矢量和標量的定義

關(guān)于矢量和標量的定義第1頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五一、矢量和標量的定義1.標量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中：為矢量的模，表示該矢量的大小。為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、電場等如：溫度T、長度L等第2頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五二、矢量的運算法則1.加法:

矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：b.滿足結(jié)合律：第3頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五三個方向的單位矢量用表示。根據(jù)矢量加法運算：所以：在直角坐標系下的矢量表示:其中：第4頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五矢量：模的計算：單位矢量：方向角與方向余弦：在直角坐標系中三個矢量加法運算：

第5頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五2.減法：換成加法運算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標系中兩矢量的減法運算：

推論：任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。第6頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五3.乘法：（1）標量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a.標量積（點積）：兩矢量的點積含義：

一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標量。第7頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五在直角坐標系中，已知三個坐標軸是相互正交的，即有兩矢量點積：結(jié)論:兩矢量點積等于對應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當兩個非零矢量點積為零,則這兩個矢量必正交。第8頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：推論4：當兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。第9頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五在直角坐標系中，兩矢量的叉積運算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo第10頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五（3）三重積：三個矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標量與矢量相乘。標量，標量三重積。矢量，矢量三重積。a.標量三重積法則：在矢量運算中,先算叉積,后算點積。定義：含義：

標量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積。第11頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五注意：先后輪換次序。推論：三個非零矢量共面的條件。在直角坐標系中：b.矢量三重積：第12頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五4.矢量的微積分(a)矢量的微分只要把矢量的性質(zhì)應(yīng)用于標量的導(dǎo)數(shù)公式即可：第13頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五作為(1)式的特例，對直角坐標下的矢量：有作為(2)式的例子，在球坐標下的矢量：有第14頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五(b)矢量的積分（1）對時間t

的積分：（2）沿曲線s

的線積分：第15頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五例2：求：中的標量a、b、c。解：則：設(shè)第16頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五例3：

已知求：確定垂直于、所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。第17頁，共19頁，2022年，5月20日，13點46分，星期五已知A點和B點對于原點的位置矢量為和，求：通過A點和B點的直線方程。例4：

其中：k

為任意實數(shù)。xyzCAB解：在通過A點和B點的直線方程上，