新高考 核心考點與題型 概率 第3講 離散型隨機變量及其分布列 - 解析

第3節(jié)

離散型隨變量及其分列【情向析以理解離散型隨機變量及其分布列的概念為主，經(jīng)常以頻率分布直方圖為載體，結(jié)合頻率與概，考查離散型隨機變量、離散型隨機變量分布列的求法．在高考中以解答題的形式進行考查，難度多為低知識梳理1.離型隨機變量日，像樣的變量稱為隨機變量；所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變.如判斷離散型隨機變量的方法(明隨機試驗的所有可能結(jié)果；(2)將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化；確定試驗結(jié)果所對應(yīng)的實數(shù)是否可以一一列出，如能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否不是．2.離型隨機變量的分布列及性(1)一般，若離散型隨機變量X可取的不同值為xx…xxX取一個值x(＝12，12inin)的概率P＝)＝，則表iiX

x1

x2

…

xi

…

xnP

p1

p2

…

pi

…

p

n稱為離散型隨機變量X的概率分布.(2)離散隨機變量的分布列的性質(zhì)①≥0(＝，，，)①＋＋＋＝i12n3.常離散型隨機變量的分布列(1)兩點布：若隨機變量X服從兩點分布，要么成功要么不成功其布列為，XP

01－

1p其中＝X＝稱成功概率，(2)超幾分布：3X第1頁共9頁

MM55101055555551010555MM551010555555510105553X在含有M件品件品中，任取nknk件其恰有件次品則PX＝＝k＝1m其＝Mn且nNMNCnNn，N①N，隨機變服超何分布XP

0Cn0MNMCN

1CCn1MNCN

……

mCnmMNMCN考點一離散型隨機變量分布列的性質(zhì)k【例】設(shè)隨變量X的布列為P＝＝(k，，，，31(1)求a值求x≥；求P<X≤.解

(1)

124X＝＋＝＋X＝＋X＝＋(＝1)＝＋2＋3＋4＋5＝1，所以a＝.15334111(2)P≥＝X＝＋＝＋(＝＝3×＋＋＝.1515155(3)P

113132<X≤＝＝＋X＋＝＝＋＋＝1515155規(guī)方

分布列性質(zhì)的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之為1可參數(shù)的值及檢查分布列的正確性.(2)隨機變量

所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概【變式】隨變量X的分布列如：XP

－a

0b

1c其中，，成差數(shù)列，則PX＝，差取值范圍是_______.12解析因為ac成等差數(shù)列，所2b＝a＋c又a＋＋c＝，以b，所P＝＝＋＝.又a3311121211＝－，＝＋，據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤－≤，＋，所以－≤d.33333333考點二超幾何分布的應(yīng)用

典例遷移【例】(經(jīng)母)(2017·山東卷改編在理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的第2頁共9頁

1811664646464646464646464646466影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作現(xiàn)名志愿者A，1811664646464646464646464646466A，，，，和4女志愿者B，，，，從中隨機抽取5人受甲種心理暗示，另5人接受234561234乙種心理暗示(1)求接甲種心理暗示的志愿者中包含A但包含B的率；11(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)求的分布列.解

C5(1)記接受甲種心理暗示的志愿中包含A但包含B的件為M則M＝＝.51810(2)由題知可的值為，，，，，C1CC153210CC35C1C41P(X0)＝＝，(＝＝＝，(＝＝，(＝＝＝，(＝＝＝.C42C521C521C521C4210101010因此X的分布列為XP

0142

1521

21021

3521

4142【遷移探究1】用X示接受乙種心理暗示的男志愿者人數(shù)，求X的布.解

由題意可知X的值為1，，，，，C41C2C353C10C4C55P(X1)＝＝，(＝＝＝，(＝＝＝，(＝＝，(＝5)＝.C542C21521521C42101010因此X的分布列為XP

1142

2521

31021

4521

5142【遷移探究2】用X示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)與男志愿者人數(shù)之差，求X的分布.解

由題意知X取的值為，，－，－，－，C11C3252C310C45則PX＝＝＝，X1)＝＝，(＝－1)＝，(＝3)＝＝，C542C521C2121101010CP(X－＝，因此的布列為C4210XP

3142

1521

－1021

－521

－142規(guī)律方法1.超幾何分布描述的是不放回抽問題，隨機變量為抽到的某類個體的個.超幾何分布的特征：(1)考察對象分兩類(2)已知各對象的個數(shù)(3)中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概.第3頁共9頁

的概率分布

433344【變式】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別21616.現(xiàn)用分層抽樣的方法從抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查433344(1)應(yīng)從、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽的人有人眠不足3人眠充足，現(xiàn)從這7人隨機抽3人做進一步的身體檢.①X表抽取的3人睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量的分布列；①A為“取的3中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員，求事件發(fā)的概率解

(1)由題意得，甲、乙、丙三個門的員工人數(shù)之比為①2，于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，人，人C3(2)①隨機量的有可能取值為0，，，PX＝)＝(＝，1，，3).C7CC2C12C4112418則PX＝＝＝，X1)＝＝，(X＝＝＝，則＝＝－－－＝，C35C33533535353535777所以，隨機變量的布列為XP

0135

11235

21835

3435①事件為抽取的3中充足的員工有1人不的員工有2人”為抽取的3人，睡眠充足的員工有人睡眠不的員工有人，A＝①，與C互斥由①知，()＝(＝，66P(C＝(＝1)，P()＝(①)＝X＋PX＝＝.以，事件發(fā)的概率為77考三

求散隨變的布【例】創(chuàng)建國家級文明城市某城市號召出租車司機在高考期間至少進行一愛心送”該城市某出租車公司共200名機，他們進“愛心送”的次數(shù)統(tǒng)計如圖.(1)求該租車公司的司機進愛心送考的均次數(shù)；(2)從這200司機中任選兩人，設(shè)這兩人進行送考次數(shù)之差的絕對值為隨機變量X，的分布.解

(1)由統(tǒng)計圖得200名機中送的有20人送考的有100人送考3次有80人，＋100×2＋①出租車公司的司機進行“愛心送考”的人均次數(shù)＝2.3.200(2)從該司任選兩名司機，這兩人中一人送考1次另一人送考2次為事件A這兩人中一人送考2第4頁共9頁

201002020100802323232次，另一人送考次為事件B，這兩人中一人送考次另人送考次為事件C，“這兩人送考次數(shù)相同為事件D，題意知X的所有可能取值為，，201002020100802323232CCC1100CC16P(X1)＝()(＝＋＝，(＝＝()＝＝，CC1992199200C＋C＋283P(X0)＝(＝＝，C199200①的布列為XP

083199

1100199

216199規(guī)律方法求機變量分布列的要步驟明隨機變量的取值確定隨機變量服從何種概率分布；(2)求每一個隨機變量取值的概；(3)成表格對于抽樣問題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別，一般地，不放回抽樣由排列數(shù)公式求隨機變量對應(yīng)的概率，放回抽樣由分步乘法計數(shù)原理求隨機變對應(yīng)的概率【變式】已件次品和3件品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件品或者檢測出件品時檢測結(jié)束(1)求第次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知檢測一件產(chǎn)品需要費用100元X表直到檢測出2件品或者檢測出3件品時所需要的檢測費用單：，的布列解

1A13(1)記第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正”為事件A，(＝＝.21052(2)X的可能取值為，，PX＝＝A5

1A＋1C3＝，(X＝＝＝，10A3105133P(X400)＝－(＝－(＝＝－－＝.的布為10105XP

200110

300310

40035第5頁共9頁

3434基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時40分鐘一、選擇題1.袋有3個球5個球，從中任取兩個，可以作為隨機變量的()A.至取1個球C.取白球的個數(shù)

B.多取到1白球D.取的的個數(shù)解析選項A，表述的都是隨機事件，選項D是確定的值2，并不隨機；選項是隨機變量，可能取值為0，，答C2.某手射擊所得環(huán)數(shù)X的布列為XP

40.02

50.04

60.06

70.09

80.28

90.29

100.22則此射手射一次命中環(huán)數(shù)大7的概率()A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51解析P(＞＝(X＝＋(X＝＋(X＝＋0.29＋0.79.3.袋裝有10個球個球每隨機抽取1個后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止若取的次數(shù)為ξ，表示“放回個紅事的()A.＝B.＝C.＝6D.ξ≤5解析“放回5個球表示前次摸到黑球，第六次摸到紅球，故＝4.從有3個球4個球的箱子中，隨機取出了3個球，恰好是2個球1個球的概率是)4A.35

6B.35

12C.35

36D.343C1解析如果將白球視為合格品球為不合格品這是一個超幾何分布問題所概率為P＝＝C37第6頁共9頁

42143452443433124214345244343335

.答C5.從4名生和名生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量表示所選人女生的人數(shù)，則P≤1)等于()123A.B.C.555C24解析P(ξ＝－ξ＝＝－＝.答案DC36二、填空題6.若散型隨機變量的分布列為X

0

1

4D.5P

92

－

3－c則常數(shù)的為_______.c≥0，解析根據(jù)離散型隨機變量分布的性質(zhì)，得＝.3c＋－c＝，7.袋有只球3只黑球，從袋中任取4只球，取到只紅球得1分取到1只球得3分設(shè)得分為隨機變量ξ則(ξ≤6)＝31C413解析P(ξ＝(取到3只球只＋取到只球＝＋＝.C4435778.甲乙兩隊在一次對抗賽的某輪中有3個答題，比賽規(guī)定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得分，搶到題并回答正確的得1分搶到題但回答錯誤的扣1分即－分；若X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分分數(shù)高者，的有能取值是_______.解析X－，甲搶到一題但答錯.X＝，沒搶到題，甲搶到2題，但答時一對一.X＝時，甲搶到1題且答對或甲搶到3題且1錯2對＝時甲搶到2題答對＝時甲搶到3題答答案－，，，，三、解答題9.)外語學(xué)校的一個社團中有7名學(xué)，其中人會法語，2人只會英語，人會法語又會英語，現(xiàn)選派3人法國的學(xué)校交流訪問(1)在選的人恰有2人法語的概率；在選派的人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列解

214(1)設(shè)事件A選派的三人中恰有2人法語，則A)＝＝.C377(2)依題知的值為，，，，C4211812123P(X0)＝＝，(＝＝＝，(＝＝，(＝＝＝，C35C35C3353357777第7頁共9頁

nn441221mmmnnm①的布列為nn441221mmmnnmXP

0435

11835

21235

313510.有編號為1，，，，的學(xué)生，入坐編號為123…，的n個位，每個學(xué)生規(guī)坐一個座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為X，知X＝時，共有6種.(1)求n值求隨機變量X的率分布.解

n（－）(1)因為當(dāng)X2時有C種法，所以2＝6，即＝，2n2

－－＝，得n＝或n3(去，所以n＝(2)因為生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為X由題意知的可能取值是，23，，112×1613×2811113所以PX＝＝＝，(＝2)＝＝＝，X＝＝＝＝，(＝＝－－－＝，A24A244A2432443444所以X的概率分布列為：XP

0124

214

313

438能力提升題組(建議用時20分鐘若(ξx＝－，(≥x＝1－，其中xx，則(ξ≤)等于()211212－)(1β)C.1－(1－)

B.1(＋)D.1－－)解析由分布列的性質(zhì)得P(ξx＝(ξx)＋(ξ≥)＝－)＋－－＝－＋).答案B12.一只袋內(nèi)裝有m個球，－個球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設(shè)此時取出（－）2X個球，下列概率等于的是()3nA.P＝C.PX≤3)

B.PXD.PX＝解析當(dāng)＝，即前2個拿出的是白球，第個黑球，前2個拿出白球，有2種法再任意拿出1個黑球即可，有1n

m

種取法，而在這3次球中可以認為按順序排列，此排列順序即可認為是依次拿出2C的球的順序，即A3，X＝2)＝3n答案D

m

（－）2＝.3n第8頁共9頁

34446444646446413.口袋中有5只，編號為1，，45，從中任取只球，以X表取出的球的最大號碼，則X的布列為_______.34446444646446412C