上海中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題帶答案

word.word.2014年上海中學(xué)“創(chuàng)新素養(yǎng)培育項(xiàng)目”數(shù)學(xué)測(cè)試卷一、填空題(8X9=72)111

+—=—

ba+b111.已知aba+—=則一、填空題(8X9=72)111

+—=—

ba+b111.已知aba+—=則ab

4變式】+—=—

aba+b已知：變式】已知：11aba+bba+—=則abba則ab變式】已知：114+a2ba2+b，則變式】已知：丄+1=」b+田=\ab*a+b則7ab2?有個(gè)實(shí)數(shù)x，可以使得J】20-低為整數(shù).【變式】x為1,2,3,……，2014，使得J】00-長(zhǎng)為有理數(shù)的x有【變式】x為1,2,3,……，2014，使得伍為有理數(shù)的x有個(gè).【變式】有個(gè)整數(shù)x，可以使得J12°-2低為整數(shù).個(gè).3.如圖，在AABC中，AB=AC，CD=BF，BD=CE，用含ZA的式子表示ZEDF，應(yīng)為ZEDF=.D【變式】如圖，在等腰直角AABC中，ZA=900,AB=AC，CD=BF，BD=CE，則ZEDF=.D【變式】如圖，在等腰直角AABC中，ZA=900,AB=AC=1,D、E、F分別是邊

BC、CA、AB上的點(diǎn)，且CD=BF，BD=CE，則SADEF面積最大值為.y=x2+mx一m2(m>0)4.在在直角坐標(biāo)系中，拋物線4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若A、B兩點(diǎn)112到原點(diǎn)的距離分別為OA、OB，且滿足OBOA3，則m=.5?定圓A的半徑為72,動(dòng)圓B的半徑為r，丫V72且r是一個(gè)整數(shù)，動(dòng)圓B保持內(nèi)切于圓A且沿著圓A的圓周滾動(dòng)一周,若動(dòng)圓B開(kāi)始滾動(dòng)時(shí)切點(diǎn)與結(jié)束時(shí)的切點(diǎn)是同一點(diǎn)，則r共有個(gè)可能的值.6.學(xué)生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不滿，則學(xué)生共有人.7?對(duì)于各數(shù)互不相等的正整數(shù)組("1'"2''(n是不小于2的正整數(shù))，如果在iVj時(shí)有/\"i>"j，則稱《與"j是該數(shù)組的一個(gè)“逆序”，例如數(shù)組，2,3丄4丿中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”,“3,1”，其逆序數(shù)為4,現(xiàn)若各數(shù)互不相同的正整數(shù)組("1’""3"5,?)的逆序數(shù)為2,則

a丿a1的逆序數(shù)為(a,a,a,a,a,a丿a1的逆序數(shù)為6543211n10<<-8.若n為正整數(shù)，則使得關(guān)于x的不等式21x+n19有唯一整數(shù)解的n的最大值為.11n10<<-【變式】若“為正整數(shù)，則使得關(guān)于兀的不等式21x+n19有唯一整數(shù)解的n的最小值為二、選擇題(4X10=40)9.已知x2+ax-12能分解成兩個(gè)整系數(shù)的一次因式的積，則符合條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)為()A.3個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)10.如圖，D、E分別為AABC的底邊所在直線上的兩點(diǎn)，DB二EC，過(guò)A作直線1，作DM//BA交1于M，作EN//CA交1于N，設(shè)AABM面積為S1，AACN面積為S2，則()11.設(shè)P1，P11.設(shè)P1，P2,q1，q2為實(shí)數(shù),若方程，甲：P1P=2(q+q)12x2+px+q=011122232a=+++10072+,b1222=+--32+10072+12.設(shè)13520133572015，則以下四個(gè)選項(xiàng)中最接近a-b的整數(shù)為()A.252B.504?.C.1007D.2013???=x2+px+q=0m/、乙：22，則()A.甲必有實(shí)根，乙也必有實(shí)根C.甲、乙至少有一個(gè)有實(shí)根B.甲沒(méi)有實(shí)根，乙也沒(méi)有實(shí)根D.甲、乙是否總有一個(gè)有實(shí)根不能確定三、解答題(38分，13題18分，14題20分)13.直角三角形ABC和直角三角形ADC有公共斜邊AC(BD位于AC的兩側(cè))，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，且M、N不重合，線段MN與BD是否垂直？證明你的結(jié)論.若上BAC=300，ZCAD=45。,AC=4，求MN的長(zhǎng).14.是否存在m個(gè)不全相等的正數(shù)ai，a2，，am(m-7)，使得它們能全部被擺放在一個(gè)圓周上，每個(gè)數(shù)都等于其相鄰兩數(shù)的乘積？若存在，求出所有這樣的m值，若不存在，說(shuō)明理由.a+b=1n(a+b)2答案：1aba+b'ab二1,baa2+b2+—=abab(a+b)2-2ab(a+b)2ab-2=1-2=-1ab事實(shí)上，這道題是一道錯(cuò)題：a+b1nla+

a+b'ab件就錯(cuò)了，同樣結(jié)果也錯(cuò)了，-1ZA2.11,3.AEDF=90°2ab+(a+b)2>4ab，已知條4.2,5.11,6.44,7.13.8.220,9．C10.B,11C.12.B.13.(1)MN丄BD(2)a=x，14.【解析】設(shè)1一個(gè)周期為6的數(shù)列，=y，=1=——,x=——,y顯然是(1)當(dāng)m三0(mod6)(2)(3)(4)(5)a1

am=a2=a1?am?am-1xx=y?-yx1—=x?—〔yyx>0Iasa1、a當(dāng)m三1(mod6)ma1am當(dāng)m三2(mod6)當(dāng)m三3(mod6)當(dāng)m三4(mod6)=a?a2m=a?a1m-1=a?a2m=a?a1m-1a=a?as1、ama1

am2m=a?a1m-1=a2=a1?am?am-1x=y?xxnx=y=1x=x?-y與不全相等矛盾；X=y