信號與系統(tǒng)-p4.8由函數(shù)零、極點分布決定頻響特性

于是，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)s

jNMs

jk

1

k

1

(s

pk

)G(s

zk

)H

(

j)

H

(s)

|NM

k

1

(

j

pk

)k

1G(

j

zk

)上式中，分子和分母的每一個因式，均表示s平面上一個指向jΩ軸的矢量。jpk，因式（jΩ-pk)表示的是沿虛軸變化的矢量jΩ與由原點指向pk的矢量的差矢量。上式中分子上的因式對應(yīng)的矢量，稱為零點矢量；分母上的因式對應(yīng)的矢量，稱為極點矢量。2NkM

AG

Bkk

1H

(j)

k

1

M

Nk

1k

1()

k

k即系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)等于零點矢量的模之積比上極點矢量的模之積；相頻響應(yīng)等于零點矢量相角之和減去極點矢量相角之和。

k

kN

NkM MkkjkA

ek

1k

1j(

j

p

)G(

j

z

)

GNMk

1

k

1

k

kNk

1kM

kH

(j)

k

1

k

1

k

1

e

ABB

e

G

)j

(

H

(

j)

e

j()每個矢量均有它的模與相角，于是jpk3由H(s)的零極圖粗略估計|H(jΩ)|與φ(Ω)ui

(t)

uo

(t)如上兩例RC電路，試根據(jù)其零極圖，粗略的畫出其頻響曲線。RCj

H

(

j)10.7072

()先看以電容電壓為輸出的情況。其零極圖如下：⑴當(dāng)Ω=0，極點矢量指向原點，其模長為α，相角等于0；于是|H(jΩ)|=α/α=1,φ(Ω)=0。⑵當(dāng)Ω↑，極點矢量?！嘟恰?；|H(jΩ)|↓,φ(Ω)=-arctg(Ω/α)↓。⑶當(dāng)Ω=α，|H(jΩ)|≈0.707,φ(Ω)=-(π/4)。⑷當(dāng)Ω→∞，|H(jΩ)|→0,φ(Ω)=-(π/2)。4

j

H

(

j)

4.10全通系統(tǒng)與最小相移系統(tǒng)的零、極點分布1、全通系統(tǒng)的零極點分布所謂全通系統(tǒng)是指其幅頻響應(yīng)在所有頻率上均為一常數(shù)。顯然，全通系統(tǒng)的相頻響應(yīng)沒有受到限制。由前邊分析可知，全通系統(tǒng)函數(shù)的零點矢量的模之積與極點矢量的模之積，在所有頻率上均相等。要做到這一點，零點與極點應(yīng)該以虛軸為鏡像對稱分布。jN5NG

Bk

Akk

1H

(j)

k

1

GRC電橋，試求其傳輸函數(shù)H(s)，并說明當(dāng)例如：R1C1=R2C2ui

(t)uo

(t)R1C12R2C時電路是全解通：網(wǎng)系絡(luò)統(tǒng)。的傳輸函數(shù)H

(s)

Uo

(s)Ui

(s)122R21111sC11sCR

sCR

11R1C1

R2C2R1C1ss

s

H

()s

12

(s

1)(s

2

)s2

)(s

2s

11s當(dāng)R1C1=R2C2=RC時H

(s)

s

s

j

零極點以虛軸鏡像對稱。62、最小相移系統(tǒng)的零極點分布所謂最小相移系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)的零點均分布在s平面的左半平面或虛軸上。若有一個或多個零點分布在右半平面，就是非最小相移系統(tǒng)。jj比較以上兩零極圖，極點分布相同，零點的虛部相等，實部符號相反。顯然，對于所有的頻率上，左邊圖中零點的相角均大于右圖中零點的相角。7任一非最小相移系統(tǒng)，均可表示為一全通系統(tǒng)與一最小相移系統(tǒng)的級聯(lián)。H(s)

HAP(s)

Hmin

(s)非最小相移系統(tǒng)全通系統(tǒng)最小相移系統(tǒng)jjj例如：810

1(s

)[(s

)2

2

](s

)2

2H

(s)

2

2

221

10

2

2

2

2(s

)2

2(s

)[(s

)2

2

]

(s

)2

2(s

)2

222(s

)2

2(s

)2

2HAP(s)

2

2110(s

)[(s

)2

2

](s

)2

2Hmin

(s)

2

2

4.11線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性x(，)其輸出生有限的輸出的系統(tǒng)：即當(dāng)輸入 ，系y()統(tǒng)必

定是穩(wěn)定的。一、系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性與因果性，在第一章中有過描述。第一章是針對所有系統(tǒng)而言。所謂穩(wěn)定性是指有限的輸入只能產(chǎn)所謂因果性是指輸出不會發(fā)生在輸入作用于系統(tǒng)之前：即當(dāng)t<t0，x(t)=0，必定有t<t0，y(t)=0。對于沖擊響應(yīng)為h(t)的系統(tǒng)，其穩(wěn)定性是指單位沖激響應(yīng)滿足絕對可積：

h(t)

dt

9證明：（1）充分條件：對任意有界輸入e(t，)

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：r(t)

h(

)e(t

)dr(t)

h(

)

e(t

)

d代入對激勵信號的約束條件，e(t)

Mer(t)

Me

h(

)

d如果h(t滿)足則

h(t)

dt

Mr(t)

Me

M10證明：（2）必要條件（略）所謂因果性是指單位沖激響應(yīng)滿足下式：h(t)

h(t)u(t)那么， 續(xù)時間線性系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性，在拉氏變換情況下，即在s域如何描述呢？由系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)來描述系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性，這里就應(yīng)該單位沖激響應(yīng)的拉氏變換，即系統(tǒng)函數(shù)在s域的表現(xiàn)。首先看系統(tǒng)的因果性。當(dāng)系統(tǒng)是因果的，其單位沖激響應(yīng)是因果信號：h(t)

h(t)u(t)于是，根據(jù)拉氏變幻的收斂域分析知道，其拉氏變換—系統(tǒng)函數(shù)的收斂域應(yīng)該是s平面上某一收斂軸

Re{s}=σ0的右半平面。換句話說，j011j0系統(tǒng)函數(shù)的極點只能分布在s平面上收斂軸Re{s}=σ0的左半平面。再看系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的，其單位沖激響應(yīng)應(yīng)該滿足絕對可積：

h(t)

dt

0因此，線性因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域應(yīng)該是Re{s}>0，即它的收斂軸是s平面上的虛軸。也就是說，因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的極點，只能分布在s平面虛軸的左半平面上。j012j0如果系統(tǒng)函數(shù)的極點分布在s平面虛軸的上，將會如何呢？

通過具體的例子來說明。s位階躍信號u(t),不滿足絕對可積。但是其在t>0時，穩(wěn)定不變。例如原點上的一階極點，對應(yīng)的因式是

，1對應(yīng)的反變換是單的形式，對應(yīng)的反變換是等幅的正余弦信號，也不滿足絕對可積。但是在t>0時，其幅度穩(wěn)定不變。如果在虛軸上的極點是多重，對應(yīng)的時間信號將不滿足絕對可積，且在t>0時，其幅度是逐漸增加的。再例如虛軸上的一對共軛極點，對應(yīng)的因式是s2

2或s0 0s2

2013顯然，虛軸上的極點不管是單階的還是多重的，都使系統(tǒng)不穩(wěn)定。但是也有稱虛軸上單階極點的情況為臨界穩(wěn)定的。事實上，一個穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，對其零點的個數(shù)也有要求。例如：設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為：H

(s)

N

(s)

s

A(s)D(s)

D(s)A(s)/D(s)是有理真分式。當(dāng)輸入一有界的x(t)=u(t)，輸出中就會出現(xiàn)沖激信號δ(t)，而沖激信號的幅度是

的?？梢娨陨舷到y(tǒng)是不穩(wěn)定的。根據(jù)以上分析，從s域判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定條件應(yīng)該是：⑴

系統(tǒng)函數(shù)的極點，均應(yīng)分布在s平面虛軸的左半平面上；也即系統(tǒng)函數(shù)分母多項式的根，如果是實數(shù)，則應(yīng)該是負(fù)實數(shù)；如果是復(fù)數(shù)，則應(yīng)具有負(fù)的實部。⑵

系統(tǒng)函數(shù)的分子多項式的階次，不應(yīng)高于分母多項式的階次。14例如：下圖示一反饋系統(tǒng)，試求：⑴系統(tǒng)函數(shù)，⑵k滿足什么條件時系統(tǒng)穩(wěn)定？⑶在臨界穩(wěn)定時，求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。G(s)

Vi

(s)

Vo

(s)解：⑴先求系統(tǒng)函數(shù)。

4s

4V

(s)

s2ksG(s)o

4s

4s2ks[V

(s)

V

(s)]V

(s)

i

o

o

(4

k)s

4V

(s)V

(s)s2ksi

H

(s)

o

⑵系統(tǒng)函數(shù)的極點：p1,2

2

(4

k)

(4

k)2

16當(dāng)k>4系統(tǒng)函數(shù)有正實部的極點，系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，應(yīng)該是k<4。⑶當(dāng)k=4時，系統(tǒng)函數(shù)為：H

(s)

h(t)

4

cos

2tu(t)

4s24s

s

s2

4s

415kV

(s)iVo

(s)G(s)f

(t)e

stdtBF

(s)

1

2

jf

(t)

jstF

(s)e

ds

j雙邊雙邊變換

逆變換象函數(shù)原函數(shù)記為：F

(s)

L

[f

(t)]記為：f

(t)

L

1[F(s)]Bilateral

Laplace

Transform(BLT)下面

雙邊

變換的收斂問題。4.12、雙邊變換16例：已知函數(shù)：f

(t)

u(t)

etu(t)波形如圖。試確定f

(t的)解：（1）討論ROCB的LTR。OCf

(t)e

t

dt0(1

)t0e

dt

te dt

BLT

的ROC為0

。

1170u(t)t0etu(t)tj01018（2）求BLTf

(t)e

stdtBF

(s)

0e(1s

)t

dt

0e

dt

st1

11

s

s19ROC

:

0

1BLT

可分解為兩個UL來T處理，因此有兩個邊界。BLT一般t

0 :

1

t

0

:

2左邊界 右邊界若

1

，2

存BL在T

，反之，則不存在。在給出函數(shù)的BLT時，必須注明其

ROC1BF

(s)

1

s s

1ROC

:

0

11f

(t)

u(t)

etu(t)ROC

:

1ROC

:

0

203f

(t)

et

1

u(t)f2

(t)

1

e

u(t)t不同的函數(shù)在各不相同的RO條C

件下可能得到同樣的B。LT4.13變換與變換的關(guān)系由第一節(jié) 知道，頻率s=σ+jΩ上的推廣，變換是變換是變換由實頻率Ω至復(fù)變換在s平面虛軸上的特例。X

(s)

?

{x(t)}

?

x(t)e

X

(

j)變許多信號，將其 變換式中的jΩ換成s就是它的換，反之亦然。例如：單邊指數(shù)衰減信號j

etu(t)

FT1

1

etu(t)

LT

變換與它的s

變換都有這種然而，并非所有信號的規(guī)律。例如：單位階躍信號ju(t)

FT

()

1su(t)

LT

121一、變換收斂域包含虛軸此時，信號的 變換的極點在s平面上虛軸的左半平面。例如，上述的單邊指數(shù)衰減的信號，其極點位于負(fù)實軸上。j

etu(t)拉氏變換收斂域此時，信號的 變換的收斂域包含了jΩ軸。負(fù)實軸上的重極點的例子：(

j

)21tetu(t)

FTs

)(21T

負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)極點的例子：00(

j

)2

2et

cos(

t)u(t)

FT

j

00(s

)2

2et

cos(

t)u(t)

LT

s

22二、變換收斂域不包含虛軸此時，信號的 變換的極點在s平面上虛軸的右半平面。例如，單邊指數(shù)增長的信號，其極點位于正實軸上。其拉氏變換：jetu(t)的拉氏變換收斂域s

etu(t)

LT

1此時，由于信號是指數(shù)增長的，不滿足絕對可積的條件，其

變換不存在。從s域看，信號的 變換的收斂域不包含虛軸，不能由其拉氏變換將s代以jΩ求得其 變換。23三、 變換的極點位于虛軸上例如：單位階躍信號u(t)顯然，當(dāng)信號的 變換的極點是位于s平面虛軸上的極點，不能簡單地將jΩ代替s已得到它的 變換。設(shè)信號x(t)的 變換為X(s)，它有虛軸上的單極點:jΩisu(t)

LT

1ju(t)

FT

()

1NX

(s)

X1

(s)

i1

s

jiAiNj

tii1x(t)

x1

(t)

Aie

u(t)Ni1i

iA

(

)

[

()

1X

(

j)

X

(

j)

]j124Ni

ii1A

(

)

[

()

1j1X

(

j)

X

(

j)

]i1N

Ai

(

i

)Ni1ij(

)Ai1

X

(

j)

N

X

(s)

|s

j

Ai

(

i

)i1此時，信號的變換包含兩部分：一部分是將信號的拉氏變換X(s)中的s代以jΩ得到的，另一部分是對應(yīng)于虛軸上單極點的沖激信號。設(shè)信號x(t)的 變換為X(s)，它有虛軸上的k重極點:jΩii(s

j

)kAi1X

(s)

X

(s)

25可以證明，此是對應(yīng)的變換為：k1)(!X

j

X

s

|)()(

i

k

1)(

)A

jk

1s

j

i注意：單邊拉氏變換在系統(tǒng)的瞬態(tài)分析，系統(tǒng)函數(shù)及其s