負(fù)數(shù)，

-0.414，-7，，-10.3為負(fù)數(shù).中考試題例1

某項(xiàng)科學(xué)研究，以45分鐘為1個時間單位，并記每天上午10時為0，10時以前記為負(fù)，10時以后記為正，例如，9:15記為-1等等.依此類推，上午7:45應(yīng)記為（）A.3

B.-3C.-2.5

D.-7.45

按規(guī)定以45分鐘為1個時間單位，記10時為0，10時以前記為負(fù)，10時以后記為正，從而可知9:15記為-1，8:30記為-2，7:45應(yīng)記為-3.

故選B.解B正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的概念分析中考試題例2

將下列各數(shù)按要求分別填入相應(yīng)的集合中.0.05，1，,-126,72.1,0,-12%,

,+729,-628,

,,-1000.01.

（1）正整數(shù)集合：{…}；（2）負(fù)整數(shù)集合：{…}；（3）正分?jǐn)?shù)集合：{…}；（4）負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{…}；（5）整數(shù)集合：{…}；（6）分?jǐn)?shù)集合：{…}；（7）非負(fù)數(shù)集合：{…}；（8）非負(fù)整數(shù)集合：{…}；（9）負(fù)數(shù)集合：{…}.1，+729，-126，-6281，+729，-126，-628，00.05，72.1，，，-12%，，-1000.01，0.05，72.1，，，，-12%，，-1000.01，0.05，1，72.1，0，，+729，，1，0，+729，，-126，-12%，-628，，-1000.01，解中考試題例3

某糧店出售的三種品牌的面粉袋上，分別標(biāo)有質(zhì)量為（）kg、（）kg、（）kg的字樣，從中任意拿出兩袋，它們的質(zhì)量最多相差（）A.0.8kg

B.0.6kgC.0.5kg

D.0.4kg

這道題考查了正、負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.從已知條件可以看出三種面粉中，最多可超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量（25kg)0.3kg，最少可低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量（25kg)0.3kg，而從中任意拿出兩袋，要使它們的質(zhì)量相差最多，則只可能是兩袋都是（）kg這種，所以它們最多相差0.6kg[(25+0.3)kg與(25-0.3)kg].應(yīng)選B.解B1.2.1數(shù)軸

我們看到的刻度尺的邊緣上都有一些點(diǎn)，并且這些點(diǎn)在一條直線上，它們分別表示一些數(shù).由此聯(lián)想，能不能用一條直線上的點(diǎn)來表示數(shù)？

小麗從點(diǎn)O出發(fā)，沿一條筆直的東西向人行道行走的示意圖.由圖你能受到什么啟發(fā)？觀察讓出發(fā)點(diǎn)O表示0，向東走1m到達(dá)點(diǎn)A，就讓點(diǎn)A表示1；向東走3m到達(dá)點(diǎn)C，就讓點(diǎn)C表示3；向西走1m到達(dá)點(diǎn)B，就讓點(diǎn)B表示-1.向西走3m到達(dá)點(diǎn)D，就讓點(diǎn)D表示-3.

從上面的例子受到啟發(fā)，我們可以用一條直線上的點(diǎn)來直觀地表示數(shù).結(jié)論

畫一條直線(通常把它水平放置)，O0

在直線上取一點(diǎn)O，把點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，用原點(diǎn)表示數(shù)0.

規(guī)定直線的正方向（標(biāo)上箭頭）.O0

通常把直線上從原點(diǎn)向右的方向規(guī)定為正方向，從原點(diǎn)向左的方向規(guī)定為負(fù)方向.

選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度.O012-1-2

從原點(diǎn)向右，距原點(diǎn)1個單位長度的點(diǎn)表示數(shù)1，

距原點(diǎn)2個單位長度的點(diǎn)表示數(shù)2，…；

從原點(diǎn)向左，距原點(diǎn)1個單位長度的點(diǎn)表示數(shù)-1，

距原點(diǎn)2個單位長度的點(diǎn)表示數(shù)-2，….

像這樣，規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個點(diǎn)來表示.結(jié)論例1

如圖1-7，數(shù)軸上的點(diǎn)M，P，Q分別表示哪個有理數(shù)？圖1-7解：M，

P，Q分別表示-3，-0.5，2.5.舉例例2畫一條數(shù)軸，并標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)：解：所畫數(shù)軸及各數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示.1.把下列各數(shù)和數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)用線連起來：練習(xí)0-23-3.54.25

2.填空：

（1）數(shù)軸上在原點(diǎn)右邊距原點(diǎn)3.7個單位長度的點(diǎn)表示的數(shù)是

；

（2）數(shù)軸上在原點(diǎn)左邊距原點(diǎn)個單位長度的點(diǎn)表示的數(shù)是

；

（3）數(shù)軸上距原點(diǎn)2個單位長度的點(diǎn)有

個，它們分別表示數(shù)

.3.72和-2兩

3.畫一條數(shù)軸，并標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)：

-2，-0.8，0.8，2.012-1-2-0.80.81.2.2相反數(shù)

如圖1-9，點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的有理數(shù)之間有什么關(guān)系？觀察圖1-9

點(diǎn)A與原點(diǎn)的距離是5，點(diǎn)B與原點(diǎn)的距離也是5.

點(diǎn)A表示-5，點(diǎn)B表示5，它們只有符號不同.

像5和-5這樣，如果兩個數(shù)只有符號不同，那么其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù).例如，2.6的相反數(shù)是-2.6，

-2.6的相反數(shù)是2.6.

我們把數(shù)a的相反數(shù)記做-a．于是“-2.6

的相反數(shù)是2.6”就可以記做“-(-2.6)=2.6”．0的相反數(shù)是0.結(jié)論

表示互為相反數(shù)的兩個數(shù)的點(diǎn)，在數(shù)軸上分別位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且與原點(diǎn)的距離相等.例3畫一條數(shù)軸，并標(biāo)出表示下列各數(shù)的相反數(shù)的點(diǎn)：解：3的相反數(shù)是-3；1.5的相反數(shù)是-1.5；-6的

相反數(shù)是6，且-3，-1.5，6在數(shù)軸上對應(yīng)的

點(diǎn)分別為A，B，C，如圖所示3，1.5，-6.-(+1)=?

說一說-(-1)=?

因?yàn)?1的相反數(shù)是-1，所以-(+1)=-1.因?yàn)?1的相反數(shù)是1，所以-(-1)=1.例4填空：-(+0.8)=

；-(-3)=

.解：

-(+0.8)=

；-0.8-(-3)=

.31.把右邊各數(shù)中互為相反數(shù)的兩個數(shù)用線連起來，并在一條數(shù)軸上標(biāo)出表示它們的點(diǎn).練習(xí)92.51-2.500-9-12.填空：-(+6.7)=

；-(+8）=

；-(-4)=

；=

.-6.7-843.已知a的相反數(shù)是3.5，則a等于多少？答：a是-3.5.1.2.3絕對值

小明家、學(xué)校、小李家在數(shù)軸上的位置分別如圖中點(diǎn)A，

O，

B所示.動腦筋

若數(shù)軸的單位長度表示1km，則A，B兩點(diǎn)表示的有理數(shù)分別是多少？1km

小明、小李各自從家到學(xué)校要走多遠(yuǎn)？小明家學(xué)校小李家點(diǎn)A表示-4，小明從家到學(xué)校要走4

km.點(diǎn)B表示2，小李從家到學(xué)校要走2

km.小明家學(xué)校小李家

我們把4叫做-4的絕對值，記做“|-4|=4”；把2叫做2的絕對值，記做“|2|=2”.小明家學(xué)校小李家正數(shù)的絕對值是它本身.結(jié)論負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).0的絕對值是0.從而，互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等.

從上述例子看到，-4的絕對值等于數(shù)軸上表示-4

的點(diǎn)A與原點(diǎn)之間的距離，2的絕對值等于數(shù)軸上表示2的點(diǎn)B與原點(diǎn)之間的距離，如圖所示.一般地，有下述結(jié)論：

一個數(shù)的絕對值等于數(shù)軸上表示這個數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

例5

求下列各數(shù)的絕對值：

12，，-7.5，0.舉例解|12|12是正數(shù)，正數(shù)的絕對值等于它本身.=12

是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù).=|-7.5|-7.5是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)絕對值等于它相反數(shù).=7.5|0|0的絕對值等于0.=0

如果a表示一個數(shù)，則|a|等于多少？

（1）當(dāng)a是正數(shù)時，|a|=a；

（3）當(dāng)a是負(fù)數(shù)時，|a|=-a.

（2）當(dāng)a=0時，|a|=0；說一說

一般地，如果a表示一個數(shù)，則即|a|是指a和-a中非負(fù)數(shù)的另一個.

例6

若|a|=8.7,求a.解互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等.因?yàn)榻^對值等于8.7的有理數(shù)有8.7和-8.7兩個，所以a=8.7或a=-8.7.

1.求下列各數(shù)的絕對值：3，3.14，，-2.8.解|3|=3；|3.14|=3.14；；|-2.8|=2.8.練習(xí)2.填空：-|-2010|=

；-|-2.8|=

；

=

.-2010-2.83.畫一條數(shù)軸，并標(biāo)出表示絕對值等于2，3.5

的數(shù)的點(diǎn).中考試題例1

在一條東西走向的馬路上，有青少年宮、學(xué)校、商場、醫(yī)院四家公共場所.已知青少年宮在學(xué)校東300米，商場在學(xué)校西200米，醫(yī)院在學(xué)校東500米.若將馬路近似地看成一條直線，以學(xué)校為原點(diǎn)，向東方向?yàn)檎较?，?個單位長度表示100米.1.在數(shù)軸上表示出四家公共場所的位置.2.列式計(jì)算青少年宮與商場之間的距離.

畫數(shù)軸要注意數(shù)軸的三要素，選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)（學(xué)校）為坐標(biāo)原點(diǎn)，求數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離時要利用數(shù)形結(jié)合思想.分析

青少年宮與商場之間的距離為500米.解0-200100-100200300400500(1)(2)青少年宮學(xué)校商場醫(yī)院中考試題例2

點(diǎn)A為數(shù)軸上表示-2的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸移動4個單位長度到點(diǎn)B時，點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為（）A.2

B.-6

C.2或-6

D.不同于以上答案利用數(shù)軸，可以直觀地看到問題的答案.分析

如果點(diǎn)A是向左移動，則點(diǎn)B表示-6，如果點(diǎn)A是向右移動，則點(diǎn)B表示2，故選C.C解中考試題例3

如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A所表示的是有理數(shù)a，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是

.

由數(shù)軸可以看出，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為|a|，因?yàn)閍小于0，由絕對值的意義可知，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為-a.解a0A-a有理數(shù)大小的比較本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.3

我們已經(jīng)會比較正數(shù)的大小，例如5>3，；并且還知道，正數(shù)都大于0.

5米3米哪個大？

溫度-10℃與2℃，哪個溫度高？溫度0℃與-3℃，哪個溫度高？2℃比-10℃高，0℃比-3℃高，因?yàn)槲腋杏X溫度在2℃時比-10℃時暖和，在0℃時比-3℃時暖和.說一說結(jié)論正數(shù)大于負(fù)數(shù),0大于負(fù)數(shù).

溫度-10℃與-3℃，哪個溫度低？動腦筋-10的絕對值與-3的絕對值，哪個大？-10℃比-3℃低，因?yàn)槲腋杏X溫度在-10℃時比-3℃時冷.由于|-10|=10，|-3|=3，因此|-10|>|-3|.結(jié)論兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.

根據(jù)這個規(guī)定，由于|-10|=10，|-3|=3，且10>3，因此-10<-3.而在數(shù)軸上表示-10的點(diǎn)A在表示-3的點(diǎn)B的左邊.結(jié)論

在以向右為正方向的數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.

例比較下列各組數(shù)的大?。海?）-100與-3；（2）-

與-

；（3）-

與-|-2|.舉例解（1）-100與-3-100和-3都是負(fù)數(shù).

因?yàn)閨-100|=100，|-3|=3，又100>3,所以-100<-3看絕對值的大小.絕對值大的反而小.絕對值大的反而小.（2）-

與--

和-

都是負(fù)數(shù).

因?yàn)閨-|=，|-|=，又>,所以-<-看絕對值的大小.兩個數(shù)相比較.（3）

與-|-2|

因?yàn)?/p>

，-|-2|=-2，所以

1.比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

（1）-896與0.01；（2）-1.5與-1.4；（3）與；（4）-(+5.5)與-|-4.5|.練習(xí)

（1）-896<0.01解

（2）-1.5<-1.4（3）

（4）-(+5.5)<-|-4.5|2.在一條數(shù)軸上分別標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)，并把這些數(shù)用“<”連接起來.0，3，-4，-1.50123-1-2-3-4-1.5解-4<-1.5<0<3中考試題例

在數(shù)軸上畫出表示-3，-1，|-2|的點(diǎn)，并把這組數(shù)從小到大用“<”號連接起來.

首先要求出|-2|=2，然后在數(shù)軸上畫出表示-3，-1，2的點(diǎn)，然后利用數(shù)軸比較這三個數(shù)的大小.分析

如圖所示，-3<-1<|-2|.解-3201-1-2|-2|1.4.1有理數(shù)的加法

我們已經(jīng)會計(jì)算兩個非負(fù)數(shù)的和，例如8+12=20，3.75+0.25=4，那么如何計(jì)算兩個負(fù)數(shù)的和呢？

在一條東西向的筆直馬路上，任取一個點(diǎn)O.若把向東走1km記為1，則向西走1km記為-1.動腦筋

小麗從點(diǎn)O出發(fā)，先向西走了2km，然后繼續(xù)向西走了3km，兩次行走后，小麗從O點(diǎn)向哪個方向走了多少千米？

兩次行走后，小麗從O點(diǎn)向西走了(2+3)km，用算式表示就是

(-2)+(-3)=-(2+3)

兩個負(fù)數(shù)相加，結(jié)果是負(fù)數(shù)，并且把它們的絕對值相加.結(jié)論例1

計(jì)算（1）(-8)+(-12)；（2）(-3.75)+(-0.25).舉例（1）（-8）+（-12）(-8)和（-12）為同號（-8）+（-12）解=-（8+12）=-20取相同符號（2）（-3.75）+（-0.25）(-3.75)和（-0.25）為同號（-3.75）+（-0.25）解=-（3.75+0.25）=-4取相同符號

現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)會求兩個負(fù)數(shù)的和，那么如何求一個正數(shù)與一個負(fù)數(shù)的和呢？動腦筋

在一條東西向的筆直馬路上，任取一個點(diǎn)O.若把向東走1km記為1，則向西走1km記為-1.

小亮從點(diǎn)O出發(fā)，先向東走了4km，然后掉頭向西走了1km，小亮兩次行走的效果等于從點(diǎn)O向哪個方向走了多少千米？

由于向西走1km抵消了原來向東走4km中的1km，因此小亮兩次行走的效果等于從點(diǎn)O向東走了(4-1)km.用算式表示就是

4+(-1)=+(4-1)=3

小剛從點(diǎn)O出發(fā)，先向東走了1km，然后掉頭向西走了3km，小剛兩次行走的效果等于從點(diǎn)O向哪個方向走了多少千米？

由于小剛掉頭向西走3km，把原來向東走的1km抵消了，因此小剛兩次行走的效果等于從點(diǎn)O向西走了(3-1)km.用算式表示就是

1+(-3)=-(3-1)=-2

異號兩數(shù)相加，當(dāng)兩數(shù)的絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并且用較大的絕對值減去較小的絕對值.結(jié)論說一說互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加，和為0.一個數(shù)與0相加，和仍是這個數(shù).（1）互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加，和為多少？（2）一個數(shù)與0相加，和為多少？互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.結(jié)論一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù).從上述有理數(shù)加法的規(guī)定可以得出：如果兩個數(shù)的和等于0，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù).例2

計(jì)算（1）(-5)+9；（2）7+(-10)

；舉例（3）；（4）（1）（-5）+9解（-5）和9為異號（-5）+9=95=4|9|＞|5|,取9的符號|9|-|5|+)-（（2）7+（-10）解（-10）和7為異號7+（-10）=7-10=-3|10|＞|7|,取10的符號()-（3）

和為異號解|

|>|

|,取

的符號=

和分母不同===0互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.（4）解1.計(jì)算:（1）（-11）+（-9）（2）（-7）+0（3）8+（-20）（4）（-9）+9（5）(-10)+7練習(xí)-20-7-120-3（6）2.某地8:00的氣溫是，15:00的氣溫比8:00的氣溫上升了，該地15:00的氣溫是多少？-3℃5℃答：-3+5=2（℃）

在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)過了加法的交換律、結(jié)合律，在有理數(shù)范圍內(nèi)這兩個運(yùn)算律是否仍然適用呢？動腦筋5+(-3)=

,(-3)+5=

,[(-8)+(-9)]+5=

,-8+[(-9)+5]=

.2（1）

計(jì)算下列各式2-12-12（2）

換幾個有理數(shù)試一試，你發(fā)現(xiàn)了什么？加法交換律：+

=

+結(jié)論abba即，兩個有理數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變.加法結(jié)合律：a+b+c=(+)+=+(+)結(jié)論abcabc即，三個有理數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再把結(jié)果與第三個數(shù)相加；或者先把后兩個數(shù)相加，再把結(jié)果與第一個數(shù)相加，和不變.

三個或三個以上有理數(shù)相加，可以寫成這些數(shù)的連加式.對于連加式，根據(jù)加法交換律和加法結(jié)合律，可以任意交換加數(shù)的位置，也可先把其中的某幾個數(shù)相加.例3

計(jì)算（1）（-32）+7+（-8）舉例（2）4.37+（-8）+（-4.37）（3）（1）（-32）+7+（-8）先將同號相加=[-32+（-8）]+7=（-32）+（-8）+7=(-40)+7=-33

（-32）+7+（-8）解（-32）（-8）4.37+（-4.37)結(jié)果為0=[4.37+(-4.37)]+(-8)=0+（-8）=-84.37+（-8）+（-4.37）（2）4.37+（-8）+（-4.37）0與(-8)相加，結(jié)果為-8=解4.37+（-8）+（-4.37）同分母相加=10+（-3）解（3）=7+++例4：

某臺自動存取款機(jī)在某時段內(nèi)處理了以下6項(xiàng)現(xiàn)款儲蓄業(yè)務(wù)：存入200元、支出800元、支出1000元、存入2500元、支出500元、支出300元.

問該自動存取款機(jī)在這一時段內(nèi)現(xiàn)款增加或減少了多少元？

解

記存入為證，則由題意可得：(+200)+(-800)+(-1000)+(+2500)+(-500)+(-300)=(200+2500)+[(-800)+(-1000)+(-500)+(-300)]=2700+(-2600)=100答：該自動存取款機(jī)在這一時段內(nèi)現(xiàn)款增加了100元.練習(xí)1.計(jì)算（1）（+13）+（-7）+（-3）（2）1.4+（-0.1）+0.6+（-1.9）（3）302.

小歡的父親在某儲蓄所原有存款5000元.某月他父親到該儲蓄所辦理了以下4項(xiàng)現(xiàn)款儲蓄業(yè)務(wù)：

存入500元，支出300元，存入1200元，支出600元.

則他父親在該儲蓄所還有多少錢？答：他父親在該儲蓄所還有5800元.1.4.2有理數(shù)的減法

我們已經(jīng)會進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算，但如何進(jìn)行有理數(shù)的減法運(yùn)算呢？2011年某一天，北京市的最高氣溫是-1℃，最低氣溫是-9℃，這天北京的溫差（最高氣溫-最低氣溫）是多少？探究從圖中的溫度計(jì)可以看出：-1℃比-9℃高8℃，因此(-1)-(-9)=8=(-1)+9.結(jié)論減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).即a

–b

=

a

+

(-b)

例5

計(jì)算：（1）0-（-3.18）；（2）5.3-（-2.7）；（3）（

-10）-（-6）；（4）.舉例解（1）0-（-3.18）=0+3.18根據(jù)減法法則=3.18-3.18的相反數(shù)為3.180與3.18相加，還得3.18（2）5.3-（-2.7）解=5.3+2.7=8根據(jù)減法法則-2.7的相反數(shù)為2.7（3）（-10）-（-6）解=（-10）+6=-4根據(jù)減法法則-6的相反數(shù)為6-10與6相加，取10的符號（4）解=（-3.7）-6.5=-10.2根據(jù)減法法則化為小數(shù)計(jì)算1.計(jì)算:

（1）7-（-4）；（2）（-3）-（-5）；（3）（-3）-0；（4）0-（-7）.練習(xí)（1）7-（-4）=7+4=111.解（2）（-3）-（-5）=-3+5=2（3）（-3）-0=-3-0=-3（4）0-（-7）=0+7=72.計(jì)算:

（1）2.53-（-2.47）；（2）（-1.7）-（-2.5）；（3）；（4）.（1）2.53-（-2.47）=2.53+2.47=52.解（2）（-1.7）-（-2.5）=-1.7+2.5=0.8（3）（4）3.潛水員甲潛入海平面以下10m，潛水員乙潛入海平面以下20m，問甲的位置比乙的位置高多少米？答：甲的位置比乙的位置高10m.

計(jì)算：8-(-3)+(-5)-7；做一做

這個式子中既有加法運(yùn)算，又有減法運(yùn)算，因?yàn)椤皽p去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”,所以可以把它們?nèi)哭D(zhuǎn)化為加法運(yùn)算.8-(-3)+(-5)-7=8+3+(-5)+(-7)=11+(-12)=-1

在上面的計(jì)算過程中，我們把加減運(yùn)算都統(tǒng)一成了加法運(yùn)算，原來的算式就轉(zhuǎn)化為求幾個正數(shù)或負(fù)數(shù)的和.8-(-3)+(-5)-7=8+3+(-5)+(-7)=11+(-12)=-1

例6

計(jì)算：

(-21)+30-15-(-17).舉例=(-21)+30+(-15)+17解

(-21)+30-15-(-17)=(-21)+

(-15)+30+17=-36+47=11例7動物園在檢測成年麥哲倫企鵝的身體狀況時，最重要的一項(xiàng)工作就是稱體重．已知某動物園對6只成年麥哲倫企鵝進(jìn)行稱重檢測，以4kg為標(biāo)準(zhǔn)，超過或不足的千克數(shù)分別用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示，稱重記錄如下表所示，求這6只企鵝的總體重.舉例編號123456差值（kg）-0.08+0.09+0.05-0.05+0.08+0.06編號123456差值（kg）-0.08+0.09+0.05-0.05+0.08+0.06(-0.08)+(+0.09)+(+0.05)+(-0.05)+(+0.08)+(+0.06)解=［(-0.08)+0.08］+［0.05+(-0.05)］+(0.09+0.06)=0+0+0.15=0.154×6+0.15=24.15（kg）.答：這6只企鵝的總體重是24.15kg．1.計(jì)算:練習(xí)

（1）-6-(-4)-3+(-5)；（2）(-10.5)+(-8.6)-(-9.6)+10；（3）-100.5-32.計(jì)算:

（1）（2）3.7筐西紅柿，每筐以12kg為標(biāo)準(zhǔn)，超過或不足的千克數(shù)分別用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示，稱重記錄如下（單位：kg）：-1，+1.5，2，-0.5，-1.5，1.5，1.求這7筐西紅柿的總質(zhì)量.答：這7筐西紅柿的總質(zhì)量為87kg.中考試題例1

某玩具店老板用300元購買了10件玩具，如果按自定的價(jià)格每件玩具48元作為標(biāo)準(zhǔn)出售，超出的錢數(shù)記為正數(shù)，不足的錢數(shù)記為負(fù)數(shù)，現(xiàn)記錄如下（單位：元）：+5，-2，+9，-6，-1，0，+3，-9，+4，-8，請你幫助這個老板計(jì)算一下，當(dāng)他賣完這10件玩具后，是盈利還是虧損？

以48元為基準(zhǔn)，則10件玩具的總增減量為

(+5)+(-2)+(+9)+(-6)+(-1)+0+(+3)+(-9)+(+4)+(-8)=[(+9)+(-9)]+[(+5)+(+3)+(+4)]+[(-2)+(-8)+(-1)+(-6)]+0=12+(-17)=-5(元)

∴銷售這10件玩具的總收入為48×10+(-5)=475(元）.

∵475>300，

∴當(dāng)老板賣完這10件玩具后，盈利了.解本題中，判斷這個老板是盈利還是虧損，應(yīng)先求出他銷售這10件玩具的總收入，然后與成本300元進(jìn)行比較，若總收入高于300元，則盈利；若總收入低于300元，則虧損；若總收入等于300元，則不虧損也不盈利.可先求出各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)48元的差的和.，得到總的增減量，然后再求出總收入，與成本300元比較.分析中考試題例2

今年我市2月份某一天的最低氣溫為-5℃，最高氣溫為13℃，那么這一天的最高氣溫比最低氣溫高（）A.-18℃B.18℃C.13℃D.5℃1.有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).2.如果用字母a、b表示有理數(shù)，那么有理數(shù)減法法則可表示為：a-b=a+(-b)，因此有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算來進(jìn)行.分析

因?yàn)?3-（-5）=13+5=18（℃

）.所以選B.B解中考試題例3

計(jì)算：

.解

故填.中考試題例4

我市2005年的最高氣溫為39℃，最低氣溫為零下7℃，計(jì)算2005年溫差，列式正確的是（）A.（+39）-（-7）

B.（+39）+（+7）

C.（+39）+（-7）

D.（+39）-（+7）根據(jù)題意，應(yīng)列為:(+39)-(-7).故選A.A解1.5.1有理數(shù)的乘法我們已經(jīng)熟悉了非負(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，那么如何計(jì)算

（-5）×3，

3×（-5），（-5）×（-3）呢？5×3=15，①例如動腦筋

我們把向東走的路程記為正數(shù).如果小麗從點(diǎn)O出發(fā)，以5km/h的速度向西行走3h后，小麗從O點(diǎn)向哪個方向行走了多少千米？小麗從O點(diǎn)向西行走了（5×3）km.由此，我們有（-5）×3=（5×3）②-

我們已經(jīng)知道(-5)×3

=

-(5×3)，探究那么3×(-5)，(-5)×(-3)又應(yīng)怎樣計(jì)算呢？

非負(fù)數(shù)的乘法與加法是用分配律聯(lián)系起來的，因此，當(dāng)數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)后，要規(guī)定有理數(shù)的乘法法則，當(dāng)然也要求它滿足分配律，以便把乘法與加法聯(lián)系起來.如果它滿足分配律，那么就會有3×(-5)+3×5=3×

[(-5)+5]=3×0=0.這表明3×(-5)與3×5互為相反數(shù)，于是有3×(-5)=-(3×5).③結(jié)論異號兩數(shù)相乘得負(fù)數(shù)，并且把絕對值相乘.從②、③式受到啟發(fā)，一般規(guī)定：3×(-5)=-(3×5)

③(-5)×3=-(5×3)②（-）×（+）→（-）（+）×（-）→（-）結(jié)論任何數(shù)與0相乘，都得0.

類似地，我們有(-5)×(-3)+(-5)×3=(-5)×[(-3)+3]=(-5)×0=0這表明(-5)×(-3)與(-5)×3互為相反數(shù).因?yàn)?-5)×3=-15，而-15的相反數(shù)是15，所以(-5)×(-3)=15.即(-5)×(-3)=15=5×3.④由④式看出，(-5)×(-3)得正數(shù)，并且把絕對值5與3相乘.結(jié)論同號兩數(shù)相乘得正數(shù)，并且把絕對值相乘.從①、④式受到啟發(fā)，于是規(guī)定：(-5)×(-3)=15=5×3④5×3=15

①（+）×（+）→（+）（-）×（-）→（+）

例1

計(jì)算：（1）3.5×（-2）；（2）；（3）；（4）（-0.57）×

0.舉例解（1）3.5×（-2）=-(3.5×2)根據(jù)乘法法則=-73.5)和(-2)為異號，結(jié)果為負(fù)3.5和(-2)的絕對值相乘解（2）=根據(jù)乘法法則=

為異號，結(jié)果為負(fù)它們的絕對值相乘解（3）=根據(jù)乘法法則=1

為同號，結(jié)果為正解（4）（-0.57）×0根據(jù)乘法法則=0任何數(shù)與0相乘，結(jié)果為01.填表:因數(shù)因數(shù)積的符號絕對值的積積-27-10.3-10-14-+3-14-3練習(xí)2.計(jì)算：（1）；（2）.

在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)過乘法的交換律、結(jié)合律，那么這兩個運(yùn)算律在有理數(shù)范圍內(nèi)是否也適用呢？

填空：

（1）(-2)×4=

，4×(-2)=

；-8-8動腦筋（2）[(-2)×(-3)]×(-4)=

×(-4)=

，

(-2)×[(-3)×(-4)]=(-2)×

=

.6-2412-24從上面的填空題中，你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論乘法交換律：

×

=

×

.abab即，兩個有理數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變.結(jié)論乘法結(jié)合律：(×)×

=

×(×).a

babcc

即對于三個有理數(shù)相乘，可以先把前兩個數(shù)相乘，再把結(jié)果與第三個數(shù)相乘；或者先把后兩個數(shù)相乘，再把第一個數(shù)與所得結(jié)果相乘，積不變．

和加法類似，根據(jù)乘法交換律和乘法結(jié)合律可以推出：三個或三個以上有理數(shù)相乘，可以寫成這些數(shù)的連乘式．對于連乘式，可以任意交換因數(shù)的位置，也可先把其中的幾個數(shù)相乘．

（1）填空：動腦筋(-6)×[4+(-9)]=(-6)×

=

，(-6)×4+(-6)×(-9)=

+

=

.-53054-2430

（2）換幾個有理數(shù)試一試，你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論乘法對加法的分配律（簡稱為分配律）：

×(

+

)

=

×

+

×

.b

caabac

（-1）a=-a利用分配律，可以得出

即，一個有理數(shù)與兩個有理數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把積相加.

例2

計(jì)算：

（1）；

（2）

（-12.5）×（-2.5）×（-8）×4

.舉例解（1）=將分?jǐn)?shù)逐個與60相乘=30-20-15+12=7分?jǐn)?shù)與整數(shù)60相乘計(jì)算結(jié)果解（2）(-12.5)×(-2.5)×(-8)×4=(-12.5)

×(-8)×(-2.5)×4(-12.5)和(-8)相乘為整數(shù)=100×(-10)(-2.5)和4相乘為整數(shù)=-1000相乘為整數(shù)的先結(jié)合起來(-12.5)和(-8)為同號相乘(-2.5)和4為異號相乘(-10)和100相乘為異號

下列各式的積是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？積的符號與負(fù)因數(shù)（因數(shù)為負(fù)數(shù)）的個數(shù)之間有什么關(guān)系？（1）（-2）×（-3）×（-4）；（2）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）.

幾個不等于0的數(shù)相乘，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.說一說

例3

計(jì)算：

（1）（-8）×4×（-1）×（-3）；（2）.舉例解（1）(-8)×4×

(-1)×(-3)=-(8×4×1×3)將負(fù)號提出來絕對值進(jìn)行相乘=-96先確定積的符號解四個負(fù)號相乘，結(jié)果為正號絕對值進(jìn)行相乘=32先確定積的符號（2）1.計(jì)算:

（1）(-2)×17×(-5)；（2）(-15)×3×(-4)；（3）；（4）0.125×9×(-8)；（5）(-5)×(-4)×(-3)；（6）(-1.5)×6×(-4)；（7）；（8）(-10)×28×0.練習(xí)1.解（1）(-2)×17×(-5)=2×5×17=170（2）(-15)×3×(-4)=15×4×3=180（3）（4）0.125×9×(-8)=-(8×0.125)×9=-9（5）(-5)×(-4)×(-3)=-(5×4×3)=-60（6）(-1.5)×6×(-4)=1.5×4×6=36（7）（8）(-10)×28×0=02.計(jì)算:

（1）

；（2）（-4）×（-3）×（-

5）×（-2.5）.

2.解（1）（2）（-4）×（-3）×（-

5）×（-2.5）

=4×3×5×2.5=1501.5.2有理數(shù)的除法我們知道

2×3=6，因此

6÷3=2.

①那么如何計(jì)算（-6）÷3，

6÷（-3），

（-6）÷（-3）呢？

探究（-6）÷3=?，

6÷（-3）=?，

（-6）÷（-3）=?由于

（-2）×3=-6，因此，

（-6）÷3=-2.

②類似地，由于（-2）×（-3）=

6，由于

2×（-3）=-6，因此，

6÷（-3）=-2，

③因此，

（-6）÷（-3）=2.

④

從這些例子受到啟發(fā)，抽象出有理數(shù)的除法運(yùn)算；

對于兩個有理數(shù)a，b，其中b≠0，如果有一個有理數(shù)c，使得cb=a，那么規(guī)定a÷b=c，且把c叫作a除以b的商.結(jié)論同號兩數(shù)相除得正數(shù)，異號兩數(shù)相除得負(fù)數(shù)，并且把它們的絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0.有理數(shù)的除法是通過乘法來規(guī)定的，因此由①至④式可以得出：（+）÷（+）→（+）（-）÷（-）→（+）6÷

3=2

①(-6)÷3=-2

②6÷(-3)=-2

③(-6)÷(-3)=2④（-）÷（+）→（-）（+）÷（-）→（-）

例4

計(jì)算：

（1）（-24）÷4；（2）（-18）÷（-9）；（3）10÷（-5）.舉例解（1）（-24）÷

4=-

(24÷

4)根據(jù)除法法則(-24)和4為異號相除結(jié)果為負(fù)解（2）（-18）÷

（-9）=+(18÷

9)根據(jù)除法法則（-18）和(-9)為同號結(jié)果為正=-6=2解（3）10÷（-5）=-(10÷

5)根據(jù)除法法則10和(-5)為異號相除結(jié)果為負(fù)=-2

試問：10÷(-5)

還可以怎樣計(jì)算

？我們已經(jīng)知道10÷（-5）=-2，

所以⑤動腦筋又

由于，因此，我們把叫做-5的倒數(shù)，把-5叫做的倒數(shù).

一般地，如果兩個數(shù)的乘積等于1，那么把其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù)，也稱它們互為倒數(shù).0沒有倒數(shù).因此，⑤式表明10除以-5等于10乘-5的倒數(shù).⑤結(jié)論除以一個不等于零的數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù).一般地，有理數(shù)的除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，即也可以表示成

例5

計(jì)算：

（1）

；（2）；（3）.舉例解（1）=（-12）×3根據(jù)除法法則異號相乘，結(jié)果為負(fù)解（2）=根據(jù)除法法則異號相乘，結(jié)果為負(fù)

的倒數(shù)是3=-36=-35

的倒數(shù)是解（3）=根據(jù)除法法則同號相乘，結(jié)果為正=

的倒數(shù)是

1.計(jì)算：

（1）14÷(-7)；（2）(-36)÷(-3)；（3）0÷

(-0.618)；（4）(-48)÷12.

練習(xí)1.解（1）14÷

(-7)=-2；（2）(-36)÷(-3)=12；（4）(-48)÷12=-4.（3）0÷

(-0.618)=0；

2.填空：

（1）因?yàn)?/p>

×

=1，所以

的倒數(shù)是

；（2）的倒數(shù)是

；-3的倒數(shù)是

.-6-6

3.計(jì)算：

（1）

(-36)÷(-0.6)

；（2）

；（3）

；（4）

.

60-28

下面的算式含有乘、除兩種運(yùn)算，怎樣進(jìn)行有理數(shù)的乘、除混合運(yùn)算呢？議一議可以按從左到右的順序依次計(jì)算.也可以先將除法轉(zhuǎn)化為乘法.

例6

計(jì)算：（1）（-56）÷（-2）

÷（-8）；舉例（2）（-10）÷[（-5）×（-2）]；（3）（4）解（1）（-56）÷（-2）

÷（-8）=28

÷（-8）可以依次計(jì)算先算前兩個數(shù)異號相除，結(jié)果為負(fù)=（2）（-10）÷[（-5）×（-2）]；解=（-10）÷10先計(jì)算后兩個=-1解=（-30）

×（-3）可以依次計(jì)算先算前兩位數(shù)=90依次計(jì)算=0.8（3）（4）解

下面是小明同學(xué)做的一道計(jì)算題，他的計(jì)算是否正確？如果不正確，說說他錯在哪里.說一說不正確，應(yīng)該依次計(jì)算

計(jì)算器是日常生活中常用的一種現(xiàn)代計(jì)算工具，因此我們可以利用計(jì)算器來計(jì)算.

計(jì)算器有各種型號，型號不同，操作方法略有不同.下面我們以某種型號的計(jì)算器（圖1-17）為例介紹操作方法.

圖1-17某種電子計(jì)算器的面板示意圖舉例

例7

用計(jì)算器計(jì)算（精確到0.001）：

-1840×0.28÷(-375)再將結(jié)果四舍五入后就可以得到答案1.374.解

按照下列順序按鍵：

不同的計(jì)算器，操作方法可能有所不同.具體操作方法應(yīng)參看計(jì)算器的使用說明書.

1.計(jì)算：

（1）24÷(-3)÷(-4)

；（2）(-6)÷(-2)÷3；（3）2÷(-7)×(-4)；（4）18÷6×(-2).

練習(xí)1.解（1）24÷(-3)÷(-4)=-8÷(-4)=2；（2）(-6)÷(-2)÷3=3÷3=1；（3）2÷(-7)×(-4)=×(-4)

=；（4）18÷6×(-2)=3×(-2)=-6.

2.計(jì)算：

（1）；

（2）；（3）.3.用計(jì)算器計(jì)算：

1.26÷(-15)×80.-6.72中考試題例1

計(jì)算：（-100）×（-20）-（-3）.

本題中，先計(jì)算乘法，同號為正，再將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成加法.分析

原式=100×20+3=2000+3=2003.解中考試題例2

計(jì)算：

.有理數(shù)的除法法則兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.0除以任何非0的數(shù)都得0.除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，即a÷b=a·

（b≠0）.分析

原式=-11×（-13）×