常微分方程初值問題答案

1.(10分）對(duì)常微分方程初值問題取步長分別用改進(jìn)的Euler法和標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta法作數(shù)值計(jì)算,寫出公式和簡(jiǎn)要推導(dǎo)過程，并把結(jié)果填入表內(nèi)。解：（1）改進(jìn)的Euler方法：代入公式得（2）標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta方法：，即…2分即……（4分）改進(jìn)的Euler法經(jīng)典四階R-K法準(zhǔn)確值0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.90500000.81902500.74121760.67080200.60707580.54940350.49721020.44997530.40722760.36854100.90483750.81873090.74081820.67032030.60653090.54881200.49658560.44932930.40657000.36787980.90483740.81873080.74081820.67032000.60653070.54881160.49658530.44932900.40656970.36787942.對(duì)常微分方程初值問題取步長分別用改進(jìn)的Euler法和標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta法作數(shù)值計(jì)算,寫出公式和推導(dǎo)過程，并把結(jié)果填入表內(nèi)。解：（1）改進(jìn)的Euler方法：代入公式得……………….(2分)，即（2）標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta方法：即……(4分)經(jīng)典四階R-K法準(zhǔn)確值改進(jìn)的Euler法0.10.9512500.9048770.8607640.8188020.7788850.7409140.7047950.6704360.6377520.6066620.9512190.9048180.8606970.8186950.7787580.7407700.7046340.6702610.6375650.6064640.9512290.20.30.40.50.60.70.80.91.00.9048370.8607080.8187310.7788010.7408180.7046880.6703200.6376280.606531……...(10分)《數(shù)值分析》復(fù)習(xí)題一、填空題1.絕對(duì)誤差限=末位的一半+單位，相對(duì)誤差限=絕對(duì)誤差限/原值*100%1.度量一根桿子長250厘米，則其絕對(duì)誤差限為2.測(cè)量一支鉛筆長是16cm，那么測(cè)量的絕對(duì)誤差限是3.稱量一件商品的質(zhì)量為50千克，則其絕對(duì)誤差限為2.利用平方差的方法，相對(duì)誤差限是。，測(cè)量的相對(duì)誤差限是，相對(duì)誤差限是。。4.在數(shù)值計(jì)算中，當(dāng)是較大的正數(shù)時(shí)，計(jì)算應(yīng)變成_____________5.在數(shù)值計(jì)算中，計(jì)算6.在數(shù)值計(jì)算中，計(jì)算應(yīng)變成來計(jì)算。應(yīng)變?yōu)閬碛?jì)算。3.f的位數(shù)與f（x）的最高次相同的話，就是最高位的常數(shù)，大于的話為07.若，則______________，。8.函數(shù)關(guān)于三個(gè)節(jié)點(diǎn)的拉格朗日二次插值多項(xiàng)式為3.f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)]，4∑f（k/n）Pk(x)=x9.當(dāng)時(shí)，。10.代數(shù)式______________,__________________.11.已知方程組，那么收斂的迭代格式為：，收斂的迭代格式為：收斂理由是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,12.已知線性方程組，那么收斂的Jacobi迭代格式：12.化為線性方程2.調(diào)整排序收斂的G-S迭代格式：。收斂理由是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,13.求積公式至少有n次代數(shù)精度的充要條件是________它是插值型____________;當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，牛頓-柯特斯公式至少有___n+1__P103_____次代數(shù)精度；高斯求積公式至少有_____2n+1_P116____次代數(shù)精度。14.設(shè)，則矩陣的特征值的界為（2.2）與7的和、差為界，矩陣的特征值的界為界的倒數(shù)。max（1<=i<=n）∑(j(1,n))|aij|等價(jià)于每一列中最大值的和max（1<=j<=n）∑(i(1,n))|aij|等價(jià)于每一行中最大值的和作業(yè)第五章12P11615.已知，，那么________,________,________,________,________,________,其中相等的范數(shù)有_____________________________.二、判斷題1.如果插值節(jié)點(diǎn)互不相同，則滿足插值條件的次插值多項(xiàng)式是存在且唯一。（x）2.迭代改善法能夠解決一切方程組的病態(tài)問題。（x）3.區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到三階的連續(xù)函數(shù)。（）4.已知，，那么。（1）5.求解的近似值，我們能用函數(shù)逼近的插值法，解方程的二分法以及迭代法中的牛頓法來完成。（1）6.插值法是函數(shù)逼近、數(shù)值微分和微分方程數(shù)值解的基礎(chǔ)。7.。（）8.在使用松弛法（SOR）解線性代數(shù)方程組（1）時(shí)，若松弛因子滿足，則迭代法一定不收斂。（1）9.求解單變量非線性方程，弦截法具有1.618階收斂，拋物線法具有1.840階收斂，牛頓法具有2（1）階收斂。10.常微分方程初值問題數(shù)值解法的理論根據(jù)是函數(shù)的泰勒展開。（1）11.解單變量非線性方程，牛頓法在單根附近具有2階收斂，若再用Steffensen迭代法，則為3階（1）收斂。三、計(jì)算解答題和證明題1、已知函數(shù)表如下：0.00.20.40.60.81.00001.22141.49181.82212.2255構(gòu)造差分表，用三點(diǎn)牛頓插值多項(xiàng)式，求和的近似值。1.列出牛頓的插值表2.Px=f（x0）+……P322、用適當(dāng)?shù)亩尾逯刀囗?xiàng)式求和，并估計(jì)誤差，函數(shù)表如下：1.11.31.51.71.90.09530.26240.40550.53060.64193、試用最小二乘法求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)，并求出均方誤差，某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：P75（1）1345661.23.5（2）1234502254（3）（4）1345661.23.5-27-1512213-14、二分法求根作業(yè)第七章1(1)方程）;在[1,2]附近的根，使絕對(duì)誤差不超過0.01（絕對(duì)誤差估計(jì)式：在[1,2]附近的根，使絕對(duì)誤差不超過0.01;(2)方程(3)方程,在[-2,-1]附近的根，使絕對(duì)誤差不超過0.01。第六章5、用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠探M：(1);(2);(3).作業(yè)第四章146、寫出復(fù)合梯形公式、復(fù)合辛普生公式、復(fù)合柯特斯公式及龍貝格公式之間的關(guān)系，并用龍貝格方法計(jì)算積分，誤差限不超過。7、寫出復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛普生公式、復(fù)化柯特斯公式及龍貝格公式關(guān)系式，并計(jì)算積分，已知，，，8、設(shè)方程組，寫出迭代法和迭代法的迭代格式，并證明它們是收斂的。9、對(duì)常微分方程初值問題（1）（2）（3）取步長較。分別用Euler法和標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta法作數(shù)值計(jì)算，列表寫出結(jié)果，并與準(zhǔn)確值比10、求，至少用三種方法求值，并簡(jiǎn)要敘述求解過程。11、設(shè)是正交矩陣，證明。12、（1）當(dāng)（2）時(shí)，；；（3）如果是正交陣，則13、證明：適當(dāng)選取待定參數(shù),求積公式。的代數(shù)精度可達(dá)到。14、試證明：適當(dāng)選取待定參數(shù),，，求積公式的代數(shù)精度可達(dá)到。15、證明Chebyshev多項(xiàng)式滿足微分方程。16、已知方陣，（1）證明：不能分解成一個(gè)單位下三角陣和一個(gè)上三角陣的乘積；（2）試通過交換的行，進(jìn)行二、課本習(xí)題分解。1．每章的“復(fù)習(xí)與思考題”2.P48,2,4,8,16;P94,7,10,13,16,19;P135,1,14;P176,7,8,9,10,13,19,20;P209,1,2;P238,1,3,7,12;P275,1,2;P315,1,4,10.1.(10分）對(duì)常微分方程初值問題取步長分別用改進(jìn)的Euler法和標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta法作數(shù)值計(jì)算,寫出公式和簡(jiǎn)要推導(dǎo)過程，并把結(jié)果填入表內(nèi)。解：（1）改進(jìn)的Euler方法：代入公式得（2）標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta方法：，即…2分即……（4分）改進(jìn)的Euler法經(jīng)典四階R-K法準(zhǔn)確值0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.90500000.81902500.74121760.67080200.60707580.54940350.49721020.44997530.40722760.36854100.90483750.81873090.74081820.67032030.60653090.54881200.49658560.44932930.40657000.36787980.90483740.81873080.74081820.67032000.60653070.54881160.49658530.44932900.40656970.36787942.對(duì)常微分方程初值問題取步長分別