固體物理習(xí)題詳解

54第五章固體的能帶理論1。布洛赫電子論作了哪些基本近似？它與金屬自由電子論相比有哪些改進(jìn)?解：布洛赫電子論作了3條基本假設(shè)，即①絕熱近似，認(rèn)為離子實(shí)固定在其瞬時(shí)位置上，可把電子的運(yùn)動與離子實(shí)的運(yùn)動分開來處理；②單電子近似，認(rèn)為一個(gè)電子在離子實(shí)和其它電子所形成的勢場中運(yùn)動；③周期場近似，假設(shè)所有電子及離子實(shí)產(chǎn)生的場都具有晶格周期性.布洛赫電子論相比于金屬自由電子論，考慮了電子和離子實(shí)之間的相互作用，也考慮了電子與電子的相互作用.2。周期場對能帶形成是必要條件嗎？解：周期場對能帶的形成是必要條件,這是由于在周期場中運(yùn)動的電子的波函數(shù)是一個(gè)周期性調(diào)幅的平面波,即是一個(gè)布洛赫波。由此使能量本征值也稱為波矢的周期函數(shù)，從而形成了一系列的能帶。.一個(gè)能帶有N個(gè)準(zhǔn)連續(xù)能級的物理原因是什么？解：這是由于晶體中含有的總原胞數(shù)N通常都是很大的，所以k的取值是十分密集的，相應(yīng)的能級也同樣十分密集,因而便形成了準(zhǔn)連續(xù)的能級。.禁帶形成的原因如何？您能否用一物理圖像來描述？解：對于在倒格矢K5中垂面及其附近的波矢k，即布里淵區(qū)界面附近的波矢k，由于h采用簡并微擾計(jì)算，致使能級間產(chǎn)生排斥作用，從而使E(k)函數(shù)在布里淵區(qū)界面處“斷開”，即發(fā)生突變，從而產(chǎn)生了禁帶?？梢杂孟旅娴膱D5.1來描述禁帶形成的原因：.近自由電子模型與緊束縛模在布有何界面?它禁有相同之處?示意圖解:所謂近自由電子模型就是認(rèn)為電子接近于自由電子狀態(tài)的情況，而緊束縛模型則認(rèn)為電子在一個(gè)原子附近時(shí)，將主要受到該原子場的作用，把其它原子場的作用看成微擾作用。這兩種模型的相同之處是:選取一個(gè)適當(dāng)?shù)木哂姓恍院屯陚湫缘牟悸搴詹ㄐ问降暮瘮?shù)集，然后將電子的波函數(shù)在所選取的函數(shù)集中展開,其展開式中有一組特定的展開系數(shù)，將展開后的電子的波函數(shù)代入薛定諤方程，利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性，可以得到一組各展

開系數(shù)滿足的久期方程。這個(gè)久期方程組是一組齊次方程組,由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值,由此便揭示出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)構(gòu)。6。布洛赫電子的費(fèi)米面與哪些因素有關(guān)？確定費(fèi)米面有何重要性？解：布洛赫電子的費(fèi)米面與晶體的種類及其電子數(shù)目有關(guān)。由于晶體的很多物理過程主要是由費(fèi)米面附近的電子行為決定的，如導(dǎo)電、導(dǎo)熱等,所以確定費(fèi)米面對研究晶體的物理性質(zhì)及預(yù)測晶體的物理行為都有很重要的作用。7。試述晶體中的電子作準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動的條件和準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動的基本公式。解:在實(shí)際問題中,只有當(dāng)波包的尺寸遠(yuǎn)大于原胞的尺寸,才能把晶體中的電子看做準(zhǔn)經(jīng)典粒子。準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動的基本公式有：p=p=%k；v=1VE(k)；力k力dkF= dt1_1a2E(k)m* 力2akakaB aB晶體電子的速度為晶體電子受到的外力為晶體電子的倒有效質(zhì)量張量為在外加電磁場作用下，晶體電子的狀態(tài)變化滿足：8。試述有效質(zhì)量、空穴的意義.引入它們有何用處?解：有效質(zhì)量實(shí)際上是包含了晶體周期勢場作用的電子質(zhì)量,它的引入使得晶體中電子準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動的加速度與外力直接聯(lián)系起來了,就像經(jīng)典力學(xué)中牛頓第二定律一樣，這樣便于我們處理外力作用下晶體電子的動力學(xué)問題。當(dāng)滿帶頂附近有空狀態(tài)k時(shí)，整個(gè)能帶中的電流，以及電流在外電磁場作用下的變化，完全如同存在一個(gè)帶正電荷q和具有正質(zhì)量m*、速度v(k)的粒子的情況一樣，這樣一個(gè)假想的粒子稱為空穴.空穴的引入使得滿帶頂附近缺少一些電子的問題和導(dǎo)帶底有少數(shù)電子的問題十分相似，給我們研究半導(dǎo)體和某些金屬的導(dǎo)電性能帶來了很大的方便。9.試述導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體能帶結(jié)構(gòu)的基本特征。解：在導(dǎo)體中，除去完全充滿的一系列能帶外，還有只是部分地被電子填充的能帶，后者可以起導(dǎo)電作用，稱為導(dǎo)帶。在半導(dǎo)體中,由于存在一定的雜質(zhì)，或由于熱激發(fā)使導(dǎo)帶中存有少數(shù)電子,或滿帶中缺了少數(shù)電子，從而導(dǎo)致一定的導(dǎo)電性。在絕緣體中，電子恰好填滿了最低的一系列能帶，再高的各帶全部都是空的,由于滿帶不產(chǎn)生電流，所以盡管存在很多電子,并不導(dǎo)電。10。說明德?哈斯―范?阿爾芬效應(yīng)的基本原理及主要應(yīng)用。解：在低溫下強(qiáng)磁場中,晶體的磁化率、電導(dǎo)率、比熱容等物理量隨磁場變化而呈現(xiàn)出振蕩的現(xiàn)象，稱為德?哈斯―范?阿爾芬效應(yīng).由于德?哈斯―范?阿爾芬效應(yīng)同金屬費(fèi)米面附近電子在強(qiáng)磁場中的行為有關(guān)，因而同金屬費(fèi)米面結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，所以德?哈斯―范?阿爾芬效應(yīng)成為人們研究費(fèi)米面的有力工具。11.一維周期場中電子的波函數(shù)“k(x)應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理。若晶格常數(shù)為。，電子的波函

數(shù)為兀(1)V(X)=sin—X；k a3兀(2)V(x)=icos——x；ka(3)V(x)=￡f(x-ia)(其中f為某個(gè)確定的函數(shù)).ki=-^試求電子在這些狀態(tài)的波矢.解：布洛赫函數(shù)可寫成V (X)=eikxu (X)，其中，u (X + a) =u (x)或?qū)懗蒚OC\o"1-5"\h\zk k k kV(x+a)=eikaV(x)kk\o"CurrentDocument"xx.x+a .x .、(1)V(x+a)=sin n=-sin—兀=-v(x)ka a kn故eika=-1 k=一a顯然有u(x+a)=u(x)kkTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"兀 n故V(x)=sin—x的波矢是一。kaaTOC\o"1-5"\h\z3(x+a) 3x.、(2)V(x+a)=icos n=-1cos—n=-v(x)ka a kn所以eika=-1 k=—aTOC\o"1-5"\h\z顯然有u(x+a)=u(x)kk\o"CurrentDocument"3n n\o"CurrentDocument"故V(x)=icos——x的波矢一。k a a(3)￡(3)￡f(x+a-ia)=￡f[x-(i-1)a]=￡f(x-ma)=V(x)k故 eika=1 k=0故V(X)=￡f(x-ia)的波矢為0.ki=-?要說明的是，上述所確定的波矢k并不是唯一的，這些k值加上任一倒格矢都是所需的解。因?yàn)閗空間中相差任一倒格矢的兩個(gè)k值所描述的狀態(tài)是一樣的。12。已知電子在周期場中的勢能為其中:a=4b，3為常數(shù)。(1)畫出勢能曲線，并求出其平均值；(2)用近自由電子模型求出此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度。

解:(1)解:(1)該周期場的勢能曲線如下所示:其勢能平均值為：(2)根據(jù)近自由電子模型，此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為其中U和U表示周期場U(x)的展開成傅立葉級數(shù)的第一和第二個(gè)傅立葉系數(shù)。1 2于是有故此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為13。已知一維晶體的電子能帶可寫成：E(k)=機(jī)(――coska+C-cos2ka)ma28 8式中a是晶格常數(shù)。試求(1)能帶的寬度；(2)電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度；(3)能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。解：(1)在能帶底k=0處，電子能量為 冗 ，一，一.在能帶頂k=-處，電子能量為a冗 2方2故能帶寬度為AE=E(-)-E(0)=——a ma2(2)電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度為(3)電子的有效質(zhì)量為于是有在能帶底部電子的有效質(zhì)量為m*=2m12在能帶頂部電子的有效質(zhì)量為m*=--m2314。平面正六角形晶格(見圖5。30)，六角形2個(gè)對邊的間距是a，其基矢為試求:圖5.30(1)倒格子基矢圖5.30(2)畫出此晶體的第一、二、三布里淵區(qū);(3)計(jì)算第一、二、三布里淵區(qū)的體積多大？解：（1）由題意可取a=k,那么根據(jù)倒格子基矢的定義有3（2）此晶體的第一、二、三布里淵區(qū)如下圖5.2所示圖5。2平面正六邊形晶格的布里淵區(qū)示意圖（3）由于各個(gè)布里淵區(qū)的體積都相等,且等于倒格子原胞的體積,所以第一、二、三布里淵區(qū)的體積為15.證明正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個(gè)自由電子的動能,比該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子動能大1倍。對三維簡單立方晶格,其相應(yīng)的倍數(shù)是多少？解：設(shè)正方格子的晶胞參數(shù)為。，則其相應(yīng)的倒格子也為一正方格子，并且其倒格子基2冗矢大小為——，由此可知位于該正方格子第一布里淵區(qū)角隅處的自由電子的波矢大小為aTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument", 七2冗 ，冗k=——，而位于該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子的波矢大小為3=—。1a 2a又由自由電子動能與其波矢的關(guān)系式E=生可知，正方格子第一布里淵區(qū)角隅處k2m方2冗2的自由電子的動能大小為E=——，而位于該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子的動能大小為k1 ma2方2冗2E= ，顯然有E=2E.k2 2ma2 k1 k2由此證得正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個(gè)自由電子的動能,比該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子動能大1倍。對三維簡單立方晶格,由相同的方法可以同樣證得其相應(yīng)的倍數(shù)為3。16.設(shè)kF表示自由電子的費(fèi)米波矢,k機(jī)表示空間中從原點(diǎn)到第一布里淵區(qū)邊界的最小距離，k/k求具有體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)的一價(jià)金屬的比值Fkm。解:對于體心立方結(jié)構(gòu)的一價(jià)金屬,其自由電子的費(fèi)米波矢為TOC\o"1-5"\h\z7 <2k 3<3.而k= ，故k/k=（――）1/3\o"CurrentDocument"ma Fm 2兀對于面心立方結(jié)構(gòu)的一價(jià)金屬,其自由電子的費(fèi)米波矢為7 %：3冗 4"'3'而k= ，故k/k=（――）1/3.maFm 3兀17。一矩形晶格，原胞邊長a=2x10t0m，b=4x10-10m.（1）畫出倒格子圖；（2）畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)；（3）畫出自由電子的費(fèi)米面.解油題意可取該矩形晶格的原胞基矢為a=ai,a=bj，由此可求得其倒格子基矢為12, 2冗.b=——i=3.14x10ioi,b=1.57義10ioj，由此可做出此矩形晶格的倒格子圖如下圖1a 25.3所示：? -1.57X1Oiom-i41t 4( 11 1? 4L 4t oh lih i?■■*■1?ji 4I f4t 1t 1S 4t 1圖5.3矩形晶格的倒格子(2)該矩形晶格的第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)如下圖5.4所示：圖5.4矩形晶格的第一和第二布里淵區(qū)(3)設(shè)該二維矩形晶格晶體含有N個(gè)電子，由于費(fèi)米面是k空間占有電子與不占有電子區(qū)域的分界面，所以有下式成立由此得 kF=、而(右)1/2=<2kn1/2N上式中n=—為該二維晶格晶體的電子密度。S于是可求得該二維晶格晶體的費(fèi)米面的半徑為由此可做出自由電子的費(fèi)米面如下圖5.5中圓面所示:圖5。5二維矩形晶格的費(fèi)米面圓18。證明：應(yīng)用緊束縛方法,對于一維單原子鏈,如只計(jì)及最近鄰原子間的相互作用,其s態(tài)電子的能帶為E(k)=E+4Jsin2(ka/2)min 。式中:Emi為能帶底部的能量；J為交疊積分。并求能帶的寬度及能帶頂部和底部電子的有效質(zhì)量.解:設(shè)s態(tài)的原子能級為￡，當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)的相互作用時(shí)，則用緊束縛方法可求得s該一維單原子鏈的s態(tài)電子能量為上式中J0=」|隼i()|2[。()—V()]d>0,J(R)=」①*(—R)U()—v()衿()d>o(其中u()表示晶體中的周s is i期性勢場,也即各格點(diǎn)原子勢場之和。V()為某格點(diǎn)的原子勢場)

由于s態(tài)波函數(shù)是球形對稱的，因而在各個(gè)方向重疊積分相同。在一維單原子鏈中，每個(gè)原子周圍有2個(gè)近鄰格點(diǎn)，其格矢分別為ai和-ai，由此可知一維單原子鏈的s態(tài)電子能量可化為：上式中J=J(ai)=J(—ai)=-fp*(—ai)[U()—V()]3()d>0ii兀由此可知,當(dāng)k=0時(shí)，即能帶底的能量為E =￡-J-2J；當(dāng)k=+-，即能帶頂mins0 a的能量為E =￡-J+2Jmaxs0于是可證得一維單原子鏈的s態(tài)電子能量為并且還可得能帶寬度為AE=E -E=4JmaxminTOC\o"1-5"\h\z,d2E 為2由此還可求得有效質(zhì)量m*(k)=%2/——= —dk2 2a2Jcoska .一.…一、一,一.一一 ，，冗、 方2于是可求得能帶頂部的電子有效質(zhì)量m*=m*(土一)=--一-a2a2J方2能帶底部的電子有效質(zhì)量m*=m*(0)=-一-2a2J19。設(shè)二維正三角形晶格中原子間距為a，試根據(jù)緊束縛近似的結(jié)果，求出能帶E(k)的表達(dá)式，并求出相應(yīng)的電子速度v(k)和有效質(zhì)量的各個(gè)分量maB。解：當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)的相互作用時(shí)，根據(jù)緊束縛近似可得該晶格由原子s態(tài)的形成的能帶表達(dá)式為TOC\o"1-5"\h\zE(k)=￡-J-ZJ(R)e-k-Rs (1)s0 sR=近鄰s上式中J0=」|隼i()|2[U()-V()]d>0，\o"CurrentDocument"J(R)=-13*(-R)[U()-V()2()d>0(其中U()表示晶體中的周s is i期性勢場，也即各格點(diǎn)原子勢場之和。V()為某格點(diǎn)的原子勢場)在此二維晶格中，取原點(diǎn)為參考點(diǎn),則其六個(gè)近鄰格點(diǎn)坐標(biāo)值為(a，(a，0)（-a,0）)，1 1 .3（一a-——a）（2， 21 .、巧（——a，一^—a）

2 2把近鄰格式R代入(1)式，并考慮到s態(tài)波函數(shù)的球?qū)ΨQ性可得:s

=￡一J=￡一J-2J[cosak+cos(ak+——s0 1 x 2x21ak)+cos(—ak一亙ak)]

2 /(2)上式中J表示原點(diǎn)所處格點(diǎn)與任一最近鄰格點(diǎn)的波函數(shù)的重疊積分的負(fù)值，并有1J>0。1由此可知相應(yīng)的電子速度為選取k，k軸沿張量主軸方向，則有m*=m*=0，而xy xyyx20。用緊束縛方法處理面心立方的s態(tài)電子，若只計(jì)及最近鄰相互作用，試導(dǎo)出其能帶為并求能帶底部電子的有效質(zhì)量。解：當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)的相互作用時(shí)，用緊束縛近似方法處理晶體的s態(tài)電子，其能帶E(k)的表達(dá)式可寫為上式中E=￡，A=」隼(D2[U(□)-V(□)]加/r