基于高考全國卷的空間角和距離求解策略 課件

基于高考全國卷的空間角和距離求解策略揚州大學(xué)附屬中學(xué)高建國1.導(dǎo)語立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識，承載著培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的育人功能。立體幾何的知識呈現(xiàn)是從認(rèn)識多面體與旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，聚焦點、直線、平面的位置關(guān)系，落腳在點、線、面位置關(guān)系的判定、空間角與距離的計算以及表面積和體積的計算．1.1立體幾何學(xué)業(yè)水平一要求

內(nèi)容包括：基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系。

本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生以長方體為載體，認(rèn)識和理解空間點、直線、平面的位置關(guān)系；用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對某些結(jié)論進(jìn)行論證；了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；運用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念。

1.2立體幾何學(xué)業(yè)水平二要求

能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法，借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，解決實際問題成數(shù)學(xué)問題；能夠針對運算問題，合理選擇運算方法、設(shè)計運算程序，運算求解。

本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生體會平面向量和空間向量的共性和差異，運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異，運用向量方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具?？臻g角和距離是最基本的兩個幾何量,空間圖形中各元素間的位置關(guān)系都可以用這兩個幾何量來定量描述.因此,有關(guān)空間角和距離的計算,是立體幾何的一類重要問題,是歷年來高考考查的重點。

1.3空間角和距離綜合法——作圖、證明、解三角形；

向量法——建系，求坐標(biāo)，向量運算。綜合法——少算多想，直觀想象素養(yǎng)要求高；

向量法——多算少想，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)要求高。2.異面直線所成角

異面直線所成角是空間角中相對容易的一種類型，全國卷中異面直線所成角的考查不多見，難度中等。2.1異面直線所成角的求解方法方法綜合法平移法中位線平移法補形法向量法2.2解決關(guān)鍵——妙選點、作平（行）線平移法補形法補形法，則凸顯了對基本圖形的深刻理解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想和意識。2.3教學(xué)啟示立體幾何的教學(xué)要以特殊模型為載體，注重核心素養(yǎng)的滲透，在直觀想象素養(yǎng)方面下功夫。通過多角度的變式探究，幫助學(xué)生體會并挖掘問題的本質(zhì)，強化幾何體的切割與補體思想，在切與補的過程中感悟幾何體間的邏輯聯(lián)系．2.線面角

線面角的難度介于異面直線所成角與二面角之間，全國卷中線面角的考查比較普遍。線面角的考查遵循了由“能力立意”轉(zhuǎn)為“素養(yǎng)立意”的大勢所趨，命題者正在不斷地探索試題如何體現(xiàn)“素養(yǎng)立意”2.1線面角的考查趨勢——從能力走向素養(yǎng)2.2線面角的求解方法線面角求法綜合法斜線與射影所成角點面距與斜線長比值向量法研究方向向量與法向量所成角2.3線面角的求解注意點——兩條腿走路向量法綜合法2.4教學(xué)啟示以素養(yǎng)立意命制的題目,思維的含金量一定會更高一些,題目的入口也會更窄一些.高考命題的方向“多考一點想,少考一點算”。立體幾何綜合題“空間想象”是起點,而“分析解決”是落腳點.立幾教學(xué)時要關(guān)注兩點:一是要發(fā)展幾何直觀與空間想象能力,建立數(shù)與形的聯(lián)系;二是能通過分析與想象,思考和解決具體問題,在具體事物中感悟事物的本質(zhì).3.二面角全國卷中二面角的考查最為普遍，難度最大。二面角處理方法的不同，對應(yīng)邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的水平不盡相同．若用綜合法，則凸顯直觀想象素養(yǎng)；若用建立空間直角坐標(biāo)系的代數(shù)法，則凸顯數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，若兩者結(jié)合，則可以全面考察學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平．3.1二面角——向量法3.2二面角——綜合法3.3二面角——向量法與綜合法綜合3.4二面角教學(xué)的注意點二面角的考查經(jīng)典的體現(xiàn)了“考知識，重推理，注運算，顯素養(yǎng)”的命題原則，全國卷中二面角的求法主要是向量法，但這并不意味著只需要一味的機械訓(xùn)練向量法，綜合法同等重要！用綜合法解決二面角問題可以有效培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與邏輯推理能力，這對于解決立幾復(fù)雜問題顯得尤為重要。要幫助學(xué)生多角度,多方位思考、訓(xùn)練。3.5二面角的復(fù)習(xí)策略1、滲透二面角綜合法的各種解決方法，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)。三垂線法定義法射影面積法基向量法垂面法3.5二面角的復(fù)習(xí)策略2、重視向量法的過程性教學(xué)，提高數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平。向量法的前提是求對坐標(biāo)向量法的核心價值是向量的運算向量法的關(guān)鍵是要算對、快算，巧算3.5二面角的復(fù)習(xí)策略3、重視“基本圖形”的作用，循序漸進(jìn)地發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

重視基本圖形的作用，立足從“基本圖形”到“變式圖形”再到“綜合圖形”，尤其要特別關(guān)注長方體這一最基本的立體圖形；重視“三種語言”—文字語言、符號語言、圖形語言之間的靈活轉(zhuǎn)換．文字語言有助于記憶，符號語言有助于推理過程的正確書寫，圖形語言有助于從復(fù)雜問題情境中提取定理的基本模型，從而發(fā)展邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．4.距離空間距離包括點面距、線面距、面面距、異面直線間距離等問題，全國卷主要考查點面距離的求法，考查形式主要是以求體積的形式考查，涉及距離求法時難度不大，但距離本身所在的題目難度有難有易。4.1直接考查距離的求法圖要自己畫4.1直接考查距離的求法定義法向量法還可以用等積法4.2距離的間接考法——求體積幾何體的高——點面距4.2距離的間接考法——求體積距離、體積、函數(shù)綜合，導(dǎo)數(shù)是重點4.3距離教學(xué)的注意點距離很多種，點面距是重點。定義法是距離最常見的求法（不是等積法）。向量法求距離不作要求，但可以適度補充。關(guān)注距離與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合多角度、多題型練習(xí)距離的求法。5總結(jié)

（1）立體幾何的教學(xué)是“全新的挑戰(zhàn)、難得的機遇”

不僅要關(guān)注平行與垂直的證明（水平一），更要關(guān)注角和距離的計算求解（水平二，面向高考）；

不僅要關(guān)注邏輯推理的教學(xué)，更要關(guān)注直觀想象（綜合法）、數(shù)學(xué)運算（向量法）等素養(yǎng)的培育；5總結(jié)

（2）空間角和距離的求法層次明顯，教學(xué)時需要分層，因人而異，因校而異，因文理科而異；

（3）角和距離的求法可以培養(yǎng)邏輯推理能力，可以發(fā)展空間想象力（空間觀念），同時更要認(rèn)識