圓錐曲線的切線與法線

型-3隱函數(shù)的微分((甲)隱函數(shù)的微分討論曲線的切線，本是幾何中的一個(gè)重要題材；但是，許多曲線並不是函數(shù)圖形，對(duì)於這類曲線，前面利用微分一個(gè)函數(shù)來(lái)求切線斜率的方法，無(wú)法直接利用在這類的曲線上。而我們知道基本上求曲線上一個(gè)點(diǎn)的切線，只須要這個(gè)點(diǎn)附近的圖形即可，因此可將曲線分成若干部分，使每一個(gè)部分都是函數(shù)圖形，再微分通過(guò)這個(gè)切點(diǎn)的函數(shù)，求出切線斜率，進(jìn)一步求出切線的方程式。2212-6例：試求9+4=1以點(diǎn)("5",虧)為切點(diǎn)的切線方程式。22(一)利用函數(shù)圖形：橢圓x9+4=i不是函數(shù)圖形，(二)利用隱函數(shù)的微分法:顯函數(shù)與隱函數(shù)：x前面所提的函數(shù)，都是以x表示叫做顯函數(shù)(explicitfunction),例如：y=x3-x，y=x+" 2都F(x,y)=0y=f(x)yxyxx2 2_4x的隱函數(shù)(implicitfunction)b如方程式x-xy+y-4=0可定義出一個(gè)函數(shù)y=f(x)=二，x=1。x2-xy+y-4=0yx的隱函數(shù)。隱函數(shù)的微分：F(x,y)=0y=f(x)yx表示，有時(shí)亦很困難，例如：siny+2y+x=0，甚至不可能。在此情形下，我們可將yx的可微分函數(shù)，全式x微分，即可求得黑，此方法稱為隱函數(shù)的微分法。若假定y=f(x)y=f(x)在曲P(xo,yo)的導(dǎo)數(shù)，記做

|(yX00

或埶。

dy dx例如：F(x,y)=x2+y2-4=0，將y視為x的可微分函數(shù)，全式對(duì)x微分，則~2-3-1~糸(F(x,y))=224)=02x+2ydX=0Hx亍，y。

222［1］2x2+xy+y2-4=0P(-1,2)為切點(diǎn)的切線方程式。Ansy-2=3(x+1)［2］xy+y2-x2=1試以隱函數(shù)的微分法求Ans：孵魁，軌（^（練習(xí)1）試由方程式y(tǒng)3+3xy+x3-5=0，求y'=?Ans：y/=-x+^2 2dy（練習(xí)2）試由3x-2xy-y=3,求韻（1,0）。Ans：3（練習(xí)3）對(duì)方程式x2-2xy-3y2+2x-y-3=0，令y=f（x），試求（1）f/（x）。⑵過(guò)點(diǎn)（1,-1）之切線方程式。Ans:（1）2x+6f（x）+1⑵x-2y-3=°（4）xy^1在點(diǎn)（彳；2）的切線及法線方程式。Ansx+y=x-y=0［例題3］利用上述的隱函數(shù)微分的方法，我們可以討論一般圓錐曲線的情形：設(shè)p（xo,yo）為圓錐曲線ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0上一點(diǎn)，則過(guò)p（xo,yo）的切線方程式:axox+b（x0y2xy0）+cyoy+d（x0+x）+e（y0+y）+f=O證明：~2-3-2~［例題4］（已知切點(diǎn)=切線）試求過(guò)曲線2x2+xy+y2V=0上一點(diǎn)（-1,2）之切線方程式。Ans：2x-3y+8=0［例題5］（已知切線=切點(diǎn)）22x-4y+11=0為】：x+4y+2xT9=0的一條切線，求其切點(diǎn)的坐標(biāo)Ans：（-3,2）(練習(xí)5)求雙曲線x2_4y2_16y—17=0上以點(diǎn)(1,一2)為切點(diǎn)的切線方程式。Ansx-0(6)2x2+xy+y2—4=01,2)Ans：2x-3y+8=03x+2y-1=0(練習(xí)7)求曲線x2+xy-2y2=4上與5x-2y=0平行的切線。Ans：5x「2y=±8過(guò)曲線外一點(diǎn)過(guò)曲線外一點(diǎn)(X0,y°)求切線：(1)設(shè)切點(diǎn)(a,b)找二個(gè)條件求(a,b)：切線過(guò)切線過(guò)(a,b)求斜率函數(shù)，斜率(切線)=斜率(斜率函數(shù))(2)(2)y-y0=m(x-X0)代入曲線(二次式)，D=0nm。［6］2x2+y2+4x-2y-6=0P(2-2)Ans4x+y-6=0，y+2=0(練習(xí)8)設(shè)P點(diǎn)是拋物線丨：y2=4x外一點(diǎn)，已知過(guò)P點(diǎn)有二直線與-相切，其斜率分別為2廠3，斜率為2的切線方程式為 ，P點(diǎn)的坐標(biāo)為 。1 11Ans：y-^2(^-),^-,-)(83日大自)4 6622~2-3-3~(練習(xí)9)自點(diǎn)(-1,5)至雙曲線x-2y=7作切線，求其方程式。 Ans：3x+2y-7=0及19x-6y+49=0(練習(xí)10)給予雙曲線x2-4y2-2x-3=0,則⑴過(guò)(-3八3)之切線為 。(2)過(guò)(3,-1)之切線為 。(3)過(guò)(1,0)的切線為 。Ans：(1)x3y=0(2)x-3=0(3)不存在。y(x+1)2 2y(練習(xí)11)自點(diǎn)(2,6)作橢圓^-^+16=1之切線，求其方程式。 Ans:5x-9y+44=0及x=222(12)a>03x+ay=12與橢圓倉(cāng)+治=1Aa之值為坐標(biāo)為 。Ans：a=2，(2,3)

，又A點(diǎn)的(練習(xí)13)試求垂直於8x9^6而與雙曲線9x2-4y2 18x16y=0相切的直線方程式。 Ans:2(練習(xí)14)在y軸上一點(diǎn)A(0,a)引拋物線y=x2-2x+3的兩條切線互相垂直，則a=？又兩條切線的方程式為何？ Ans：a=4，y=(-2二.5x)+7~2-3-4~2 x 2(15)16(16)雙曲線務(wù)

9=1在直線x_y+10=0上之正射影長(zhǎng)為 22-弋=1具有斜率為m之切線，求m之範(fàn)圍綜合練習(xí)

Ans：52Ans：m>^m求過(guò)點(diǎn)(1,-5)x2y24x-2y-4=0相切之直線方程式。Ans：3x+4y+17=0，x-1=01n 1n cosx+cosy=2P&g)的切線方程式。Ansy-§—3(x-功A、B4x+y=5xy=1A、B位於該雙曲線的同一支上。在該分支上求一點(diǎn)C,使雙曲線在C的切線與AB平行，則C的坐標(biāo)為 ，1 3ABC的面積為 。Ans：Cg,2)，§過(guò)原點(diǎn)0作拋物線y=x2+x+a之二切線互相垂直，則a值為 ，又此二切線的方程式1為 。Ans：a=2，y=(1二2)xf為一可微分函數(shù)，Py=f(x)0oP點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,f(a))a+f(a)f/(a)=0oy=f(x)0Py=f(x)P線。(85日大自然)22a>0，0(0,0)ay=a-xP(s,t)(s>0)P作拋物線之切線,4\f32a交x,y軸於Q,R兩點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)變動(dòng)時(shí)，QOR面積的最小值。 Ans： 9 (87自) 拋物線y=x2-4x+3與直線y=-2x+a相切則Ua= 又切點(diǎn)的坐標(biāo)是 。Ans：2，(1,0)y=2y2=2x上之8二點(diǎn)P，Q反(如圖)，求PQ之長(zhǎng) Ans:2582202*=1(a>b>0)A,BABO最小值ab/