材料力學(xué)：組合變形

材料力學(xué)第八章組合變形Tuesday,November8,2022本章內(nèi)容

§8-1組合變形的疊加原理§8-2

拉彎組合變形§8-3

彎扭組合變形

四種基本變形計(jì)算：變形軸向拉壓

剪切扭轉(zhuǎn)平面彎曲外力軸向力橫向力

外力偶橫向力或外力偶內(nèi)力軸力(FＮ)

剪力(FS)扭矩(T)

剪力(FS)彎矩(M)應(yīng)力

正應(yīng)力

切應(yīng)力

切應(yīng)力切應(yīng)力正應(yīng)力

計(jì)算公式分布規(guī)律T

構(gòu)件在荷載作用下發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形,

則構(gòu)件的變形稱為組合變形。一、工程實(shí)例§8-1

組合變形和疊加原理屋

架

檁條二、解決組合變形問題的基本方法－疊加法

1.疊加原理：彈性范圍小變形情況下，各荷載分別單獨(dú)作用所產(chǎn)生的應(yīng)力、變形等可疊加計(jì)算。

2.計(jì)算方法：“先分解，后疊加。”先分解----應(yīng)先分解為各種基本變形，分別計(jì)算各基本變形。后疊加----將基本變形計(jì)算某量的結(jié)果疊加即得組合變形的結(jié)果。

本章主要研究應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算。

在外力作用下同時(shí)發(fā)生拉伸(壓縮)與彎曲兩種基本變形，稱為拉彎組合變形。

在計(jì)算時(shí)不考慮剪力的作用?！?-2

拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形●

橫向力與軸向力共同作用●

偏心拉（壓）外力分解一、橫向力與軸向力共同作用2．內(nèi)力計(jì)算在m-m

截面上3．應(yīng)力計(jì)算C點(diǎn)的總應(yīng)力為4．強(qiáng)度計(jì)算危險(xiǎn)截面在固定端處,最大應(yīng)力為拉應(yīng)力，發(fā)生在梁的固定端截面處的下邊緣，其值為其強(qiáng)度條件為

上邊緣的應(yīng)力疊加后，也可能出現(xiàn)壓應(yīng)力。對抗壓強(qiáng)度與抗拉強(qiáng)度不同的材，還應(yīng)對上邊緣的壓應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

例8.1

結(jié)構(gòu)如圖所示，已知最大吊重Fmax

=8kN，AB為工字鋼梁，材料為Q235，許用應(yīng)[σ]=100MPa

，試選用工字鋼型號。1.先計(jì)算出CD

的桿長2.取AB為研究對象，為計(jì)算方便將FCD分解3.畫出FN圖和M圖C截面左側(cè)具有最大的軸力和彎矩為危險(xiǎn)截面。+=C截面左側(cè)下邊緣兩種壓應(yīng)力疊加，達(dá)到最大應(yīng)力，為危險(xiǎn)點(diǎn)。4.

在還未選定工字鋼型號之前，可先不考慮軸向內(nèi)力FN的影響，根據(jù)彎曲強(qiáng)度條件來選擇，然后根據(jù)組合應(yīng)力進(jìn)行校核。+=查表選用:I165.校核危險(xiǎn)點(diǎn)+=由于最大應(yīng)力超出很小，超出部分在5%以內(nèi)，仍可認(rèn)為是安全的。因此可以選擇I16

例8.2

混凝土攔水壩如圖所示，橫截面為矩形，寬度為，受水壓和自重作用，混凝土的重力密度，水的重力密度，取一米長壩體分析，求壩體寬度的尺寸，使壩底不出現(xiàn)拉應(yīng)力。【解】取單位長壩體分析，水的分布壓力為

壩底的軸力為

壩底的彎矩為

最可能出現(xiàn)拉應(yīng)力的是A點(diǎn),令A(yù)點(diǎn)的應(yīng)力為零，即

解出

當(dāng)外力作用線與桿的軸線平行但不重合時(shí)，將引起軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲兩種基本變形。二、偏心拉（壓）

1.橫截面上的內(nèi)力

軸力FN=F彎矩由疊加原理，得C點(diǎn)處的正應(yīng)力為式中A為橫截面面積;Iy

,Iz

分別為橫截面對y軸和z

軸的慣性矩;

(

ey，ez

)為力F

作用點(diǎn)的坐標(biāo);(y,z)為所求應(yīng)力點(diǎn)的坐標(biāo).

2.任意橫截面C

點(diǎn)的應(yīng)力利用慣性矩與慣性半徑的關(guān)系3.中性軸與強(qiáng)度計(jì)算上式可改寫為立柱的最大壓應(yīng)力發(fā)生在角點(diǎn)D1處(危險(xiǎn)點(diǎn)),其強(qiáng)度條件為

yzO對于沒有棱角的截面，必須首先確定中性軸的位置，然后找到離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)，這就是危險(xiǎn)點(diǎn)。

令

y0,z0代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，即得中性軸方程中性軸ayazD1D2

中性軸在y,z

兩軸上的截距為此處介紹一下截面核心的概念例8.3

正方形截面立柱的中間處開一個(gè)槽，使截面面積為原來截面面積的一半。求開槽后立柱的的最大壓應(yīng)力是原來不開槽的幾倍。FFaaaa11FFa/2未開槽【解】Faa開槽后1-1是危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面為偏心壓縮未開槽前立柱的最大壓應(yīng)力開槽后立柱的最大壓應(yīng)力例8.4

小型壓力機(jī)的鑄鐵框架如圖所示。已知材料的許用拉應(yīng)力[t]=30MPa，許用壓應(yīng)力[c]=160MPa。試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的許可壓力F。yzz0z1350FF5050150150【解】(1)確定中性軸位置及慣性矩yzz0nnFNMy(2)分析立柱橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力在n—n

截面上有軸力FN及彎矩Mynn350FFyzz0軸力FN產(chǎn)生的拉伸正應(yīng)力為FnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150由彎矩My產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力為5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（3）疊加在截面內(nèi)側(cè)有最大拉應(yīng)力[F]45.10kN5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy在截面外側(cè)有最大壓應(yīng)力[F]171.3kN[F]45.0kN所以取5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy同時(shí)發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)兩種基本變形，稱為彎扭組合變形?！?-3

彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形1.內(nèi)力分析

設(shè)一直徑為

d

的等直圓桿AB,B端具有與AB成直角的剛臂。研究AB桿的內(nèi)力。將力F

向AB

桿右端截面的形心B簡化得橫向力F

（引起平面彎曲）力偶矩m=Fa

（引起扭轉(zhuǎn)）AB

桿為彎、扭組合變形畫出AB段的內(nèi)力圖，可見固定端A截面為危險(xiǎn)截面。FaTFlM危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

（D1點(diǎn))2.應(yīng)力分析

用第三強(qiáng)度理論將主應(yīng)力代入上式，得到用第三強(qiáng)度理論表達(dá)的強(qiáng)度條件為用第四強(qiáng)度理論將和的表達(dá)式代入上二式，并考慮到圓截面Wt＝2W，得

將主應(yīng)力代入上式，得到用第四強(qiáng)度理論表達(dá)的強(qiáng)度條件為軸的受力如圖，圖中，

例8.5圖示手搖絞車。軸的直徑，其許用應(yīng)力為，試按第三強(qiáng)度理論確定絞車的最大吊重F。【解】由第三強(qiáng)度理論得解出

例8.6

圖示一鋼制實(shí)心圓軸，軸上的齒輪C

上作用有鉛垂切向力5kN，徑向力1.82kN；齒輪D上作用有水平切向力10kN，徑向力3.6

kN

。齒輪

C

的節(jié)圓直徑d1=400mm,齒輪D

的節(jié)圓直徑d2=200mm。設(shè)許用應(yīng)力=100MPa

,試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.6kN【解】(1)外力的簡化將每個(gè)齒輪上的外力向該軸的截面形心簡化BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.6kNxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.6kN10kN1kN.m1kN·m

使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)

5kN

，3.64kN

使軸在xz

縱對稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲

1.82kN，10kN使軸在xy

縱對稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲

(2)軸的變形分析T=1kN·m圓桿發(fā)生的是雙向彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形1CT圖-My圖0.57CB0.36xyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.6kN10kN1kN.m(3)繪制軸的內(nèi)力圖Mz圖0.2271CB1kN·mCT圖-My圖0.57kN·mCB0.36kN·mB截面的總彎矩最大Mz圖0.2271CB(4)由強(qiáng)度條件求軸的直徑

具有雙對稱截面的梁，它在任何一個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲時(shí)均為平面彎曲。*雙向彎曲1.外力分解：2.內(nèi)力計(jì)算：3.應(yīng)力計(jì)算：利用疊加原理得x

截面上C

點(diǎn)處的正應(yīng)力為上述分析計(jì)算中，式中各物理量均可取絕對值，而各項(xiàng)應(yīng)力的正、負(fù)號可按拉為正，壓為負(fù)直觀地判斷。4．強(qiáng)度計(jì)算圖示矩形截面梁的危險(xiǎn)截面顯然在固定端截面處，而危險(xiǎn)點(diǎn)則在角點(diǎn)和處。危險(xiǎn)點(diǎn)的最大應(yīng)力與強(qiáng)度條件為對于有外凸角點(diǎn)的截面，例如矩形截面、工字形截面等，最大應(yīng)力一定發(fā)生在角點(diǎn)處。而對于沒有外凸角點(diǎn)的截面，需要先求截面上中性軸的位置。根據(jù)中性軸定義，中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均為零，令代表中性軸上任意點(diǎn)的坐標(biāo)，由式（12.1）令，即得中性軸方程為中性軸與y軸的夾角q為上式表示中性軸為通過截面形心的直線。

式中，為合彎矩與軸的夾角。

斜彎曲平面彎曲中性軸將橫截面分為兩部分，一部分受拉應(yīng)力，一部分受壓應(yīng)力。作平行于中性軸的兩直線，分別與橫截面的周邊相切，這兩個(gè)切點(diǎn)D1，D2就是該截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力為最大的點(diǎn)。將危險(xiǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)代入應(yīng)力計(jì)算式，即可求得橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)或近似當(dāng)作單向應(yīng)力狀態(tài)，故其強(qiáng)度條件為

例8.7

工字形截面簡支梁，跨長為，作用在跨中的集中力，力的作用線與橫截面鉛直對稱軸