2022年2022年專升本高數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總2第二章導(dǎo)數(shù)與微分

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分【考試要求】.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義,了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)..會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程..熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法..掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法,會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)..理解高階導(dǎo)數(shù)的概念,會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的〃階導(dǎo)數(shù).6?理解函數(shù)的微分概念,掌握微分法則,了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系,會(huì)求函數(shù)的ー階微分.【考試內(nèi)容】一、導(dǎo)數(shù)（-）導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)七的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量エ在七處取得增量1（點(diǎn)七+ぶ仍在該鄰域內(nèi)）時(shí),相應(yīng)的函數(shù)取得增量每=/（毛+-）-/（%〇）;如果Ay與想之比當(dāng)Arf0時(shí)的極限存在,則稱函數(shù)y=ハス）在點(diǎn)小處可導(dǎo),并稱這個(gè)極限為函數(shù)ド=/（%）在點(diǎn)％〇處的導(dǎo)數(shù),記為ア'（%〇）,即八%。）=而包=lim盤ムと△む,

也可記作必“か布或誓說明:導(dǎo)數(shù)的定義式可取不同的形式,常見的有,（%0）=lim/（&+"）二）色）和,（ム）=lim/は）ーハる）;式中萬，0 h 工-?廠 x-x0的〃即自變量的增量盤..導(dǎo)函數(shù)上述定義是函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo).如果函數(shù)y=/（%）在開區(qū)間，內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo),就稱函數(shù)”よ）在區(qū)間/內(nèi)可導(dǎo).這時(shí),對(duì)于任一％g/,都對(duì)應(yīng)著ハス）的ー個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值,這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù),這個(gè)函數(shù)就叫做原來函數(shù)y=八%）的導(dǎo)函數(shù),記作ブ,廣は），蟲或也ユ.顯然,函數(shù)“め在點(diǎn)七處的dxdx導(dǎo)數(shù)づは〇）就是導(dǎo)函數(shù)rは）在點(diǎn)X=/處的函數(shù)值,即尸は。）=/は）.單側(cè)導(dǎo)數(shù)（即左右導(dǎo)數(shù)）根據(jù)函數(shù)〃め在點(diǎn)入。處的導(dǎo)數(shù)的定義,導(dǎo)數(shù)ヂは。）=limルデ二0R是ー個(gè)極限,而極限存在的充分必要條件是左右極限都存在并且相等,因此/‘は。）存在（即〃よ）在點(diǎn)X。處可導(dǎo)）的充分必要條件是左右極限!im八/+〃）一ハX。）萬メー h及所"…）ーのメ。）都存在且相等.這兩個(gè)極限分別稱為力5）+ h

函數(shù)人よ）在點(diǎn)七處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù),記作ぐは。）和ぐは0）,即 r（x0）=lim/（?+--/（.） ,Eは。）=lim"ち+ッゴ（固）.現(xiàn)在可以說,函數(shù)人幻在點(diǎn)エ。處ルメ+ h可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)プは。）和右導(dǎo)數(shù)ん’は。）都存在并且相等.說明:如果函數(shù)1y?は）在開區(qū)間（。,か內(nèi)可導(dǎo),且ぐ3）及ぐ?都存在,就說イは）在閉區(qū)間タ上可導(dǎo)..導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=八%）在點(diǎn)七處的導(dǎo)數(shù)r（不）在幾何上表示曲線>=/は）在點(diǎn)Mは。,アは0））處的切線的斜率,即f'は:。）=tana,其中a是切線的傾角.如果y=アは）在點(diǎn)%。處的導(dǎo)數(shù)為無窮大,這時(shí)曲線ド=>/1は）的割線以垂直于ス軸的直線％=%為極限位置,即曲線y=/Iは）在點(diǎn)Mは。,/は。））處具有垂直于ズ軸的切線x=xQ.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程,可得曲線y=1y?は）在點(diǎn)%）處的切線方程和法線方程分別為:切線方程:y-y。=7'は。）は7。）；法線方程:y-%=-J?スはーX〇）?アは〇）.函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

如果函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處可導(dǎo),則fは)在點(diǎn)x0處必連續(xù),但反之不一定成立,即函數(shù)y=ハよ)在點(diǎn)七處連續(xù),它在該點(diǎn)不一定可導(dǎo).(二)基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(C)'(1)(C)'=0；(3)(sinx)z=cosx；(5)(tan%)'=sec2x；(7)(secx)z=secxtanx；(9)(優(yōu))'二優(yōu)Ina；(H)(log?x)'=-i-；xma(13)(arcsinx)'=-J ；(15)(arctanx)'=—二;1+(2)はケ="ピT；(4)(cos%)'=-sin%；(6)(cotx)'=-esc犬5(8)(escx)'=-escxcotx；(10){exS=ex；(12)(lnx)'=-；X(14)(arccosx)'=————；(16)(arccotx)'= 二,1+.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)〃=〃は),レ=ソは)都可導(dǎo),則(1)(M±V)'=?'±V'；(C“)'=C〃’(C是常數(shù))；(wv)'=u'v+uv'；(4)ご)，=嗎叱("。ユV V

3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f?，而“=g（x）且ア（〃）及g（x）都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=/ig（%）］的導(dǎo)數(shù)為孚=半.半或y（x）=r??g'（x）.axduax（三）高階導(dǎo)數(shù)1.定義一般的,函數(shù)y=ハ%）的導(dǎo)數(shù)ダ=/は）仍然是ズ的函數(shù).我們把ダ=尸は）的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=/は）的二階導(dǎo)數(shù),記作ザ或喫,即ダ=（ジ或卓=よ半］.相應(yīng)地,把yづは）的導(dǎo)dx- dx\dxJ數(shù)f'は）叫做函數(shù)y=/"は）的ー階導(dǎo)數(shù).類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù),…,一般的,（〃ー1）階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做〃階導(dǎo)數(shù),分別記作ym,y4）,???,嚴(yán)或り,㈢，…,也.厶3dx dx"函數(shù)y=八龍）具有〃階導(dǎo)數(shù),也常說成函數(shù)＜y?は）為〃階可導(dǎo).如果函數(shù)人X）在點(diǎn)ズ處具有〃階導(dǎo)數(shù),那么ハ尤）在點(diǎn)ス的某ー鄰域內(nèi)必定具有一切低于〃階的導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).（四）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則由方程ドは,y）=0所確定,即如果方程ドは,y）=0確定了一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=7は）,則稱メ=アは）是由方

程頃尤,y)=0所確定的隱函數(shù)形式.隱函數(shù)的求導(dǎo)方法主要有以下兩種:.方程兩邊對(duì)X求導(dǎo),求導(dǎo)時(shí)要把y看作中間變量.例如:求由方程"+盯ーe=0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)セ.dx解:方程兩邊分別對(duì)カ求導(dǎo),(/+サーe)；=(0)；,得/也+>％蟲=〇,從而包ニー」.dxdx dx x+e'.一元隱函數(shù)存在定理包=一與.dxF；例如:求由方程"+りーe=0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)セ.dx解:設(shè)F(x,y)=ey+xy-e,則ー上一とヘツー,.dxF[d/ア丄、 e'+xy~(e+xy-e)oy(五)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地,若參數(shù)方程「二，ス確定y是ズ的函數(shù),則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由該參數(shù)方程所確定的函數(shù),其導(dǎo)數(shù)

為セ=%,上式也可寫成包=dx(p(t) dx今一カーdrー人其二階導(dǎo)函數(shù)公式為セ="⑺"⑺「陽"⑺.今一カーdrー人(六)幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地,對(duì)于形如〃(%)"")(u(x)>0?〃(尤)wl)的函數(shù),通常稱為累指函數(shù).對(duì)于幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通常有以下兩種方法:.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法將專指函數(shù)〃はジ⑺利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化為的形式,然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo),最后再把結(jié)果中的メ⑺加心)恢復(fù)為〃は)心)的形式.例如:求毫指函數(shù)ツ=ガ的導(dǎo)數(shù)包.dx解:因が=/nx,故包=a(exm')=/nx.(xln%y=%'(l+ln%).dxdx、ノ.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)原函數(shù)兩邊取自然對(duì)數(shù),然后看成隱函數(shù)來求y對(duì)ス的導(dǎo)數(shù).例如:求幕指函數(shù)丫=バ的導(dǎo)數(shù)包.dx

解:對(duì)幕指函數(shù)y=x"兩邊取對(duì)數(shù),得Iny=xlnx,該式兩邊對(duì)エ求導(dǎo),其中y是よ的函數(shù),得---=l+lnx,故ydx—=y(l+In%)=xA(l+Inx).dx二、函數(shù)的微分.定義:可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)％0處的微分為dyx=Xo=f'(x0)dx:可導(dǎo)函數(shù)y=/(%)在任意一點(diǎn)ズ處的微分為dy=f'(x)dx..可導(dǎo)與可微的關(guān)系函數(shù)y=ハ尤)在點(diǎn)x處可微的充分必要條件是y=人龍)在點(diǎn)ス處可導(dǎo),即可微必可導(dǎo),可導(dǎo)必可微..基本初等函數(shù)的微分公式d(C)-Odx；(3)d(sinx)=cosxdx；(5)J(tanx)=sec2xdx；(7)d(secx)=secxtanxdxd(cscx)=-cscxcotx厶；(9)d{ax)=ax\nadx；(11)d(log“x)=—dx；(2)d(x")=〃(2)d(x")=〃x"T厶5(4)d(cosx)=-sinx厶;(6)d(cotx)=—cscxム:(8)(10)d(ex)=exdx；(12)J(lnx)=—dx；x(14)(16)(13)d(arcsinx)=, dx(14)(16)yjl-X?d(arccosx)=——pJ——dx；Vl-x2(15)6Z(arctanx)=—^rdx ；1+廠6/(arccotx)= ニム?1+.函數(shù)和、差、積、商的微分法則設(shè)函數(shù)〃=〃(%),レ=レ(%)都可導(dǎo),則d{u+v)=du±dv；d(Cu)=Cdu(C是常數(shù))；d(uv)=vdu+udv；/ハ““、vdu—udv/ハ、d(—)= ；——(uwO).vv.復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)y=/(?)及u=g(x)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[g(%)]的微分為お=,&=f'(〃@(%)<〃.由于g'(x)dx=d〃,所以復(fù)合函數(shù)V=/[gは)]的微分公式也可寫成か=/'(")"〃或dy=y'udu.由此可見,無論〃是自變量還是中間變量,微分形式dy=/"(〃)イ〃保持不變.這ー，性質(zhì)稱為微分形式的不變性.該性質(zhì)表明,當(dāng)變換自變量時(shí),微分形式お=/(〃)力/并不改變.【典型例題】

【例2-1】以下各題中均假定イ’は。）存在,指出A表示什么..前盤?匕込2=ん解:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式,因AxfO時(shí),-AxfO,故limアは?！?0%。）=_iim/（%「以）—/■）=ゴ，?）,-Ax ぶf0 —Ax即A=-/（x0）..設(shè)lim△2=厶,其中ア（〇）=〇,且ハ〇）存在.5x解:因ハ0）=0,且:⑼存在,故lim^^=limノは）一ハ°）二イ（〇）,即ん=尸（0）.ー。xスメx-03.limル。+かーf。。ー⑶5.解:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式,因/z->0時(shí),-//->0,故=ヂ（天）+ハる）=2ハア）,即A=2f（x0）.【例2-2］分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問題.—ズス<11.討論函數(shù)人x)=3' 在x=l處的可導(dǎo)性.X2,X>1解:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式,二32/'(I)=lim,"めーハ1)=lim^——=-lim(x2+x+l)=2,5 X-1 5X-1 35

r2_±，，小r r 3f+（1）=lim- =lim -=+oo,5 x-I田x-1故Iy?は）在％=i處的左導(dǎo)數(shù)ぐ⑴=2,右導(dǎo)數(shù)不存在,所以ア（元）在%=i處不可導(dǎo).2.討論函數(shù)ア（x）2.討論函數(shù)ア（x）=<2? 1xsin一,

x。,在％=0處的可導(dǎo)性.x=0解:因尸（〇）=解:因尸（〇）=lim/⑴二/⑼

ー。x-0x2sin——0 ]=lim =limxsin—=0,故函數(shù)アは)在％=0處可導(dǎo).3.已知函數(shù)バ%)=[ザ'九"1在工=1處連續(xù)且可導(dǎo),求常[ax+b,x>1數(shù)a和わ的值.解:由連續(xù)性,因7⑴=1,/(r)=lim/(x)=limx2=l,/(1+)=lim/(x)=lim(ax+b)=a+b,從而a+Z?=1 ①再由可導(dǎo)性,尸⑴=lim ~△り=lim———-=lim(x+l)=2,XT廠 X—1 XT廠%—1X->rガ⑴=lim八")ニハD=而”叱1,而由①可得ろ=1ー。,代Xf+X-lXT1+X-\入ぐ⑴，得X'(l)=lim^(1)-=lim=a尸⑴二刀⑴可得。=2,代入①式得人=-1.【例2-3］已知，は）=ド血匹x<0,求rは）.x,x>0解:當(dāng)％<0時(shí),/"は)=(sinx)r=cosx,當(dāng)工20時(shí),/は)=は)'=1,當(dāng)x=0時(shí)的導(dǎo)數(shù)需要用導(dǎo)數(shù)的定義來求.夕/ハ、1. 7(%)一ア(0) 1.sin%1/(0)=lim ——=lim =],x—0 スー。ーX./ハ、r/(x)-/(0) x-0九(0)=hm- ——=lim =1,x-0 x->o+x, , ,, [cosx,x<0￡(0)=￡(。)=1，故ハ。)=1，從而尸は)=I、ハ1, x>0【例2-4】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).y=e”(sin%+cosx).解: y'=(e")'(sin%+cos%)+e*=2excosx.へ .2xy=sin .\+x2’ 2丫、 ワx厶刀 r ? ムハ ,人角牛: y=sm =cos ヽ 1+スー丿 !+?2(1-％2)2x= -cos ラ.(1+r)? 1+X"y=lncos(e*).解: y=[incos(げ)]=し(匕\=-extan(ex).y=ln(x+J1+ギ).解:y'=「ln(Jt+Jl+12)= ；L 」x+y/1(sinx+cosx)'(2xYJU+x2Jf■cos(ex) ，(x+a/1+廠)+x2_1【例2?5】求下列幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1.だゴ內(nèi)(X>0).解: ザ=(ゴMッ=ゼ"*")'二esinxlnx.(如X)'=xsinx(cosxlnx+ -).X說明:本題也可采用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,即:對(duì)基指函數(shù)y=/n、兩邊取對(duì)數(shù),得Iny=sinxlnx,該式兩邊對(duì)よ求導(dǎo),其中y是ズ的函數(shù),得=cosxlnx+sinx故 y9故 y9=y(cosxInx+sinx?—)X, ヽX2.y=A (x>0).11+%丿「 I'L 1'，"ヽ” .xAn .［X x\n- x解:y= =e,+x=e_U+エ丿」し_丄］ヾl+x丿y1+x1+x丿說明:本題也可采用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法兩邊取對(duì)數(shù),得iny=x\n-^—,1+X=xsinx(cosxlnx+ ).X,X r 〃、’- Ix"X?xln \ 1+%丿即:對(duì)幕指函數(shù)ア=［上］11+%丿該式兩邊對(duì)ズ求導(dǎo),其中y是ズ的函數(shù),得1 ,,X1+x—■y1 ,,X1+x—■y=ln F% y1+xx(白=ln—l+x1+xy,=y\inIn—l+xl+x丿【例26】用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1.y=x-v(x>o).解:等式兩邊取對(duì)數(shù),得xlny=)，lnx,兩邊對(duì)x求導(dǎo),注意y是x的函數(shù),得lny+二,y'=y'lnx+丄,整理得(--Inx)^'=--In,y x y x2.y2flnyx22.y2flnyx2-xylnx解:等式兩邊取對(duì)數(shù),得lny=lnx2+1 1]x2解:等式兩邊取對(duì)數(shù),得lny=ln&2+22 +221ny=ln(x?+1)-1ln(x?+2),也即 10Iny=5ln(x2+1)-ln(x2+2),兩邊對(duì)x求導(dǎo),注意y是x的函數(shù),得兩邊對(duì)x求導(dǎo),注意y是x的函數(shù),得10, 10x2x—y= yx~+1x?+2ノ10x2xゝブ=上? 10ば2+1x2+2【例2-7】求下列抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)..已知函數(shù)ギナは）可導(dǎo),求函數(shù)y=/（e熹）的導(dǎo)數(shù)セ.dx解:キ=キ/(戸)dxdx1111—/（ザ而ス）.（ザ加ッ,=/（6えリ,ザ而エsmx解:キ=キ/(戸)dxdx1111—/（ザ而ス）.（ザ加ッ,=/（6えリ,ザ而エsmxsin,v-cosxsinxcosxsin2x.設(shè)函數(shù)，（x）和g（尤）可導(dǎo),且尸（尤）+g2（尤）工0,試求函數(shù)y=イr(尤)+g"%)的導(dǎo)數(shù)dx解:[r(X)+g2(%)[解:2，/-(x)+g-(%)2/(%)/'(x)2/(%)/'(x)+2g(x)g\x)

2y]f\x)+g\x)=/(%)/'は)+gは)g'は)— 7?は)+g2は)【例2-8】求由下列方程所確定的隱函數(shù)y=yは）的導(dǎo)數(shù).1.x2—xy+y1=0.解:方程兩邊分別對(duì)エ求導(dǎo),得2%-y-ス也+2y也=0,dxdx整理得はー2y）包=2x-y,故包=汩2.dx dxx-2y說明：此題也可用隱函數(shù)存在定理來求解,即:設(shè)F（x,y）=x2-xy+y2,則dy=F:=2%_y .dxF；-x+2yx-2y

解:方程兩邊分別對(duì)エ求導(dǎo),得電=0+/+%/?蟲,dx dx整理的(1-ズげ)蟲=",故包=_J.dx dx1-xe'說明:此題也可用隱函數(shù)存在定理來求解,即：設(shè)F(x,y)=l+xey-y,則ゆ=工ー一ユ=上-.dxF；xe'-11-xey【例2-9】求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=y(%)的導(dǎo)數(shù).め.ーカームー力?力一力ムーガ

-め.ーカームー力?力一力ムーガ

-1+rr+z-

カーム-1-Iかーム

刀牛?犀

角2角1+1—t(M(M【例2-10】求下列函數(shù)的微分./(x)=tan2(1+2x2).

解:因f\x)=[tan2(1+2x2)],=2tan(l+2x2)-sec2(1+2x2)-4x,故お=于’3dx=8xtan(l+2x2)sec2(1+2x2)dx.f(x)=e^解:因/,{x)=TOC\o"1-5"\h\z戶丫 信-2-x x產(chǎn)解:因/,{x)=丿2y/l-x2 Vl-X21Z xノ^故dy=f\x)dx=——.dx.Vl-x2f(x)=x2arctanVx-1.1TOC\o"1-5"\h\z解:因/'(x)=(x2arctany/x-\\=2xarctany/x-\+x2 ,ヽ ' 1+x-lr ノ故dy=f'(x)dx=2xarctanV-X-l+ , dx.L 2%ムー1」/(x)=sin2xln(l+x2).解 : 因f\x)=[sin2xln(l+x2)]=2sinxcosxln(l+x2)+sin2x- ,故dy=f'(x)dx=sin2xln(l+x2)+ 『dx.1+x【例2-11］求曲線y=xe、在點(diǎn)(0,1)處的切線方程和法線方程.解:ブ=卜"ヴ=ぎ，^二,九カ=1,故曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y-l=l?(x-0),即x-y+l=0;法線方程為y-1=-l-(x-0)即x+y-1=0.

【例2-12】求曲線デ+り+ブ=4在點(diǎn)(2,-2)處的切線方程和法線方程.解:這是由隱函數(shù)所確定的曲線,按隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù),有2x+y+xy'+2y-y'=0f即プ=ーハ+’5由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,x+2y曲線在點(diǎn)(2,-2)處的斜率為/x_2=2￡±2 =1,故曲線在y=-2X+2yy=-2點(diǎn)(2,-2)處的切線方程為y+2=l(x-2)9即x-y-4=0;法線方程為y+2=—l?(x—2),即ス+y=0.【例2-13I求橢圓ド"2c°s’在點(diǎn)公エ處的切線方程和法線方y(tǒng)=4sinZ4程.解:將［=三代入橢圓方程,得曲線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(血,2血)，4又 /=X=4cos￡=_2cotf ,切線斜率為xt-2sinty',=-2cotr.=-2,故所求切線方程為t= t=—ソー2&=-2はー0),即2x+y-4點(diǎn)=0;所求法線方程為y-2V2=-1(x-V2),即x+2y-542=0.【歷年真題】ー、選擇題(2010年,1分)已知，")=1,則limバ1一2—)一/⑴等于&?.f° Ax

(A)1(B)-1(A)1(B)-1(C)2（D）-2解: 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,同加ー2Ax）一川）=_2Um川+（-2a）］一川）ぶ-*0 Ax 叔->0 —2Ax=一2/⑴=一2,選（D）.（2010年,1分）曲線メ二デ在點(diǎn)（口）處的法線方程為（）（A）y=x （B）y=——+—22（C）y=-+- （D）y=----22 22解:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線的斜率&=ブし=2%レ=2,故法線方程為y-l=——（x-1）,即y= F—,選（B）.2 22（2010年,1分）設(shè)函數(shù)イは）在點(diǎn)エ處不連續(xù),則（）（A）rは;0）存在 （B）rは0）不存在（C）limアは）必存在 （D）fは）在點(diǎn)九〇X—>00處可微解:根據(jù)“可導(dǎo)必連續(xù)”,則“不連續(xù)一定不可導(dǎo)”,選項(xiàng)（B）正確.（2009年,1分）若lim十?ーA演一/?）=ん則ん=（ ）ハメ h

（A）（A）rは。）(C)O(D)解:A=limfは。+力ー”%。ー〃）

71fo h=r（M）+r1）=2，（エ。）,選項(xiàng)（B）正確.（2008年,3分）函數(shù)〃エ）=W,在點(diǎn)％=0處アは）（ ）（A）可導(dǎo) （B）間斷 （C）連續(xù)不可導(dǎo)（D）連續(xù)可導(dǎo)解:由yは）=國(guó)的圖象可知,，は）在點(diǎn)％=0處連續(xù)但不可導(dǎo),選項(xiàng)（C）正確.說明:アは）=區(qū)的連續(xù)性和可導(dǎo)性,也可根據(jù)連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的定義推得.（2008年,3分）設(shè)fは）在小處可導(dǎo),且イ‘は。）W0,則づは。）不等于（）TOC\o"1-5"\h\z（A）lim/（幻ー/?） （B）11myは。+Av）-yは。）-Ax（C）lim/（/--）7a〇） （D）以メ Axlim」は。ー小）一」は。）（—Ax）解:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,選項(xiàng)（C）符合題意.

(2007年,3分)下列選項(xiàng)中可作為函數(shù)f(%)在點(diǎn)七處的導(dǎo)數(shù)定義的選項(xiàng)是()lim?[/(x0+-)-/(x0)]lim"めー/(/)TOC\o"1-5"\h\zXTめ X-XQlim/(%〇+釵)一/は〇一以)み70 Ax⑴)1油,(エ。+3?)一，壽。+以)— Ax解: 選 項(xiàng)(A )1 /(x0+-)-/(x0)limn[/(x0+-)-/(x0)]=lim =￡(%)，選項(xiàng)(C)n—>qo m 〃一>oo 1nlim/(ム+ル)一/(/ーふ)lim/(ム+ル)一/(/ーふ)ぶー° Ax=2If(x0),選項(xiàng)(D)駟，は。+3Ax1(g+潤(rùn)會(huì)ハx°),故選(B).(2007年,3分)若/(“)可導(dǎo),且y=/(2'),則か=()(A)/(2リム (B)f(2x)d2x(C)[/(2')]W2X (D)f'(2x)2xdx解:因い=毋(2*)=/'(2')"2'=ヂ(2')2”1112ム,故選項(xiàng)(B)正確.(2006年,2分)設(shè)“(X),レ(x)為可導(dǎo)函數(shù),則dご)=()/、、/、、du(A)—dv(E) 2u-

(C)udv+vdu (D)尻dv-vduTOC\o"1-5"\h\zu2 u2爲(wèi)刀 ,‘〃、,u、,, uv—uv,u'vdx—uv'dxvdu—udv、ヰ解：d(一)=(一)厶=——--dx= 7 = ,選VV V V V(B).(2005年,3分)設(shè)/(%)=x(x—1)(%—2)…(光ー99),則f'(0)=()(A)-99!(B)0(A)-99!(B)0(C)99!(D)99解:當(dāng)％=0時(shí),rは）中除はー1）（尤ー2）…（尤ー99）項(xiàng)外,其他全為零,故尸(0)=(0—1)(0-2)?.?(〇-99)=一99!,選項(xiàng)(A)正確.(2005年,3分)設(shè)y=lnx,貝リ嚴(yán)=()(B)(A)(―1)"〃!よ一"(-1)”(〃(B)(C)(―1)"T(れー1)!よー" (D)(—1)"Tル!％-"+1解:由y=lnx可得,y=—,y"=--,ym= ^―=---=-^-,x x2 ザ％3%3ゴ4)=一お三二一三,…,對(duì)比可知,選項(xiàng)(C)正確.XX(2005年,3分)但上=()d(x~)(A)cosx (B)-sinx (C) 2(D)—

解:t/sinxd(x2解:t/sinxd(x2)cosxdx_cosx

2xdx2x選項(xiàng)（D）正確.二、填空題（2010年,2分）若曲線》=/（%）在點(diǎn)（%,/（%））處的切線平行于直線y=2x-3,則/（%）=.解:切線與直線平行,則切線的斜率與直線的斜率相等,故[（%）=2.（2010年,2分）y=cos（sin,則dy=.解:dy=dcos（sin%）=-sin（sinx）cosxdx.（2008年,4分）曲線y=/+i在點(diǎn)（1,2）的切線的斜率等于.解:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,切線斜率ん=ブい）=2Xい）=2.（2008年,4分）由參數(shù)方程ド"。?！_定的◎二 .y=sin% dx解:女上四と=衛(wèi)=ーM"dxx（cosf）'-sin/（2006年,2分）曲線y=x+sin2元在點(diǎn)（エ1+エ）處的切線方程是.解:切線的斜率ん=y'ア?=（l+2sinxcosx）アア=1,故切線（ラ,呷 （テ時(shí)）方程為y_（1+—）=]-はーラ）,即y=%+L（2006年,2分）函數(shù)y（%）=%（/-1）忖不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)

是.解:〃x)=[ra+咼，x-°,顯然,當(dāng)％エ。時(shí),"X)可導(dǎo);[—x(1+廠)，x<0、レ, d，，/ハ、V/(工)—/(°) 「 づ(1+廠)ハ當(dāng)ス=0時(shí),￡(0)=hm丄エ“一〇“=hm =0,X—+ x—0 x^0+X￡(0):lim/は)—"°)=lim一“<+ズ)=0,故ハ。)=0.スメー X—0 XT()+X故函數(shù)，。)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0.(2006年,2分)設(shè)y=(l+丄)",貝リの=.XTOC\o"1-5"\h\z解 : 因. 1. xln(l+丄) xln(l+—) 1 1 1y=[(1+-)]=[ex]=ex[ln(l+-)+x --(