一元二次方程知識點總結(jié)及相關(guān)練習題

7/6ll/6一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a豐0），它的特征是：等式左邊加一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。二、一元二次方程的解法1、直接開平方法:利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如（x+a）2二b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根,當b>0時，x+a=土"，x=_a土pb，當b<0時，方程沒有實數(shù)根。2、配方法:配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a2土2ab+b2二（a+b）2，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有x2土2bx+b2二（x土b）2。配方法的步驟：先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1，再同時加上1次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2+bx+c二0（a豐0）的求根公式：2a2a(b2一4ac>0)公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項的系數(shù)為a,—次項的系數(shù)為b，常數(shù)項的系數(shù)為c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式5、韋達定理利用韋達定理去了解，韋達定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a,二根之積=c/a也可以表示為xl+x2=-b/a,xlx2=c/a。利用韋達定理，可以求出一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用三、一元二次方程根的判別式根的判別式一元二次方程ax2+bx+c二0（a豐0）中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c二0（a豐0）的根的判別式，通常用“&”來表示，即A=b2-4acI當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根II當厶=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根；III當厶<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程ax2+bx+C-0（a豐°）的兩個實數(shù)根是％，X2，那么叫+X2也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。五、一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應(yīng)使二次項系數(shù)化為正數(shù)。直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數(shù)學知識時有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學方法之一，一定要掌握好。練習題：一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z1、若關(guān)于x的一元二次方程（m-l）x2+5x+m2-3m+2=0有一個根為0,則m的值等于（）A．1B.2C.1或2D.02、巴中日報訊：今年我市小春糧油再獲豐收，全市產(chǎn)量預(yù)計由前年的45萬噸提升到50萬噸，設(shè)從前年到今年我市的糧油產(chǎn)量年平均增長率為x,則可列方程為（）A.45+2x=50B.45（1+x）2二50c.50（1-x）2二45D.45（1+2x）二50ba3、已知a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2+nx-1=0的兩實數(shù)根，則一+〒的值是（）abA.n2+2B.-n2+2c.n2-2D.-n2-24、已知a、b、c分別是三角形的三邊，則（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情況是（）A?沒有實數(shù)根B?可能有且只有一個實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根5、已知m,n是方程x2一2x一1二0的兩根，且（7m2-14m+a）（3n2-6n一7）二8，則a的值等于（）A.－5B.5C.-9D.96、已知方程x2+bx+a=0有一個根是-a（a豐0），則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（）aA.abB.C.a+bD.a—bb7、x2-2x-2二0的一較小根為xi,下面對％的估計正確的是()A?一A?一2<Xi<TC.0<x1<1D.1<x<218、關(guān)于x的一元二次方程x2—mx+2m—1=0的兩個實數(shù)根分別是x、x,且12x2+x2=7，貝y(x—x)2的值是()1212A.1B.12C.13D.259、中江縣2011年初中畢業(yè)生診斷考試)某校九年級學生畢業(yè)時，每個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送了2450張相片，如果全班有x名學生，根據(jù)題意，列出方程為()A.x(x—1)=2450b.x(x+1)=2450C.2x(x+1)=2450d.x(x_?=245010、設(shè)a，b是方程x2+x—2009=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為()A.2006B.2007C.2008D.200911、對于一元二次方程ax2+bx+c=O(a#0)下列說法：若a+c=0,方程ax2+bx+c=0必有實數(shù)根；若b2+4ac<0，則方程ax2+bx+c=0一定有實數(shù)根；③若a-b+c=0，則方程ax2+bx+c=0一定有兩個不等實數(shù)根；TOC\o"1-5"\h\z④若方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根，則方程ex2+bx+a=0一定有兩個實數(shù)根.其中正確的是()A.①②B.①③C.②③D.①③④二、填空題1、若一元二次方程x2—(a+2)x+2a=0的兩個實數(shù)根分別是3、b,則a+b=.3、方程(x~l)(x+2)=2(x+2)的根是.ab24、關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a豐0)有兩個相等實根，求的值為(a-2)2+b2-45、在等腰△ABC中，三邊分別為a，b，c,其中a=5，若關(guān)于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個相等的實數(shù)根，則△ABC的周長為.6、已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x-k2=0(k為常數(shù)).設(shè)x，x為方程的兩個實數(shù)根，12且x+2x=14，則k的值為127、已知m、n是方程x2-2003x+2004=0的兩根，則(n2-2004n+2005)與(m2-2004m+2005)的積是.計算題k1、關(guān)于X的方程kx2+(k+2)x+T二0有兩個不相等的實數(shù)根.4求k的取值范圍。是否存在實數(shù)k,使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在,說明理由增長率問題：1、某房屋開發(fā)公司經(jīng)過幾年的不懈努力，開發(fā)建設(shè)住宅面積由2000年4萬平方米，到2002年的7萬平方米。設(shè)這兩年該房屋開發(fā)公司開發(fā)建設(shè)住宅面積的年平均增長率為x，則可列方程為；2、某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染.請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？3、2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累計確診病例人數(shù)如圖所示．在5月17日至5月21日這5天中，日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天？該天增加了多少人？在5月17日至5月21日這5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感確診病例多少人？如果接下來的5天中，繼續(xù)按這個平均數(shù)增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累計確診病例將會達到多少人？⑶甲型H1N1流感病毒的傳染性極強，某地因1人患了甲型H1N1流感沒有及時隔離治療，經(jīng)過兩天傳染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天傳染中平均一個人傳染了幾個人？如果按照這個傳染速度，再經(jīng)過5天的傳染后，這個地區(qū)一共將會有多少人患甲型H1N1流感？日本2009年5月16日至5月21日行程問題：1、甲、乙兩艘旅游客輪同時從臺灣省某港出發(fā)來廈門。甲沿直航線航行180海里到達廈門；乙沿原來航線繞道香港后來廈門，共航行了720海里，結(jié)果乙比甲晚20小時到達廈門。已知乙速比甲速每小時快6海里，求甲客輪的速度（其中兩客輪速度都大于16海里/小時）？2、為了開闊學生視野，某校組織學生從學校出發(fā)，步行6千米到科技展覽館參觀。返回時比去時每小題少走1千米，結(jié)果返回時比去時多用了半小時。求學生返回時步行的速度3、甲、乙兩個城市間的鐵路路程為1600公里，經(jīng)過技術(shù)改造，列車實施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小時，列車從甲城到乙城行駛時間減少4小時，這條鐵路在現(xiàn)有的安全條件下安全行駛速度不得超過140公里/小時.請你用學過的數(shù)學知識說明在這條鐵路現(xiàn)有的條件下列車還可以再次提速.經(jīng)濟問題：1、某商店以2400元購進某種盒裝茶葉，第一個月每盒按進價增加20%作為售價，售出50盒，第二個月每盒以低于進價5元作為售價，售完余下的茶葉．在整個買賣過程中盈利350元，求每盒茶葉的進價．2、黃岡百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元為了迎接“六?一”國際兒童節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝因應(yīng)降價多少元？3、某企業(yè)2006年盈利1500萬元，2008年克服全球金融危機的不利影響，仍實現(xiàn)盈利2160萬元．從2006年到2008年，如果該企