談解析幾何定點(diǎn)定值問(wèn)題的解題策略（崔志榮）-課件

談解析幾何定點(diǎn)定值問(wèn)題的

解題策略東臺(tái)市安豐中學(xué)崔志榮一、考情分析1.江蘇卷自2013年起一直未考查定點(diǎn)定值問(wèn)題；2.全國(guó)卷定點(diǎn)定值問(wèn)題的考查具有不確定性。（1）年份不確定，如2018年未考查。（2）卷類不確定，如2020年山東卷、Ⅰ卷考查；Ⅱ卷、Ⅲ卷未考查。3.這一類問(wèn)題能很好地體現(xiàn)解析幾何的本質(zhì)，還能綜合考查學(xué)生的運(yùn)算處理、轉(zhuǎn)化化歸、圖形分析、推理論證等能力，對(duì)熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力要求較高。策略一：先猜后證猜從特殊情形、極限狀態(tài)、圖形的對(duì)稱性等方面入手猜測(cè)結(jié)論；證分析法（說(shuō)明：可作為證明方法，也可作為尋找證明方法的手段）例1：已知A，B是橢圓的左右頂點(diǎn)，直線MN過(guò)點(diǎn)C（1,0）交橢圓與M，N兩點(diǎn)，記直線AM、BN的斜率分別為k1、k2，求證：k1/

k2為定值.

設(shè)M（x1,y1），N（x2,y2）當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN：y=k（x-1）與橢圓聯(lián)立得韋達(dá)定理，又k1/

k2？

NMABxyC事實(shí)上，可先討論斜率不存在這種情況，得k1/

k2

再用分析法證明，要證：k1/

k2，即要證：，

即證：，韋達(dá)定理代入即可證明。小結(jié)：1.設(shè)直線方程通常先考慮特殊情況，再證明這個(gè)點(diǎn)（值）與變量無(wú)關(guān)，可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的證明題，從而找到解決問(wèn)題的突破口；2.分析法是不少證明問(wèn)題的有效方法，對(duì)一些定點(diǎn)定值問(wèn)題的證明也行之有效，能達(dá)到事半功倍的效果。例2：已知橢圓C：上一點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),類似例1設(shè)直線MN方程與橢圓聯(lián)立，由垂直得：

？

NMxAyD能不能特殊化先得Q點(diǎn)？１.直線ＭＮ斜率為０，可得；２.直線ＭＮ斜率不存在，可得；３.當(dāng)點(diǎn)Ｎ無(wú)限接近點(diǎn)Ａ，此時(shí)點(diǎn)Ｄ接近點(diǎn)Ａ，即；由此可得，推理分析

要DQ為定值，考慮AD垂直于MN，連AQ交MN于E，只需Q為AE中點(diǎn)即可。此時(shí)，這說(shuō)明直線MN過(guò)定點(diǎn)E，即，所以含有因式。其實(shí)，若直線MN過(guò)點(diǎn)A，“也滿足AM垂直于AN”，的另一個(gè)因式這就完成了因式分解，再結(jié)合上述分析，則能順利完成解答。

小結(jié)：1.特殊化的猜想策略都熟悉，但到具體問(wèn)題中未必能用，加強(qiáng)教學(xué)引導(dǎo)仍有必要；2.定點(diǎn)定值猜想出之后，不一定要用分析法寫(xiě)過(guò)程，但學(xué)生的推理分析能力，還要在教學(xué)中逐步提升。策略二：對(duì)稱分析例3：已知A，B分別為橢圓E：的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)。P為直線x＝6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D。證明：直線CD過(guò)定點(diǎn)。本題思路方法簡(jiǎn)單，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出C，

D兩點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程的化簡(jiǎn)得定點(diǎn)。難在直線CD方程的化簡(jiǎn)。

設(shè)，則，

要避免運(yùn)算的繁雜。一：可以考慮先猜后證的手段；二：除考慮特殊情況外，還可從圖形的對(duì)稱性入手，若存在定點(diǎn)，定點(diǎn)一定在x上。設(shè)定點(diǎn)M（m，0），則由，所以，求出m即可。小結(jié)：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，仔細(xì)分析圖中的點(diǎn)線位置關(guān)系，善于把握問(wèn)題的特定信息，挖掘隱含條件（如對(duì)稱性、特殊性、很多情況是定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上等）然后證明，目標(biāo)會(huì)更明確。策略三：直覺(jué)分析

例4：設(shè)A，B是橢圓C：上兩動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)P滿足，是否在常數(shù)和平面內(nèi)兩定點(diǎn)M、N，使得點(diǎn)P滿足？

直覺(jué)可知，點(diǎn)P存在，且點(diǎn)P所在橢圓與橢圓C相似，也即離心率相等。設(shè)A（x1,y1),B（x2,y2),則P(x1＋x2，y1＋y2)，所以再由和為18，可得結(jié)論。小結(jié)：

命題者絞盡腦汁發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，而后命制的考題，我們雖不能立即看透其本質(zhì)，但有些情況，結(jié)論是顯然的，只要我們大膽預(yù)