翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式下高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)形式下高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究〔〕:

摘要：高等數(shù)學(xué)作為高職教育的一門公共根底必修課，它將為今后工程數(shù)學(xué)以及相關(guān)的專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下必要的數(shù)學(xué)根底，為這些課程提供必需的數(shù)學(xué)理論、方法、運(yùn)算技能和分析問題、解決問題的才能素質(zhì)?；诼殬I(yè)教育的特點(diǎn)，以及為適應(yīng)迅猛的社會(huì)經(jīng)濟(jì)開展，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中必須注重理論聯(lián)絡(luò)實(shí)際，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生根本運(yùn)算才能和分析問題、解決問題才能的培養(yǎng)，以努力進(jìn)步學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和素質(zhì)?，F(xiàn)代信息技術(shù)的開展對(duì)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生了重大的影響。把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，是對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一種創(chuàng)新。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的快速開展，高職高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革刻不容緩。文章以"常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其性質(zhì)";為教學(xué)案例，探究以故事教學(xué)和問題驅(qū)動(dòng)的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)形式改革。該教學(xué)形式，鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)絡(luò)實(shí)際，充分利用教學(xué)資源自主探究學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)了線上學(xué)習(xí)和線下協(xié)作探究的有機(jī)交融，從而進(jìn)步了課堂教學(xué)效果，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞：翻轉(zhuǎn)課堂；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)形式；常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

本文引用格式：劉緒嬌.翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)形式下高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其性質(zhì)[J].教育現(xiàn)代化，2022，7〔96〕：141-144.

ACaseStudyofAdvancedMathematicsTeachingintheFlippedClassroomTeachingMode

ConstantSeriesandItsProperties

LIUXujiao

〔WuhanVocationalCollegeofScienceandTechnology,Wuhan,Hubei〕

Abstract:Advancedmathematics,asapublicbasicpulsorycourseofhighervocationaleducation,willlaythenecessarymathematicalfoundationforfutureengineeringmathematicsandrelatedprofessionalcourses,andprovidethesecourseswiththenecessarymathematicaltheories,methods,operationalskillsandanalysisproblems,Abilitytosolveproblems.Basedonthecharacteristicsofvocationaleducationandinordertoadapttotherapidsocialandeconomicdevelopment,theteachingofhighermathematicsmustfocusonintegratingtheorywithpractice,emphasizingthetrainingofstudents"basiccalculationability,analysisandproblem-solvingskills,andstrivetoimprovestudents"mathematicsacplishmentandquality.Thedevelopmentofmoderninformationtechnologyhashadasignificantimpactonthecontentandteachingmethodsofmathematicseducation.Takingmoderninformationtechnologyasapowerfultoolforstudentstostudymathematicsandsolveproblems,mittedtochangingthewaystudentslearn,isaninnovationofhighermathematicsteachingreform.Withtherapiddevelopmentofmoderninformationtechnology,theteachingreformofhighervocationalandadvancedmathematicscoursescannotbedelayed.Thisarticletakes"constanttermseriesanditsnature";asateachingcase,andexploresthereformoftheflippedclassroomteachingmodeldrivenbystoryteachingandproblem.Thisteachingmodelencouragesstudentstoconnectwithrealityandmakefulluseofteachingresourcesforindependentinquirylearning,whichrealizestheorganicintegrationofonlinelearningandofflinecollaborativeinquiry,therebyimprovingclassroomteaching.Thelearningeffectenhancesstudents'interestinlearningadvancedmathematics.

Keywords:flippedclassroom;advancedmathematics;teachingmode;constanttermseries

翻轉(zhuǎn)課堂是利用現(xiàn)代化信息技術(shù)對(duì)課堂教學(xué)形式進(jìn)展變革的一次有效嘗試，教師在進(jìn)展教學(xué)前，利用多媒體設(shè)備為學(xué)生提供教學(xué)視頻等一些學(xué)習(xí)資源，首先引導(dǎo)學(xué)生自主探究，進(jìn)入課堂教學(xué)環(huán)節(jié)之后，教師再根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況為學(xué)生解答問題、并組織學(xué)生進(jìn)展合作學(xué)習(xí)性活動(dòng)以及交流知識(shí)等[1-2]。翻轉(zhuǎn)課堂是一種"先學(xué)后教";的教學(xué)方式，顛倒了傳統(tǒng)課堂的"先教再學(xué)";，讓學(xué)生能進(jìn)展自主考慮和互動(dòng)討論，并有效地發(fā)揮了學(xué)生獲取知識(shí)的積極性，實(shí)現(xiàn)了以學(xué)生為教學(xué)主體，教師根據(jù)學(xué)生詳細(xì)情況再循循善誘[3-4]。因此，翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)形式在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中具有一定的應(yīng)用價(jià)值和優(yōu)勢(shì)，是為高職高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的可行之舉。

一課程教學(xué)現(xiàn)狀

〔一〕學(xué)習(xí)動(dòng)力缺乏，缺乏興趣

高等數(shù)學(xué)作為一門公共根底課，被高職院校學(xué)生認(rèn)為是最難學(xué)的一門學(xué)科。由于學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的性質(zhì)和作用認(rèn)識(shí)不清楚，不理解高等數(shù)學(xué)對(duì)自己的專業(yè)和職業(yè)開展的重要影響，所以覺得數(shù)學(xué)無(wú)用，沒有什么吸引力，學(xué)習(xí)動(dòng)力缺乏，缺乏學(xué)習(xí)興趣。只以修學(xué)分為目的，在課堂上表現(xiàn)出厭學(xué)情緒，不充分利用課外自習(xí)時(shí)間，可以應(yīng)付考試就行，使這門課程顯得無(wú)足輕重【1】。

〔二〕自覺性較差，學(xué)習(xí)難度大

由于高職院校各專業(yè)學(xué)生中學(xué)所學(xué)內(nèi)容存在差異，因此學(xué)生的數(shù)學(xué)根底參差不齊。學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣中學(xué)的數(shù)學(xué)教育方式，傳統(tǒng)教學(xué)形式下教師只是一味灌輸給學(xué)生知識(shí)，無(wú)視了學(xué)生的主體地位，學(xué)生自主學(xué)習(xí)才能得不到有效提升。進(jìn)入大學(xué)后，無(wú)法適應(yīng)自我管理的環(huán)境，容易造成松懈的學(xué)習(xí)狀態(tài)，無(wú)視對(duì)自己掌握情況的關(guān)注，學(xué)習(xí)上不溫故，對(duì)知識(shí)點(diǎn)沒有進(jìn)展及時(shí)消化和強(qiáng)化，缺乏理解和融會(huì)貫穿，從而使學(xué)習(xí)難度增大。同時(shí)，在傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師在課堂上教授知識(shí)是面向所有學(xué)生的，不同根底的學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的承受和掌握程度不同，但教師無(wú)法使所有人保持同一承受程度，從而使得承受程度高的、計(jì)算速度快的學(xué)生要等其他學(xué)生，學(xué)習(xí)速度慢的學(xué)生在快速的教學(xué)課堂中不能真正參與到教學(xué)活動(dòng)中。日積月累的問題使一些學(xué)生學(xué)習(xí)難度加大，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果很差【2】。

〔三〕教學(xué)形式單一

各專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)都是同一大綱，與專業(yè)課程沒有進(jìn)展很好的銜接，注重理論知識(shí)，缺乏解決具表達(dá)實(shí)數(shù)學(xué)問題的方法。并且教師教學(xué)方法得不到創(chuàng)新，有的僅僅依靠在黑板上將授課內(nèi)容展現(xiàn)出來，有的講課過程中運(yùn)用一些多媒體，但不能將抽象難以理解的知識(shí)變得更加直觀易懂，學(xué)生理解不了知識(shí)，對(duì)學(xué)習(xí)的興趣也會(huì)大大降低。教學(xué)過程中，主要是教師的"教";，沒有展現(xiàn)學(xué)生的"學(xué)";，無(wú)法表達(dá)學(xué)生的主體地位，不能鍛煉學(xué)生的理論才能和應(yīng)用才能，導(dǎo)致無(wú)法滿足市場(chǎng)開展的需求[3-8]。

〔四〕教學(xué)評(píng)價(jià)單一

數(shù)學(xué)考核方式比擬單一，傳統(tǒng)的教學(xué)評(píng)價(jià)只是采用平時(shí)到課情況、作業(yè)、期中和期末筆試考試的加權(quán)成績(jī)作為評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)本課程掌握情況的方式。考試題型缺乏新意，且未聯(lián)絡(luò)實(shí)際，難以調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)的積極性，導(dǎo)致學(xué)生缺少對(duì)考試的重視，使高數(shù)考試僅流于形式。教師很難測(cè)出學(xué)生對(duì)知識(shí)理解和掌握的程度，也不能從多方面考察學(xué)生的動(dòng)手、動(dòng)腦才能。

以上種種教學(xué)現(xiàn)狀，使高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革變得刻不容緩。翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)形式，一般是以學(xué)生為主體，采用線上線下教學(xué)形式，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立考慮的意識(shí)，提升其創(chuàng)新力，更大程度上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。很多高職院校的理論課和專業(yè)課都根本實(shí)現(xiàn)了翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)形式的"模塊化";。由于高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象性、邏輯性等特點(diǎn)，使得這種形式很難適用于每個(gè)知識(shí)點(diǎn)。我們可以因材施教地制定詳細(xì)的創(chuàng)新性課堂教學(xué)形式施行方案，將翻轉(zhuǎn)課堂和傳統(tǒng)課堂這兩種教學(xué)形式相結(jié)合對(duì)課本中的知識(shí)進(jìn)展講解，這對(duì)于高職高等數(shù)學(xué)課程，是一種非常值得討論的教學(xué)方法【4】。

二翻轉(zhuǎn)課堂在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用案例

對(duì)于看起來似乎枯燥乏味的高等數(shù)學(xué)課程，怎樣使高職院校學(xué)生積極主動(dòng)的去學(xué)習(xí)，是教育學(xué)者們要解決的一大難題。教師利用創(chuàng)新性翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)形式進(jìn)展教學(xué)，大大增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，其可以根據(jù)自身實(shí)際情況改變學(xué)習(xí)進(jìn)度，有疑問的地方可重復(fù)觀看教學(xué)視頻，不僅進(jìn)步了學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)了其自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，同時(shí)增加了師生之間的有效互動(dòng)，更能有效地促進(jìn)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的改革開展。本文以高等數(shù)學(xué)中比擬實(shí)用的"常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其性質(zhì)";教學(xué)為例，進(jìn)展翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。把每個(gè)班分成假設(shè)干個(gè)小組，并選出各組組長(zhǎng)，組長(zhǎng)需要對(duì)組內(nèi)成員課上表現(xiàn)情況以及學(xué)習(xí)成果進(jìn)展總結(jié)評(píng)分。

〔一〕教學(xué)背景

翻轉(zhuǎn)課堂，是教師創(chuàng)立視頻，學(xué)生在家中或課外觀看視頻中教師的講解，回到課堂上師生面對(duì)面交流和完成作業(yè)的這樣一種教學(xué)形態(tài)。當(dāng)教師更多的成為指導(dǎo)者而非內(nèi)容的傳遞者時(shí)，也有時(shí)機(jī)觀察到學(xué)生之間的互動(dòng)。教師在教室內(nèi)巡視過程中注意到學(xué)生開展起了他們自己的協(xié)作學(xué)習(xí)小組，學(xué)生們彼此幫助，互相學(xué)習(xí)和借鑒，而不是依靠教師作為知識(shí)的唯一傳播者。在這種教學(xué)背景下，翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)形式成為解決經(jīng)濟(jì)、工程技術(shù)中某些實(shí)際問題的有力工具【5】。

〔二〕教學(xué)目的

課程教學(xué)包括三個(gè)方面目的：知識(shí)目的、才能目的、情感目的。

①知識(shí)目的。理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念；掌握無(wú)窮級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)和收斂的必要條件，以及幾何級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的條件；純熟運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)斷定無(wú)窮級(jí)數(shù)是否收斂。

②才能目的。通過實(shí)際問題的分析，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的才能，通過對(duì)公式的推導(dǎo)和證明，使學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維。

③情感目的。通過引入農(nóng)夫分牛的故事等實(shí)際問題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到所學(xué)知識(shí)的實(shí)用性，再結(jié)合自然生動(dòng)的語(yǔ)言，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。

〔三〕課前任務(wù)

課前線上自主學(xué)習(xí)，首先需要復(fù)習(xí)上節(jié)課中學(xué)習(xí)到的數(shù)列與極限的定義性質(zhì)，并觀看相關(guān)教學(xué)視頻，教學(xué)視頻可分為以下四個(gè)局部來學(xué)習(xí)。第一，將故事與教學(xué)內(nèi)容結(jié)合作為引例。以農(nóng)夫分牛的故事作為引例，有一個(gè)農(nóng)夫在其農(nóng)場(chǎng)養(yǎng)19頭牛，在其去世前要把所有的牛分給三個(gè)孩子，他在臨終前是這樣說的：老大得1/2，老二得1/4，老三得1/5，既不能把牛殺死，也不能賣了分錢。農(nóng)夫去世后，兄弟三人怎么也想不出方法把牛分完。請(qǐng)問為什么他們不能把牛分完？假設(shè)是你，你怎么解決這個(gè)問題？第二，給出常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的定義。假設(shè)級(jí)數(shù)micro;n的局部和數(shù)列{Sn}有極限S，即，那么稱無(wú)窮級(jí)數(shù)micro;n收斂，這時(shí)極限micro;n稱為級(jí)數(shù)的和；假設(shè)數(shù)列{Sn}沒有極限，那么稱無(wú)窮級(jí)數(shù)micro;n發(fā)散。第三，通過分析經(jīng)典例題，例如討論幾何級(jí)數(shù)的斂散性〔包括利用Matlab軟件繪制某些級(jí)數(shù)局部和數(shù)列的圖像〕，使學(xué)生深化理解教學(xué)內(nèi)容，自己總結(jié)解題思路和技巧，可以純熟判別級(jí)數(shù)的斂散性。第四，收斂級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)，著重強(qiáng)調(diào)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，以及應(yīng)該注意的問題。學(xué)生自主完成學(xué)習(xí)后，以書面或是電子文檔形式將學(xué)習(xí)情況和存在的問題，發(fā)給各組組長(zhǎng)，再由組長(zhǎng)匯總后反響給教師[9]。

〔四〕課堂任務(wù)

根據(jù)學(xué)生匯報(bào)的線上學(xué)習(xí)情況，首先，在課堂上進(jìn)展答疑解惑，解決學(xué)生反映存在的問題。采用問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方式，圍繞以下問題依次展開：第一，什么是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)？級(jí)數(shù)的斂散性如何定義？第二，幾何級(jí)數(shù)和等比級(jí)數(shù)的斂散性如何證明？怎樣判別給定級(jí)數(shù)是否收斂？第三，收斂級(jí)數(shù)有哪些性質(zhì)。利用問題總結(jié)教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)，幾何級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的條件，指出可以通過常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念或性質(zhì)判別給定級(jí)數(shù)的斂散性，并對(duì)某些特殊情況進(jìn)展拓展。其次，講解一些解題技巧。級(jí)數(shù)收斂的必要條件是假設(shè)micro;n收斂，那么。這個(gè)性質(zhì)告訴我們考察級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，應(yīng)先考慮給定級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)是否趨于零，假設(shè)一般項(xiàng)不趨于零那么可斷定該級(jí)數(shù)必發(fā)散。再次，進(jìn)展小組討論，互相幫助，讓理解透徹的學(xué)生幫助理解不是很好的學(xué)生進(jìn)展吸收消化。最后，提出課后考慮題，一個(gè)有趣的龜兔賽跑問題。龜兔賽跑完畢后，兔子不服要再次挑戰(zhàn)烏龜，烏龜卻說只要兔子讓它一段間隔S1米，兔子還是追不上它。烏龜給出的理由是：當(dāng)兔子走完S1米，這段時(shí)間里，它自己又向前走了S2

米，而當(dāng)兔子又向前走了S2米時(shí)，烏龜又向前走了S3米，這樣推論下去，兔子每追趕烏龜一段路程，烏龜就又向前進(jìn)了另一段路程，于是它們之間總有一段間隔，因此兔子始終追不上烏龜，兔子也覺得自己似乎又會(huì)輸?shù)舯荣悾娴膯幔?/p>

〔五〕教學(xué)課堂反思

課堂教學(xué)從實(shí)際問題出發(fā)，指出問題、分析問題。因此在學(xué)習(xí)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義、性質(zhì)以及判斷斂散性時(shí)便更容易理解掌握知識(shí)，學(xué)生首先根據(jù)相關(guān)知識(shí)的教學(xué)視頻進(jìn)展自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其自主學(xué)習(xí)的意識(shí)，有效提升了教學(xué)效率，保證了教學(xué)質(zhì)量。采用故事教學(xué)法，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的樂趣。農(nóng)夫分牛的問題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到探究新方法的重要性，即給古老問題注入了新活力，又表達(dá)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性以及對(duì)級(jí)數(shù)的應(yīng)用才能。運(yùn)用問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，使知識(shí)點(diǎn)層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣。運(yùn)用經(jīng)典例題教學(xué)法，穩(wěn)固教學(xué)重難點(diǎn)，學(xué)習(xí)解題技巧。通過小組討論，組員之間互相交流，不僅能使根底好的學(xué)生獲得成就感，也讓根底一般的學(xué)生可以純熟的掌握課堂知識(shí)，學(xué)習(xí)效率得到整體進(jìn)步。

〔六〕優(yōu)化教學(xué)評(píng)估

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)形式在提升教學(xué)效率的同時(shí)也優(yōu)化了教學(xué)評(píng)估發(fā)方法，在單一的筆試考試形式根底上，參加一些其他類型的評(píng)價(jià)形式。如將小組課前自主學(xué)習(xí)和課堂協(xié)作的情況作為一項(xiàng)考核內(nèi)容[10]。對(duì)小組協(xié)作后進(jìn)展自主探究得到的學(xué)習(xí)成果向全班同學(xué)展示，由其他組進(jìn)展打分評(píng)價(jià)。也可寫總結(jié)性小論文作為加分項(xiàng)，要求學(xué)生利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，結(jié)合自己的專業(yè)課程，撰寫總結(jié)性論文，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)才能和創(chuàng)新才能。

三結(jié)語(yǔ)

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)形式是建立在現(xiàn)代信息技術(shù)根底上的一種教學(xué)形式，在國(guó)內(nèi)外已有許多成功的應(yīng)用[5-6]。將其應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)課程當(dāng)中，改變了傳統(tǒng)的先教再學(xué)的教學(xué)形式。課堂教學(xué)不再是以教師講授為主，而是以學(xué)習(xí)者為中心，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生積極求知學(xué)習(xí)，翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)很大程度進(jìn)步了課堂教學(xué)的開放性和自主性，很大程度激發(fā)學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)的積極性，有效提升學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的應(yīng)用才能并且培養(yǎng)其創(chuàng)新意識(shí)?？v然，翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)也有一定的局限性，比方知識(shí)缺乏系統(tǒng)性，學(xué)生的自我管理和制約機(jī)制不完善。但只要我們?cè)诮虒W(xué)改革的道路上不斷探究，不斷改良，從教學(xué)的各方面進(jìn)展創(chuàng)新，一定可以完善和解決存在的問題，從而更好地