2022屆湖南省鳳凰縣鳳凰皇倉中學高三最后一卷數(shù)學試卷含解析

2022年高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對所有都成立，則（）A． B． C． D．2．已知焦點為的拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，則當取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．3．已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，，，則，，滿足（）A． B． C． D．4．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．5．已知雙曲線：的焦點為，，且上點滿足，，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．56．函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．7．已知集合，，則A． B． C． D．8．若的展開式中含有常數(shù)項，且的最小值為，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（）A．2 B．5 C．1 D．310．將函數(shù)f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，給出下列關于g(x)的結(jié)論：①它的圖象關于直線x=對稱；②它的最小正周期為；③它的圖象關于點(，1)對稱；④它在[]上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④11．對于函數(shù)，定義滿足的實數(shù)為的不動點，設，其中且，若有且僅有一個不動點，則的取值范圍是（）A．或 B．C．或 D．12．是虛數(shù)單位，則（）A．1 B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在一底面半徑和高都是的圓柱形容器中盛滿小麥，有一粒帶麥銹病的種子混入了其中．現(xiàn)從中隨機取出的種子，則取出了帶麥銹病種子的概率是_____．14．我國古代數(shù)學名著《九章算術》對立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學用語可見，譬如“憋臑”意指四個面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖（圖中網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1）如圖所示，已知幾何體高為，則該幾何體外接球的表面積為__________．15．設，分別是橢圓C：（）的左、右焦點，直線l過交橢圓C于A，B兩點，交y軸于E點，若滿足，且，則橢圓C的離心率為______.16．若關于的不等式在時恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知（）過點，且當時，函數(shù)取得最大值1.（1）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)，求函數(shù)的表達式；（2）在（1）的條件下，函數(shù)，求在上的值域.18．（12分）已知兩數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的極值點；（2）當時，若恒成立，求的最大值．19．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數(shù)存在唯一的極大值點，且.20．（12分）設函數(shù).（1）求的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.21．（12分）已知函數(shù)，，設．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設方程（其中為常數(shù)）的兩根分別為，，證明：．（注：是的導函數(shù)）22．（10分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進而得出結(jié)論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因為,所以當且僅當時,取最大值,又對所有成立,所以,解得,故選:D.【點睛】本題綜合考查了隨機變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關知識,需要學生具備一定的計算能力,屬于中檔題.2．A【解析】

過作與準線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應最大，此時與拋物線相切，再用判別式或?qū)?shù)計算即可.【詳解】過作與準線垂直，垂足為，，則當取得最大值時，最大，此時與拋物線相切，易知此時直線的斜率存在，設切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，涉及到拋物線的定義，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.3．D【解析】

首先由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，再由，即可判定大小【詳解】因為偶函數(shù)在減，所以在上增，，，，∴.故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關系的傳遞，屬于中檔題.4．C【解析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.【詳解】故選C．【點睛】識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．5．D【解析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.6．A【解析】

由計算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】，，，因此，函數(shù)的值域為.故選：A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解，解答的關鍵就是求出對象角的取值范圍，考查計算能力，屬于基礎題.7．C【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,,故選C點睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類問題時要先將參與運算的集合化為最簡形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進行運算.8．C【解析】展開式的通項為，因為展開式中含有常數(shù)項，所以，即為整數(shù)，故n的最小值為1．所以.故選C點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).9．B【解析】

由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應用,考查學生分析問題的能力,難度較易.10．B【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求出函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)區(qū)間等相關性質(zhì)求解即可.【詳解】因為f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1，由圖象的平移變換公式知，函數(shù)g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期為，故②正確；令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是對稱軸，故①錯誤；令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函數(shù)g(x)的圖象關于點(，1)對稱，故③正確；令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④錯誤；故選：B【點睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和最小正周期等性質(zhì)；考查運算求解能力和整體代換思想；熟練掌握正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和最小正周期等相關性質(zhì)是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型11．C【解析】

根據(jù)不動點的定義，利用換底公式分離參數(shù)可得；構造函數(shù)，并討論的單調(diào)性與最值，畫出函數(shù)圖象，即可確定的取值范圍.【詳解】由得，.令，則，令，解得，所以當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，即最大值為，則的圖象如下圖所示：由有且僅有一個不動點，可得得或，解得或.故選：C【點睛】本題考查了函數(shù)新定義的應用，由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，分離參數(shù)法與構造函數(shù)方法的應用，屬于中檔題.12．C【解析】

由復數(shù)除法的運算法則求出，再由模長公式，即可求解.【詳解】由.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法和模，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

求解占圓柱形容器的的總?cè)莘e的比例求解即可.【詳解】解：由題意可得：取出了帶麥銹病種子的概率．故答案為：．【點睛】本題主要考查了體積類的幾何概型問題,屬于基礎題.14．【解析】三視圖還原如下圖：，由于每個面是直角，顯然外接球球心O在AC的中點.所以，，填。【點睛】三視圖還原，當出現(xiàn)三個尖點在一個位置時，我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個頂點的距離相等，而直角三角形斜邊上的中點到各頂點的距離相等，所以本題的球心為AC中點。15．【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，計算以及，然后根據(jù)橢圓的定義可得，并使用余弦定理以及，可得結(jié)果.【詳解】如圖由，所以由，所以又，則所以所以化簡可得：則故答案為：【點睛】本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用，關鍵在于根據(jù)角度求出線段的長度，考查分析能力以及計算能力，屬中檔題.16．【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式去掉對數(shù)符號，再依據(jù)分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化成求構造函數(shù)最值問題，進而求得的取值范圍。【詳解】由得，兩邊同除以，得到，，，設，，由函數(shù)在上遞減，所以，故實數(shù)的取值范圍是?！军c睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)；(2).【解析】

試題分析：(1)由題意可得函數(shù)f(x)的解析式為，則.(2)整理函數(shù)h(x)的解析式可得：，結(jié)合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的值域為.試題解析：(1)由函數(shù)取得最大值1，可得,函數(shù)過得，，∵，∴，.(2)，，，值域為.18．（1）唯一的極大值點1，無極小值點．（2）1【解析】

（1）求出導函數(shù)，求得的解，確定此解兩側(cè)導數(shù)值的正負，確定極值點；（2）問題可變形為恒成立，由導數(shù)求出函數(shù)的最小值，時，無最小值，因此只有，從而得出的不等關系，得出所求最大值．【詳解】解：（1）定義域為，當時，，令得，當所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有唯一的極大值點，無極小值點．（2）當時，．若恒成立，則恒成立，所以恒成立，令，則，由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以所以，所以，故的最大值為1．【點睛】本題考查用導數(shù)求函數(shù)極值，研究不等式恒成立問題．在求極值時，由確定的不一定是極值點，還需滿足在兩側(cè)的符號相反．不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這里分離參數(shù)法起關鍵作用．19．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導，可得（1），（1），結(jié)合已知切線方程即可求得，的值；（2）利用導數(shù)可得，，再構造新函數(shù)，利用導數(shù)求其最值即可得證．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，則（1），（1），故曲線在點，（1）處的切線方程為，又曲線在點，（1）處的切線方程為，，；（2）證明：由（1）知，，則，令，則，易知在單調(diào)遞減，又，（1），故存在，使得，且當時，，單調(diào)遞增，當，時，，單調(diào)遞減，由于，（1），（2），故存在，使得，且當時，，，單調(diào)遞增，當，時，，，單調(diào)遞減，故函數(shù)存在唯一的極大值點，且，即，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，由于，故（2），即，．【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查推理論證能力，屬于中檔題．20．（1）（2）的遞減區(qū)間為和【解析】

（1）化簡函數(shù)，代入，計算即可；（2）先利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合即可求出.【詳解】（1），從而.（2）令./r