一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)練習(xí)題

7/6ll/6一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a豐0），它的特征是：等式左邊加一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。二、一元二次方程的解法1、直接開(kāi)平方法:利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。直接開(kāi)平方法適用于解形如（x+a）2二b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根,當(dāng)b>0時(shí)，x+a=土"，x=_a土pb，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。2、配方法:配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a2土2ab+b2二（a+b）2，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有x2土2bx+b2二（x土b）2。配方法的步驟：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，再同時(shí)加上1次項(xiàng)的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2+bx+c二0（a豐0）的求根公式：2a2a(b2一4ac>0)公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項(xiàng)的系數(shù)為a,—次項(xiàng)的系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式5、韋達(dá)定理利用韋達(dá)定理去了解，韋達(dá)定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a,二根之積=c/a也可以表示為xl+x2=-b/a,xlx2=c/a。利用韋達(dá)定理，可以求出一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用三、一元二次方程根的判別式根的判別式一元二次方程ax2+bx+c二0（a豐0）中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c二0（a豐0）的根的判別式，通常用“&”來(lái)表示，即A=b2-4acI當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根II當(dāng)厶=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；III當(dāng)厶<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程ax2+bx+C-0（a豐°）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是％，X2，那么叫+X2也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。五、一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫(xiě)成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。直接開(kāi)平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬(wàn)能法），在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。練習(xí)題：一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z1、若關(guān)于x的一元二次方程（m-l）x2+5x+m2-3m+2=0有一個(gè)根為0,則m的值等于（）A．1B.2C.1或2D.02、巴中日?qǐng)?bào)訊：今年我市小春糧油再獲豐收，全市產(chǎn)量預(yù)計(jì)由前年的45萬(wàn)噸提升到50萬(wàn)噸，設(shè)從前年到今年我市的糧油產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為x,則可列方程為（）A.45+2x=50B.45（1+x）2二50c.50（1-x）2二45D.45（1+2x）二50ba3、已知a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2+nx-1=0的兩實(shí)數(shù)根，則一+〒的值是（）abA.n2+2B.-n2+2c.n2-2D.-n2-24、已知a、b、c分別是三角形的三邊，則（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情況是（）A?沒(méi)有實(shí)數(shù)根B?可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5、已知m,n是方程x2一2x一1二0的兩根，且（7m2-14m+a）（3n2-6n一7）二8，則a的值等于（）A.－5B.5C.-9D.96、已知方程x2+bx+a=0有一個(gè)根是-a（a豐0），則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（）aA.abB.C.a+bD.a—bb7、x2-2x-2二0的一較小根為xi,下面對(duì)％的估計(jì)正確的是()A?一A?一2<Xi<TC.0<x1<1D.1<x<218、關(guān)于x的一元二次方程x2—mx+2m—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x、x,且12x2+x2=7，貝y(x—x)2的值是()1212A.1B.12C.13D.259、中江縣2011年初中畢業(yè)生診斷考試)某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送了2450張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為()A.x(x—1)=2450b.x(x+1)=2450C.2x(x+1)=2450d.x(x_?=245010、設(shè)a，b是方程x2+x—2009=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為()A.2006B.2007C.2008D.200911、對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=O(a#0)下列說(shuō)法：若a+c=0,方程ax2+bx+c=0必有實(shí)數(shù)根；若b2+4ac<0，則方程ax2+bx+c=0一定有實(shí)數(shù)根；③若a-b+c=0，則方程ax2+bx+c=0一定有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；TOC\o"1-5"\h\z④若方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則方程ex2+bx+a=0一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.其中正確的是()A.①②B.①③C.②③D.①③④二、填空題1、若一元二次方程x2—(a+2)x+2a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是3、b,則a+b=.3、方程(x~l)(x+2)=2(x+2)的根是.ab24、關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a豐0)有兩個(gè)相等實(shí)根，求的值為(a-2)2+b2-45、在等腰△ABC中，三邊分別為a，b，c,其中a=5，若關(guān)于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△ABC的周長(zhǎng)為.6、已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x-k2=0(k為常數(shù)).設(shè)x，x為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，12且x+2x=14，則k的值為127、已知m、n是方程x2-2003x+2004=0的兩根，則(n2-2004n+2005)與(m2-2004m+2005)的積是.計(jì)算題k1、關(guān)于X的方程kx2+(k+2)x+T二0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.4求k的取值范圍。是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在,說(shuō)明理由增長(zhǎng)率問(wèn)題：1、某房屋開(kāi)發(fā)公司經(jīng)過(guò)幾年的不懈努力，開(kāi)發(fā)建設(shè)住宅面積由2000年4萬(wàn)平方米，到2002年的7萬(wàn)平方米。設(shè)這兩年該房屋開(kāi)發(fā)公司開(kāi)發(fā)建設(shè)住宅面積的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為；2、某種電腦病毒傳播非?？欤绻慌_(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染.請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過(guò)700臺(tái)？3、2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累計(jì)確診病例人數(shù)如圖所示．在5月17日至5月21日這5天中，日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天？該天增加了多少人？在5月17日至5月21日這5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感確診病例多少人？如果接下來(lái)的5天中，繼續(xù)按這個(gè)平均數(shù)增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累計(jì)確診病例將會(huì)達(dá)到多少人？⑶甲型H1N1流感病毒的傳染性極強(qiáng)，某地因1人患了甲型H1N1流感沒(méi)有及時(shí)隔離治療，經(jīng)過(guò)兩天傳染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？如果按照這個(gè)傳染速度，再經(jīng)過(guò)5天的傳染后，這個(gè)地區(qū)一共將會(huì)有多少人患甲型H1N1流感？日本2009年5月16日至5月21日行程問(wèn)題：1、甲、乙兩艘旅游客輪同時(shí)從臺(tái)灣省某港出發(fā)來(lái)廈門。甲沿直航線航行180海里到達(dá)廈門；乙沿原來(lái)航線繞道香港后來(lái)廈門，共航行了720海里，結(jié)果乙比甲晚20小時(shí)到達(dá)廈門。已知乙速比甲速每小時(shí)快6海里，求甲客輪的速度（其中兩客輪速度都大于16海里/小時(shí)）？2、為了開(kāi)闊學(xué)生視野，某校組織學(xué)生從學(xué)校出發(fā)，步行6千米到科技展覽館參觀。返回時(shí)比去時(shí)每小題少走1千米，結(jié)果返回時(shí)比去時(shí)多用了半小時(shí)。求學(xué)生返回時(shí)步行的速度3、甲、乙兩個(gè)城市間的鐵路路程為1600公里，經(jīng)過(guò)技術(shù)改造，列車實(shí)施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小時(shí)，列車從甲城到乙城行駛時(shí)間減少4小時(shí)，這條鐵路在現(xiàn)有的安全條件下安全行駛速度不得超過(guò)140公里/小時(shí).請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明在這條鐵路現(xiàn)有的條件下列車還可以再次提速.經(jīng)濟(jì)問(wèn)題：1、某商店以2400元購(gòu)進(jìn)某種盒裝茶葉，第一個(gè)月每盒按進(jìn)價(jià)增加20%作為售價(jià)，售出50盒，第二個(gè)月每盒以低于進(jìn)價(jià)5元作為售價(jià)，售完余下的茶葉．在整個(gè)買賣過(guò)程中盈利350元，求每盒茶葉的進(jìn)價(jià)．2、黃岡百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂(lè)”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元為了迎接“六?一”國(guó)際兒童節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫(kù)存.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝因應(yīng)降價(jià)多少元？3、某企業(yè)2006年盈利1500萬(wàn)元，2008年克服全球金融危機(jī)的不利影響，仍實(shí)現(xiàn)盈利2160萬(wàn)元．從2006年到2008年，如果該企