《高等幾何》課程學(xué)習(xí)指南

PAGE4PAGE3《高等幾何》課程學(xué)習(xí)指南一、課程目的本課程是大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)的主干基礎(chǔ)課程之一。本課程在大家具備初等幾何、解析幾何、高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析知識的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)射影幾何的基本知識，使我們能用變換群的觀點(diǎn)來看待幾何學(xué)，加深對幾何學(xué)的理解，拓展幾何空間概念。通過本課程利用商空間思想研究虧格為零不可定向的閉曲面上的幾何學(xué)的訓(xùn)練，一方面使得我們拓寬眼界，擴(kuò)大知識領(lǐng)域，提高抽象思維、理性思維能力，為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)；另一方面使得我們加深對中學(xué)幾何特別是解析幾何的理論與方法的理解，從而獲得用高觀點(diǎn)來處理中學(xué)幾何問題的能力，為未來的中學(xué)幾何教學(xué)打下基礎(chǔ)；第三，本課程包括了許多著名的定理，奇妙的圖形，匪夷所思的處理技巧，通過本課程的學(xué)習(xí)，可以有效地提高我們的數(shù)學(xué)審美意識。概括來說，學(xué)習(xí)本課程后，希望大家有如下收獲：（1）空間不只是平直的，除歐氏空間外，還有很多其他的空間。即讓學(xué)生在空間觀念上有一個提升；（2）進(jìn)一步讓了解處理幾何問題不只是可以用綜合法，還可以用解析法；（3）深刻理解對偶原理，認(rèn)識到射影幾何是與歐氏幾何完全不同的幾何學(xué)；（4）深刻理解射影變換及其性質(zhì)，認(rèn)識到射影幾何是研究射影圖形在射影變換下的不變性和不變量的一門科學(xué)；（5）深刻理解Klein的變換群觀點(diǎn)，即研究某空間中的圖形在它的某變換群作用下不變的性質(zhì)和數(shù)量的科學(xué)就稱為一門幾何學(xué)；（6）深刻了解一些平面射影圖形的射影性質(zhì)。如：點(diǎn)列，線束，完全n點(diǎn)（線）形，二次曲線的射影性質(zhì)。（7）學(xué)會構(gòu)造射影圖形。因?yàn)槲覀兊募垙埵菤W氏平面，所以在其上構(gòu)造射影圖形還是有很多技巧，我們要深刻領(lǐng)會這些技巧。二、課程主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)以平面射影幾何為主體，涵蓋射影幾何，變換群理論，仿射幾何等內(nèi)容，主要包括5個部分：

1、射影平面。包括引論，拓廣平面，齊次點(diǎn)坐標(biāo)，線坐標(biāo)，射影平面，對偶原則，復(fù)元素，Desargues定理等。

2、射影變換。包括交比與調(diào)和比，完全四點(diǎn)形與完全四線形的調(diào)和性，一維基本形的射影對應(yīng)，一維射影變換，一維基本形的對合，二維射影變換等。

3、變換群與幾何學(xué)。包括二維射影變換的特例，平面上的幾個變換群，變換群與幾何學(xué)等。

4、二次曲線理論。包括二次曲線的射影定義，Pascal定理和Brianchon定理，極點(diǎn)與極線，配極變換，二次點(diǎn)列上的射影變換，二次曲線的射影分類，二次曲線的仿射理論，二次曲線的仿射分類等。

5、幾何學(xué)尋蹤。包括Euclid幾何學(xué)，從Pappus到射影幾何學(xué)，Descartes與解析幾何學(xué)，第五公設(shè)之爭與非歐幾何學(xué)，Gauss，Riemann與微分幾何學(xué)，從Cantor和Poincaré到拓?fù)鋵W(xué)，Hilbert與幾何基礎(chǔ)等，作為學(xué)生課外讀物。三、單元學(xué)習(xí)目標(biāo)1、第一章射影平面通過這一章的學(xué)習(xí)，我們要明了和掌握：（1）射影平面的公理化定義以及其幾何模型（拓廣平面）和算術(shù)模型（RP2）。空間不只是平直的，除歐氏空間外，還有很多其他的空間。即我們要在空間觀念上有一個提升；（2）齊次點(diǎn)坐標(biāo)和線坐標(biāo)，進(jìn)一步了解處理幾何問題不只是可以用綜合法，還可以用解析法；（3）深刻理解對偶原理，認(rèn)識到射影幾何是與歐氏幾何完全不同的幾何學(xué)；（4）深刻理解Desargues定理的美妙并學(xué)會用Desargues定理去作圖或證明某些共線點(diǎn)和共點(diǎn)線問題。具體掌握內(nèi)容如下：第一節(jié)引論本節(jié)首先介紹集合的變換的概念，然后介紹了平面的正交變換、相似變換、仿射變換的概念及其性質(zhì)。第二節(jié)拓廣平面本節(jié)從幾何直觀的角度把歐氏直線及平面拓廣到了射影直線及射影平面的一個幾何模型，我們稱其為拓廣直線及拓廣平面，然后討論了它們的性質(zhì)并給出了它們的一些拓?fù)淠Ｐ?。第三?jié)拓廣平面上的齊次坐標(biāo)本節(jié)給出了拓廣平面上點(diǎn)的齊次點(diǎn)坐標(biāo)和直線的齊次線坐標(biāo)概念，從而實(shí)現(xiàn)了幾何代數(shù)化，為用解析法研究平面射影幾何做好了準(zhǔn)備；給出了直線的齊次點(diǎn)坐標(biāo)方程和點(diǎn)的齊次線坐標(biāo)方程；關(guān)于齊次坐標(biāo)的一些基本結(jié)論；拓廣平面上的齊次笛氏坐標(biāo)系。第四節(jié)射影平面給出了實(shí)射影平面及直線的公理化定義，并指出拓廣平面和RP2都是射影平面的模型空間；介紹了射影坐標(biāo)變換并指出點(diǎn)列和線束是射影基本圖形第五節(jié)平面對偶原則本節(jié)介紹了平面射影幾何的重要定理平面對偶原則。首先給出對偶元素、對偶運(yùn)算、對偶變換、射影圖形及對偶圖形、射影命題及對偶命題等概念，然后給出平面對偶原則及某些代數(shù)對偶。

第六節(jié)Desargues透視定理本節(jié)介紹了一個古老而著名的定理Desargues透視定理及其在作圖和證明共線點(diǎn)和共點(diǎn)線問題方面的應(yīng)用。2、第二章射影變換平面射影幾何是研究平面射影圖形在射影變換下的不變性質(zhì)和不變量的一門科學(xué)。所以，本章首先研究了最基本的射影不變量交比的性質(zhì)和計算，然后研究了圖中具有非常多調(diào)和點(diǎn)列和調(diào)和線束的射影圖形完全四點(diǎn)形和完全四線形的調(diào)和性，最后主要研究了一維射影（對應(yīng)）變換和二維射影（對應(yīng)）變換的性質(zhì)。具體掌握內(nèi)容如下：交比交比是最基本的射影不變量，其他一切射影不變量都可由它表示。本節(jié)主要研究了共線四點(diǎn)的交比和共點(diǎn)四線的交比的性質(zhì)和計算。完全四點(diǎn)形與完全四線形的調(diào)和性本節(jié)主要研究了這兩類圖形中的調(diào)和點(diǎn)列和調(diào)和線束以及它們的應(yīng)用。一維基本形的射影對應(yīng)本節(jié)分別從幾何和代數(shù)角度給出了一維基本形的射影對應(yīng)的三個等價定義以及確定射影對應(yīng)的代數(shù)條件，Pappus定理和Steiner構(gòu)圖法亦被介紹。一維射影變換一維射影變換是從一個一維基本形到其自身的射影對應(yīng)。本節(jié)主要討論了一維射影變換的不變元素、不變元素性質(zhì)以及一維射影變換的分類。一維基本形的對合對合是一個特殊的射影變換，它有其特殊的幾何意義。本節(jié)主要研究了一個一維射影變換是對合的代數(shù)條件和幾何條件，對合的不變元素、不變元素性質(zhì)以及對合的分類，Desargues對合定理及其應(yīng)用。第六節(jié)二維射影變換本節(jié)分別從幾何和代數(shù)角度給出了二維基本形的射影對應(yīng)的三個等價定義以及確定射影對應(yīng)的代數(shù)條件，二維射影變換的不變元素亦被研究。3、第三章變換群與幾何學(xué)1872年德國數(shù)學(xué)家克萊因(F.Klein,1849～1925)在就任埃爾朗根(Erlangen)大學(xué)教授時提出了著名的埃爾朗根綱領(lǐng)，這個綱領(lǐng)用變換群的觀點(diǎn)把當(dāng)時已經(jīng)知道的幾種幾何學(xué)統(tǒng)一起來。根據(jù)這個綱領(lǐng)，研究某空間中圖形的在某變換群的變換下不變的性質(zhì)和數(shù)量的科學(xué)稱為一門幾何學(xué)，其中運(yùn)動變換下的幾何就是歐氏幾何。埃爾朗根綱領(lǐng)對后世幾何的發(fā)展具有重要的指導(dǎo)意義。本章我們主要了解克萊因的變換群觀點(diǎn)。具體掌握內(nèi)容如下：第一節(jié)射影仿射平面本節(jié)主要介紹了射影仿射平面的射影仿射變換、射影相似變換、射影正交變換及通常平面的仿射變換、相似變換、正交變換。

第二節(jié)平面上的幾個變換群本節(jié)主要介紹了射影變換群、射影仿射變換群、射影相似變換群、射影正交變換群及仿射變換群、相似變換群、正交變換群。

第三節(jié)變換群與幾何學(xué)本節(jié)主要介紹了克萊因的變換群觀點(diǎn)，并討論了射影幾何、射影仿射幾何、射影相似幾何、射影歐氏幾何、仿射幾何、相似幾何、歐氏幾何的關(guān)系。4、第四章二次曲線理論二次曲線是重要的射影不變圖形、仿射不變圖形，所以它們是射影幾何和仿射幾何的重要研究對象。本章主要研究二次曲線的射影理論和仿射理論。具體掌握內(nèi)容如下：第一節(jié)二次曲線的射影定義本節(jié)給出了二階曲線及二級曲線的代數(shù)定義和射影定義及確定非退化二階曲線及二級曲線的條件、討論了非退化二階曲線的切線及非退化二級曲線的切點(diǎn)、二階曲線與二級曲線的統(tǒng)一（即任一條非退化二階（級）曲線的全體切線（點(diǎn)）構(gòu)成一條非退化二級（階）曲線，而且從幾何上看，這兩條線是重合的）、最后介紹了二階曲線束及用四點(diǎn)形束求無三點(diǎn)共線的五點(diǎn)確定的二階曲線的方法。

第二節(jié)Pascal定理和Brianchon定理這是兩個古老而著名的定理，它們是一對對偶命題。本節(jié)介紹了這兩個定理及其逆定理、它們的幾種極限形式和應(yīng)用。

第三節(jié)配極變換給點(diǎn)射影平面上的一條非退化二階曲線，關(guān)于它的極點(diǎn)和極線之間的對應(yīng)是同底點(diǎn)場到線場的一個保交比的雙射，我們稱其為同底點(diǎn)場到線場關(guān)于這條非退化二階曲線的配極變換。本節(jié)介紹了配極變換、配極原則、自極三點(diǎn)形以及它們的應(yīng)用。

第四節(jié)二次點(diǎn)列上的射影變換本節(jié)研究了二次點(diǎn)列上的射影對應(yīng)、射影變換、對合的性質(zhì)及其應(yīng)用。

第五節(jié)二次曲線的射影分類射影平面上的兩條二階曲線等價的充要條件是存在一個射影變換把其中一條二階曲線映為另一條。本節(jié)給出了射影平面上的所有二階曲線的等價類，即對所有二階曲線進(jìn)行了分類；對偶地，我們可以得到所有二級曲線的等價類。

第六節(jié)二次曲線的仿射理論二次曲線亦是重要的仿射不變圖形。本節(jié)討論了射影仿射平面上的二次曲線的仿射性質(zhì)。主要討論了二階曲線的中心、直徑與共軛直徑、有心二階曲線的漸近線等性質(zhì)。

第七節(jié)二次曲線的仿射分類射影仿射平面上的兩條二階曲線等價的充要條件是存在一個射影仿射變換把其中一條二階曲線映為另一條。本節(jié)給出了射影仿射平面上的所有二階曲線的射影仿射等價類，即對所有二階曲線進(jìn)行了分類；對偶地，我們可以得到所有二級曲線的等價類。四、課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：要求我們通過齊次坐標(biāo)、射影變換的學(xué)習(xí)，獲得利用代數(shù)、分析的方法研究幾何問題的基本能力，拓展幾何空間概念，通過以拓廣平面為模型的射影平面幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)會在虧格為零、不可定向的閉曲面上用綜合的方法研究幾何問題，接受變換群思想。難點(diǎn)：齊次坐標(biāo)和不可定向的閉曲面等都超出了學(xué)生久已習(xí)慣的歐氏空間，抽象且不直觀，初學(xué)者會感到非常別扭，難以入門，難以認(rèn)清問題的本質(zhì)。解決辦法：運(yùn)用/