北理工理論力學(xué)講義第03章

1第3章復(fù)合運(yùn)動(dòng)9學(xué)時(shí)絕對運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)的分析解法（不要求）動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度

的解析表達(dá)式4.點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)的矢量解法速度加速度5.剛體的復(fù)合運(yùn)動(dòng)（定理定理重點(diǎn)內(nèi)容，簡單介紹）剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度 定理剛體平面運(yùn)動(dòng)可分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)某類剛體的平面運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)作業(yè)3.6

3.7

3.8

3.9

3.11

3.15

3.18

3.19

3.21

3.22

速度分析

加速度分析2第3章復(fù)合運(yùn)動(dòng)本章主要內(nèi)容：物體的運(yùn)動(dòng)具有相對性。對于同一物體，若選取的參考空間不同，則其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也就不同。面的章節(jié)中，對物體運(yùn)動(dòng)的研究都是在同一個(gè)參考空間中進(jìn)行的。本章將在兩個(gè)不同的參考空間中

同一物體的運(yùn)動(dòng)，并給出物體在這兩個(gè)參考空間中的運(yùn)動(dòng)量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。物體相對

間的運(yùn)動(dòng)可視為其相對于乙空間的運(yùn)動(dòng)和乙空間相對間運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)。本章介紹復(fù)合運(yùn)動(dòng)的基本知識。學(xué)習(xí)本章的意義：復(fù)合運(yùn)動(dòng)是研究剛體復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的重要基礎(chǔ)。3第3章復(fù)合運(yùn)動(dòng)絕對運(yùn)動(dòng)相對運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)§3.11.

基本概念定參考系（定系）動(dòng)參考系（動(dòng)系）絕對運(yùn)動(dòng)相對運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)2.

舉例說明直升飛機(jī)車輪運(yùn)動(dòng)車輪上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)吊車飛機(jī)螺旋槳偏心凸輪43.

復(fù)合運(yùn)動(dòng)研究對象在不同的參考空間中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的。這種差別是由于動(dòng)系相對于定系有運(yùn)動(dòng)，即存在牽連運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的。如果沒有牽連運(yùn)動(dòng)，研究對象的絕對運(yùn)動(dòng)和相對運(yùn)動(dòng)就沒有任何差別。如果物體作相對運(yùn)動(dòng)的同時(shí)還存在牽連運(yùn)動(dòng)，兩種運(yùn)動(dòng)的結(jié)果就是在定系中所看到的運(yùn)動(dòng)。換言之，當(dāng)已知研究對象的相對運(yùn)動(dòng)及牽連運(yùn)動(dòng)，則研究對象的絕對運(yùn)動(dòng)必為某一確定的運(yùn)動(dòng)。這說明研究對象的絕對運(yùn)動(dòng)可視為其相對運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)的

運(yùn)動(dòng)，通常將這種

運(yùn)動(dòng)稱為復(fù)合運(yùn)動(dòng)。結(jié)論：物體（點(diǎn)或剛體）的相對運(yùn)動(dòng)與其隨同動(dòng)系的牽連運(yùn)動(dòng)為物體的絕對運(yùn)動(dòng)，或者說，物體的絕對運(yùn)動(dòng)可分解為物體的相對運(yùn)動(dòng)和其隨同動(dòng)系的牽連運(yùn)動(dòng)。分解（絕對運(yùn)動(dòng)）（相對運(yùn)動(dòng)）（牽連運(yùn)動(dòng)）注意：物體運(yùn)動(dòng)的

與分解是在兩個(gè)有相對運(yùn)動(dòng)的不同的參考空間中進(jìn)行的，因此，必須明確研究對象、動(dòng)參考系和定參考系。4.

運(yùn)動(dòng)

與分解的應(yīng)用12某些工程機(jī)構(gòu)，只有用上述方法才能求出機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系；實(shí)際問題需要在不同的參考空間研究物體的運(yùn)動(dòng)。這種利用動(dòng)系和定系來分析運(yùn)動(dòng)的方法（或運(yùn)動(dòng)的與分解），不僅在工程技術(shù)上有廣泛應(yīng)用，而且還是在非慣性參考系中研究動(dòng)力學(xué)問題的基礎(chǔ)。56§3.2

變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)目的：為了給出絕對與相對速度、加速度的關(guān)系，需要在兩個(gè)相對運(yùn)動(dòng)著的參考空間中

同一個(gè)變矢量的變化率。為此，本節(jié)引入矢量的絕對導(dǎo)數(shù)變矢量A和相對導(dǎo)數(shù)的概念，并研究它們之間的關(guān)系。其變化依賴于所選取的參考空間。定義其中一個(gè)空間為定系，另一個(gè)空間為動(dòng)系。定系動(dòng)系A(chǔ)eAA~t

t時(shí)刻A(t

t)A

(

t

)

A

(

t

)規(guī)定：絕對增量相對增量：A~

：Ae變矢量A

相對定系的增量。：A動(dòng)系相對于定系發(fā)生方位的改變，A的方位改變而產(chǎn)生的增量。t

時(shí)刻A

(

t

)變矢量A相對動(dòng)系的增

量。遷移

增量~A

A

Ae7絕對導(dǎo)數(shù)：dA~相對導(dǎo)數(shù)：dAdt絕對增量A相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為絕對導(dǎo)數(shù)。dt

相對增量~A相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為相對導(dǎo)數(shù)。推導(dǎo)絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：限于所學(xué)知識，僅 動(dòng)系相對定系作平面運(yùn)動(dòng)情形，對于更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，所得結(jié)論依然正確。

~

A

A

Ae增量。其中A是e由于動(dòng)系相對定系發(fā)生方位改變，造成A的方向改變而產(chǎn)生的在這一變化過程中，矢量

A

的大小保持時(shí)刻t的值不發(fā)生變化，因此，當(dāng)

t足夠小，即動(dòng)系作平面運(yùn)動(dòng)的角位移足夠小時(shí)，由附錄I.1知Ae

A則

~

A

A

AAt

t

tA

A

~

8A~tt0

t0t

tlim

A

lim

A

(

lim

)

t0t

lim

動(dòng)系相對定系在t時(shí)刻的角速度矢量。t0

~

dt

dtdA

dA

A(3.1)變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式上式表明：同一變矢量相對不同的參考空間其變化率一般不同，這種差別是由動(dòng)系方位變化所引起的。動(dòng)系作平移的特殊情況：當(dāng)動(dòng)系作平移時(shí)，由于動(dòng)系無方位改變，其角速度

0，因此在這特一殊情況下，變矢量A的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)相等，即dt

dt

~

dA

dA(3.2)9§3.4點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)的矢量解法3.4.1

動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程(1)

確定參考點(diǎn)：O

定系中任一確定點(diǎn)O

動(dòng)系中任一確定點(diǎn)(2)

動(dòng)點(diǎn)M

的變化規(guī)律：rrOrOOM絕對運(yùn)動(dòng)方程

相對運(yùn)動(dòng)方程r

r(t)r

r(t)rO

rO(t)

點(diǎn)O相對點(diǎn)O的矢徑牽連運(yùn)動(dòng)方程在任意時(shí)刻t

r

(t)

rO

(t)

r

(t)(3.3)給出了動(dòng)點(diǎn)的絕對運(yùn)動(dòng)方程、相對運(yùn)動(dòng)方程以及牽連運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的牽連運(yùn)動(dòng)方程。根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)知識，由此完全可求出該點(diǎn)相對于定系或動(dòng)系的軌跡、速度、加速度及其在這兩個(gè)參考系中這些量之間存在的關(guān)系。103.4.2

動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度絕對速度：va動(dòng)點(diǎn)M

相對于定系的速度

drva

(3.18)絕對加速度：aadt

dvaaa

dt(3.19)相對速度：vr動(dòng)點(diǎn)M

相對于定系的加速度

dt~

dr

vr(3.20)相對加速度：動(dòng)點(diǎn)M

相對于動(dòng)系的加速度~dvar

r

dt(3.21)絕對導(dǎo)數(shù)絕對導(dǎo)數(shù)在動(dòng)系中的相對導(dǎo)數(shù)在動(dòng)系中的相對導(dǎo)數(shù)ar動(dòng)點(diǎn)M

相對于動(dòng)系的速度矢量解法的優(yōu)點(diǎn)：與第二章相類似，對于能構(gòu)成復(fù)合運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)，如果需要求系統(tǒng)在某一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)量，這時(shí)用分析法求解則比較麻煩，如果用點(diǎn)的速度 定理和加速度定理所給出的矢量公式進(jìn)行求解則很方便。113.4.3速度定理rrOrOOM已知：動(dòng)點(diǎn)M

r

r

(t)r

(t)r

rOrO

(t)

動(dòng)點(diǎn)M

相對定系的絕對矢徑為動(dòng)點(diǎn)M

相對動(dòng)系的相對矢徑為動(dòng)空間參考點(diǎn)O的絕對矢徑為則

r

(t)

rO

(t)

r

(t)(3.3)其中3.18對時(shí)間

t求絕

對導(dǎo)數(shù)

，得dr

drO

dr

dt

dt

dt

vavOdrdtdrO動(dòng)點(diǎn)M

的絕對速度動(dòng)系參考點(diǎn)O相對定系的絕對速度dtdtdr（相對矢徑的絕對速度）dAdt

dt

~

dA3.1

Ae3.1dt~re

dr

r

3.20

vr動(dòng)系的角速度12

va

vO

e

r

vr(3.32)定義牽連速度：在動(dòng)空間中對動(dòng)點(diǎn)M

的絕對運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生直接影響的是此瞬時(shí)動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)N

。定義重合點(diǎn)N

相對定系的絕對速度為牽連速度，記作ve。則重合點(diǎn)N

的絕對速度為當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角速度為e，

ve

vN

vO

e

r

(3.33)

va

ve

vr(3.34)于是速度

定理（矢量方程式，在任意瞬時(shí)均成立）速度

定理：在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對速度等于其相對速度與牽連速度的矢量和。速度速度定理的適用范圍：定理雖然是在牽連運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)時(shí)推導(dǎo)所得，但當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為其他形式的剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，依然成立。133.4.4

加速度定理加速度關(guān)系的推導(dǎo)：

（3.34）

d

vreva

v

vrd

va

d

vedtdt

dt

dt d

vO

aa

a

edt

edt

v

r

d

v（3.33）ddtdt

dt

r

d

r

d

d

vO

e

d

r

e

aO

e

r

e

A~

dtdt

dtdA

3.1

dA

eO

e

e(3.1)

dt

~

d

r

r

r

a

aO

e

r

e

vr

ee

r

定義牽連加速度：當(dāng)動(dòng)系作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)重合點(diǎn)N

的絕對加速度，定義為牽連加速度。

ae

aO

e

r

e

e

r

(3.35)則dtd

ve

ae

e

vr(3.36)牽連速度的絕對導(dǎo)數(shù)并不等于牽連加速度。14dtre

rdt

~ r

d

v（3.1）dve

rr

v

a

v(3.37)相對速度的絕對導(dǎo)數(shù)并不等于相對加速度。

e

vr

的產(chǎn)生原因：

e

vr

的產(chǎn)生時(shí)由于相對運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)同時(shí)存在的結(jié)果。在式(3.36)

中，由于相對運(yùn)動(dòng)的存在，在定系中看到的重合點(diǎn)不是動(dòng)系中的固定不變點(diǎn)，由于重合點(diǎn)的改變而產(chǎn)生了該項(xiàng)附加加速度。在式(3.37)

中，由于牽連運(yùn)動(dòng)使得相對速度的方向在定系中發(fā)生變化而產(chǎn)生的附加加速度。定義科氏加速度：法國人科里奧利（G.G.Coriolis

1792~1843）在1835年提出，(3.38)加速度aC

2e

vr定理：

aa

ae

ar

aC(3.39)加速度

定理的矢量公式，在任意瞬時(shí)均成立。15加速度 定理：任一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的絕對加速度等于其相對加速度、牽連加速度與科氏加速度的矢量和。適用于

的牽連運(yùn)動(dòng)。3.38

科氏加速度aC的大小和方向：aC

2e

vrC

ea

2(1)

大小、方向：

v

sin

revrCa

為e的正向與vr正向的夾角；

)。沿e和vr組成平面的法向，指向由右手法則決定((2)

特殊情況：當(dāng)

90時(shí)，

e

vraC

2evrevraC方向由vr

順e的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90?得到。16er

//

vCa

0

一般情況下，當(dāng)

0或

180

時(shí)，(3)

綜合上述：ervaCvr

rv

將vr

正交分解，得到vr

，

vr

，C

e

r大小

a

2

v

其方向?yàn)関r順e的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過

90?（如圖所示）時(shí)所指方向。17思考M

N

M

N

IIIO

OM

N

III動(dòng)點(diǎn)：水管中的水滴M

，動(dòng)系：與水管固連。絕對運(yùn)動(dòng)：未知曲線運(yùn)動(dòng)，相對運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：隨水管的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng)。rvveva以作勻速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)水管中的水滴M為動(dòng)點(diǎn)，請分析對應(yīng)于式(3.39)中每一項(xiàng)的物理含義。aenea

0M

N

taraC大小方向r?2vrr2//

OM

OM

//

OM

OM0(3.39)

aaaa

ae

ar

aCan

atn

t

ae

ae

ar

aC

a

?v2aa

taa

n?

//

va

va18動(dòng)，套筒B

和與其剛性連接的桿BD

又可繞B

軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知OA

=BD

=r

，圖示瞬時(shí)桿OA

處于鉛垂位置，桿AC

與水平線的夾角

=30?，試求此時(shí)點(diǎn)D

的速度和加速度。例3.7

圖a

所示機(jī)構(gòu)中，曲柄

OA

以勻角速度0作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)桿

AC

在套筒

B

內(nèi)滑中動(dòng)點(diǎn)為桿AC

上的點(diǎn)A

；動(dòng)系與BD固連。如果改變動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系，又會(huì)如何呢？0OABC解法一(1)

運(yùn)動(dòng)分析：動(dòng)點(diǎn)：桿AC

上的點(diǎn)B

；動(dòng)系：與BD固連。(2)

速度分析：

vB

vA

vBAvB

va

va

ve

vr大小方向vAACvBA

vA

vBAr0

AB

AC

?

OA

ACvr

ve

vr0

?//ACD19沿

軸方向投影0OABCvAACvBAvrD

vA

sin

vBA

00AC

r

1

2r

0214AC

0(

)BD

4BD

AC

1

0(

)vDvD

BD

BD0

0

r

1

1

r4

4(方向

BD

)ve

vrvBAvA

沿

軸方向投影vA

cos

vr2vr

3

r0(3)

加速度分析：

n

taB

aA

aBA

aBA

aa

aB

aa

ae

ar

aC大小方向0OAB2C0DaA0//OAACBAanAC

naA

aBAr2

AB

2//BAACBAa

ttaBAar

AB

AC?

AB//BAaC

ae

ar

aC0

?

2BD

vr

AB沿

軸方向投影

aA

cos

at

aBA

C22 3

2r

AC

2BDvr0

r

283

AC

0(

)0832BD

AC

(

)Da

naDBDt210OCDaAACaBAnACA

aBAtar

aCBDDBanaDtBDDan

BD

22041

r

(

)20161

r(方向//BD)BDD

BD

at8320

r

(2083)

r(方向

BD)22解法二0OAB(1)運(yùn)動(dòng)分析：動(dòng)點(diǎn)：套筒上的點(diǎn)B

；動(dòng)系：與桿AC

固連。(2)

速度分析：

AB

AvA大小

0方向va

ve

vr

v

v

v

eva

vA

r0

O

AACvBAAB

AC

?

ACvBAvrC

vr?//ACD沿軸方向投影0

vA

sin

vBA

AC

0

4(

)沿軸方向投影rA0

v

cos

v

0r2v

3

r(

//AC

)23(3)

加速度分析：0OAD

ae

aA

aBA

aBA

n

taa

ae

ar

aC大小方向aa

aA0

Aaa

nBAACn

taBAr2

AB

20//OA

//BAAC

aBAAB

AC?

ABaBAt//AC

ar

aC?

2AC

vr

AB沿軸方向投影0

aA

cos

at

aB

AC0AC

rAC

32

2r

2

v0

r20

382

AC(

)BD083

2BD

AC

(

)

aDaCB

arCnaDt240OAD

Aaa

nBAACaBAtBD

aDaCB

arCnaDtBDDan

BD

22041

r

(

)20161

r(方向//BD)BDD

BD

at8320

r

(

)2083

r(方向

BD)25§3.5

剛體的復(fù)合運(yùn)動(dòng)3.5.1

剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度公式設(shè)剛體相對于地面固連的空間作平面運(yùn)動(dòng)，以剛體的平面圖形S代表剛體。x12xi2Ox1x21ee2Oi1SABareare1

2定系：

Ox

x

，

動(dòng)系：

Ox

x

。1

2動(dòng)系相對于定系作平面運(yùn)動(dòng)，圖形S相對于動(dòng)系作平面運(yùn)動(dòng)。平面運(yùn)動(dòng)方位角隨時(shí)間的變化規(guī)律為r

r

ta

ae

e

t

t任一瞬時(shí)各方位角之間有如下關(guān)系a

r

e(3.40)對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)

a

r

e

a

e

r(3.41)角速度轉(zhuǎn)向絕對角速度相對角速度牽連角速度a

ar

re

e26用矢量表示角速度aa

i3

rre3

eei3因?yàn)樵谶\(yùn)動(dòng)過程中i3

e3r

ae(3.42)稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度定理。對式(3.42)求導(dǎo)

a

e

r(3.43)dt

dter~d

d

d

d

a

e

r

dt r

d

rdt

dt

0rere

r

得到角加速度的關(guān)系273.5.2

剛體平面運(yùn)動(dòng)可分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)系原點(diǎn)

與O圖形S上的點(diǎn)A鉸接，使動(dòng)系與點(diǎn)A以相同的規(guī)律作平移。圖形S的絕對運(yùn)動(dòng)：圖形S的相對運(yùn)動(dòng)：圖形S的牽連運(yùn)動(dòng)：圖形S的平面運(yùn)動(dòng)繞A軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)；繞A軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；與A同規(guī)律的平面平移。分解

與A同規(guī)律的平面平移。注意：點(diǎn)A的選取具有任意性。e

0由于牽連運(yùn)動(dòng)為平移，所以e

0，

a

r

a

r平面圖形S上任一點(diǎn)B的速度、加速度可由復(fù)合運(yùn)動(dòng)方法得到：x12xi1i2Ox1OSe2Ax2Bar

e1

28點(diǎn)B的相對運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)B的牽連運(yùn)動(dòng)：以A為圓心，以AB為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)；以A同規(guī)律的平移。點(diǎn)B的速度為(3.34)

va

ve

vr

點(diǎn)B的加速度為(3.39)

aa

ae

ar

aC

ABaB

aA

AB

vB

vA

vBA(2.21)

(2.24)

t

naB

aA

aBA

aBA以上兩式正是在第二章中得到的平面圖形上兩點(diǎn)速度與加速度關(guān)系，這些關(guān)系現(xiàn)在從復(fù)合運(yùn)動(dòng)的途徑得到的。通過上述的推導(dǎo)可進(jìn)一步理解公式(2.21)和(2.24)中各項(xiàng)的物理含義。

vB

vA

AB

由于剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以由平移和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

得到，因此， 通常把平移和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)稱作剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式。293.5.3

某類剛體的平面運(yùn)動(dòng)可分解為兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)如果平面圖形S在運(yùn)動(dòng)過程中，其上有一點(diǎn)A到定系中某一固定點(diǎn)O的距離始終保持不變，那么點(diǎn)A在定系中的軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓周曲線。對于滿足上述條件的平面運(yùn)動(dòng)，引入動(dòng)系和定系：Ox1x2

與O,A兩點(diǎn)連線固連；定系為Ox1x2，動(dòng)系：x12xe11xx2i12e2i

OSAaBre動(dòng)系相對于定系繞O軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圖形S相對于動(dòng)系繞A軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的平面運(yùn)動(dòng)分解相對于動(dòng)系繞A軸的 隨同動(dòng)系繞O軸的定軸轉(zhuǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（相對運(yùn)動(dòng)）

動(dòng)（牽連運(yùn)動(dòng)）。由于軸O和A相互平行，因此又稱這樣的平面運(yùn)動(dòng)為繞兩平行軸轉(zhuǎn)動(dòng)的

。30轉(zhuǎn)動(dòng)偶在任意時(shí)刻(3.