82020河北中考數(shù)學(xué)分層刷題訓(xùn)練.數(shù)學(xué) 第7講 一元二次方程

8第7講一元二次方程河北中考怎么考河北中考怎么考(2019,河北)小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(aZ0)時(shí)，只抄對(duì)了a=l,b=4,解出其中一個(gè)根是x=—l.他核對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2,則原方程的根的情況是(A)不存在實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有一個(gè)根是x=—1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根【解析】把X1代入方程X2+4x+c-2=0，得c—5，則原方程為x2+4x+5—0,A二42-4X5<0,所以原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.(2016,河北)a,b,c為常數(shù)，且(a—c)2>a2+c2，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0根的情況是(B)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根無(wú)實(shí)數(shù)根有一根為0【解析】由(a-c)2>a2+c2得出-2ac>0，?仏—方2-4ac>0.?:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2015,河北)若關(guān)于x的方程x2+2x+a=0不存在實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是(B)A.a<1B.a>1C.aW1D.a三1【解析】???關(guān)于x的方程x2＋2x＋a—0不存在實(shí)數(shù)根，Ab2-4ac—22-4X1Xa<0.解得a>1.4.(2014,河北)嘉淇同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的求根公式時(shí)，對(duì)于b2—4ac>0的情況，她是這樣做的：由于aM0,方程ax2+bx+c=0變形為：…第一步bcx2十~x=—_,…第一步aax2+^x+2bx2+^x+2b2—4ac，…第三步4a2…第二步x+2a='"la""(x+2a='"la""(b2—4ac>0)，…第四步—b+i：b2—4acx=?…第五步=0(aM0)的求根公式是(——b±'Jb2——4acx=2a(2)用配方法解方程：x2—2x—24=0.)；2a(1)嘉淇的解法從第四步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤;事實(shí)上，當(dāng)b2—4ac>0時(shí)，方程ax2+bx+c解：⑴四x=蘭尹⑵移項(xiàng)，得x2-2x=24.配方，得x2—2x+l=24+l,即(x—1)2=25.開(kāi)方，得x—1=±5.??X]=6,兀2=—4.(S角三一元二次方程的解法例1(1)(2019，常德)解方程：x2—3x—2=0(2)(2019，無(wú)錫)解方程：x2—2x—5=0；⑶(2019，紹興)x為何值時(shí)，兩個(gè)代數(shù)式X2+1,4x+1的值相等?解：(1)Va=1，b=—3，c=—2,/.b2—4ac=(—3)2—4X1X(—2)=9+8=17.x=——b土寸x=——b土寸b2—4ac3土寸172a2.=3+吋巧??X]23—；x2=2⑵移項(xiàng)，得X2—2x=5.配方，得x2—2x+1=5+1，(x—1)2=6.由此可得x—1=±,'6.?x1=1+h.'6，x2=1—■'6.(3)由題意，得x2+1=4x+1.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x2—4x=0.因式分解，得x(x—4)=0.于是得x=0，或x—4=0.??兀1=0，兀2=4?針對(duì)訓(xùn)練1(2019,石家莊新華區(qū)質(zhì)檢)將一元二次方程x2—6x+5=0配方后，原方程變形為(D)A.(x—3)2=5B.(x—6)2=5C.(x—6)2=4D.(x—3)2=4【解析】移項(xiàng)，得x2_6x5?配方，得疋-6x+9=-5+9,(x-3)2=4.針對(duì)訓(xùn)練2解下列方程：x2—2x—1=0；x2—1=2(x+1)；x2+3x=—4.解：(1)a=1，b=—2，c=—1.△=b2—4ac=4+4=8>0.

???方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.?x==1土邁,——b±\''b2——4ac2±?x==1土邁,2a2即X]=1+冷2,x2=1-邊.⑵移項(xiàng)，得X2——1——2(x+1)=0.因式分解，得(x+1)(x——3)=0.于是得x+1=0,或X—3=0.??X]=—1,兀2=3?x+3)2x+3)2=2.(3)配方,得X2＋3X＋——M,3由此可得x+3=±V2.33?X]=——二2,x2=——2——S'2.角:二一元二次方程根的判別式例2(2019,保定二模)已知關(guān)于X的一元二次方程x2+(k-1)x+k-2=0.求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；若方程有一個(gè)根為正數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.(1)證明：J=(k-1)2-4(k-2)=k2-2k+1-4k+8=k2-6k+9=(k-3)2.?.?(k—3)2^0,?方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(2)解：x(2)解：x=—(k—1)土(k—3)2??兀1=一1,x?=2一k.??方程有一個(gè)根為正數(shù)，???2—k>0.解得k<2.針對(duì)訓(xùn)練3(2019，石家莊質(zhì)檢)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x-k=0.當(dāng)一6VkV0時(shí)，該方程解的情況是(D)A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.沒(méi)有實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.不能確定【解析】力二16+4k.當(dāng)-6<k<0時(shí)，不能確定/的正負(fù)，因此不能確定根的情況.針對(duì)訓(xùn)練4(2019，聊城)若關(guān)于x的一元二次方程(k—2)x2—2kx+k=6有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為(D)A.k20C.k三3【解析】A.k20C.k三3【解析】3D.k三二且k^2原方程化為一般形式為(k-2)x2-2kx+k-6=0方程有實(shí)數(shù)根，則△二(-2k)2-4(k-2)(k-6)二32k-4820,解得k現(xiàn)因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)k-2^0,即E,所以k的取值范圍為k23且kH2.〔匸反二：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用例3(2019，唐山路北區(qū)一模)某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由168元降為108元．已知兩次降價(jià)的百分率相同.設(shè)每次降價(jià)的百分率為X,根據(jù)題意列方程得(B)A.168(1+x)2=108B.168(1—x)2=108C.168(1—2x)=108D.168(1—x2)=108【解析】原價(jià)為168元，降價(jià)一次為168(1-x)元，在此基礎(chǔ)上再降價(jià)一次為168(1-x)2元，就是108元.針對(duì)訓(xùn)練5(2019,新疆)在某籃球邀請(qǐng)賽中,參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng),共比賽36場(chǎng)?設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為(A)A.2x(x-1)=36B.2x(x+1)=36C.xG-1)=36D.x(x+1)=36【解析】有x個(gè)隊(duì)參賽，每隊(duì)參加(x-1)場(chǎng)比賽，這樣每場(chǎng)比賽就算了兩次，因此可列方程1x(x-1)二36.針對(duì)訓(xùn)練6(2019，徐州)如圖，有一塊矩形硬紙板，長(zhǎng)30cm,寬20cm.在其四角各剪去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出的小矩形部分折起，可制成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子．當(dāng)解：設(shè)剪去正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則做成無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為(30—2x)cm，寬為(20—2x)cm，高為xcm.依題意，得2X[(30—2x)+(20—2x)]x=200.解得x1=2，工2=10.當(dāng)x=10時(shí)，20—2x=0，不合題意，舍去.答：當(dāng)剪去正方形的邊長(zhǎng)為2cm時(shí)，所得長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積為200cm2.中考者場(chǎng)賣戰(zhàn)誡練、選擇題(2019，甘肅)若一元二次方程x2-2kx+k2=0的一個(gè)根為x=-1,則k的值為(A)A.－1B.0C.1或－1D.2或0【解析】把x=-1代入原方程，得k=-1.(2019，濱州)用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0時(shí)，下列變形正確的是(D)A.(x-2)2=1B.(x-2)2=5C.(x+2)2=3D.(x-2)2=3【解析］移項(xiàng)，得x2_4x―-1-配方，得x2-4x+4二-1+4,(x-2)2—3.(2019,保定競(jìng)秀區(qū)質(zhì)檢)下列方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是(B)A.x2-6x＋9=0B.x2-2x＋3=0C.x2-x=0D.(x＋2)(x-1)=0【解析】分別算出每個(gè)方程的根的判別式的值，只有選項(xiàng)B的力<0.(2019，鹽城)關(guān)于x的一元二次方程x2-kx-2=0(k為實(shí)數(shù))根的情況是(A)A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.不能確定【解析】*.*J—(-k)2-4X1X(-2)—k2+8>0，?:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?(2019，淮安)若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是(B)A.kV—1B.k>—1C.k<1D.k>1【解析】方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則/—22-4X1X(-Q—4+4k>0.解得k>-1.(2019,石家莊43中質(zhì)檢)已知關(guān)于x的一元二次方程2x2—kx+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為(B)A.+\'6B.±2<6C.2或3D.<2或V3【解析】方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則J—k2-4X2X3—k2-24—0?解得k二±2?(2019,自貢)關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(D)A.m<1B.m三1C.mW1D.m>1【解析】方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則J—4-4mv0.解得m>1.(2019，寧波)能說(shuō)明命題“關(guān)于x的方程x2-4x+m=0一定有實(shí)數(shù)根”是假命題的反例為(D)A.m=-1B.m=0C.m=4D.m=5【解析】方程有實(shí)數(shù)根的條件是J—16-4m^0，解得mW4.所以當(dāng)m—5時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可以作為該命題是假命題的反例.(2019，哈爾濱)某商品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，售價(jià)由原來(lái)的每件25元降到每件16元，則平均每次降價(jià)的百分率為(A)A.20%B.40%C.18%D.36%【解析】設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x.由題意，得25(1-x)2—16?解得x1—1(舍去),x2—丄二20%.5

11.(2019,廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū))揚(yáng)帆中學(xué)有一塊長(zhǎng)30m、寬20m的矩形空地，計(jì)劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，小禹同學(xué)的設(shè)計(jì)方案如圖所示，求花帶的寬度．設(shè)花帶的寬度為xm,的寬度為xm,貝9可列方程為(D)第11題圖A.(30A.(30-x)(20-x)=4X20X30B.(30-2x)(20-x)=4X20X30C.30xC.30x+2X20x=|x20X30D.(30-2x)(20-x)=4X20X30【解析】新空地是矩形，長(zhǎng)是(30-2x)m,寬是(20-x)m題中等量關(guān)系是種花之后的新空地面積是原來(lái)的4,由此可得方程.12.某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，貝這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是(C)A.4B.5C.6D.7【解析】設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支?依題意，得1+x+x2二43.解得xi=-7(舍去),x2二6.二、填空題(2019，揚(yáng)州)一元二次方程x(x-2)=x-2的根是x±=2,x2=1?【解析】移項(xiàng)，得x(x-2)-(x-2)=0.因式分解，得(x-2)(x-1)=0.于是得x-2=0,或x-1=0.所以x1=2,x2二1.(2019，南京)已知2+岳是關(guān)于x的方程x2-4x+m=0的一個(gè)根，則m=1.【解析】把x二2+V3代入方程，可解得m二1.(2019，連云港)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則1+c的值為【解析】方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則八22-4a(2-c)二0?該等式可變形為1+C二2.a16.(2019，棗莊)已知關(guān)于x的方程ax2+2x-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是(a>-*且aM0).【解析】由關(guān)于x的方程ax2+2x-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得aH0,且J=b2-4ac—4+12a>0?解得a>-1且aH0.17.(2019，宜賓)某產(chǎn)品每件的生產(chǎn)成本為50元，原定銷售價(jià)為65元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，從現(xiàn)在開(kāi)始的第一季度銷售價(jià)格將下降10%，第二季度又將回升5%.若要使半年以后的銷售利潤(rùn)不變，設(shè)平均每個(gè)季度降低成本的百分率為X,根據(jù)題意可列方程是65X(1—10%)X(1+5%)—50(1—x)2=65—50.【解析】半年后的銷售價(jià)為65X(1-10%)X(1+5%)元，成本為50(1-x)2元，兩者之差等于原來(lái)的銷售價(jià)與成本之差．三、解答題(2019,北京)關(guān)于x的方程X2—2x+2m—1=0有實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時(shí)方程的根．解：?.?x2—2x+2m—1=0有實(shí)數(shù)根，.??△三0,即(一2)2—4(2m—1)三0.解得mW1.'：m為正整數(shù)，?：m=1.故此時(shí)關(guān)于x的方程為X2—2x+1=0，即(x—1)2=0..x1=x2=(2019，保定蓮池區(qū)一模)(2019，保定蓮池區(qū)一模)若關(guān)于X的一元二次方程ax2+2x—5=0的兩根中有且僅有一個(gè)根在0和1之間(不含0和1)，則a的取值范圍是(B)A.a<3B.a>3C.a<—3D.a>_3【解析】若方程只有一個(gè)根在0和1之間，則當(dāng)x二0與x二1時(shí)，ax2+2x-5的值的符號(hào)應(yīng)該相異.因?yàn)閤二0時(shí)，ax2+2x-5=-5<0，所以x二1時(shí)，ax2+2x-5=a+2-5>0.解得a>3.(2019,十堰)對(duì)于實(shí)數(shù)a，b,定義運(yùn)算“◎"如下:a?b=(a+b)2—(a—b)2.若(m+2)^(m—3)=24，則m=—3或4.【解析】根據(jù)題意，得[(m+2)+(m-3)]2-[(m+2)-(m-3)]2—24.解得化二-3,二4.(2019，衡陽(yáng))關(guān)于x的一元二次方程x2—3x+k=0有實(shí)數(shù)根.(1)求k