線性規(guī)劃理論及其應用

畢業(yè)論文開題報告信息與計算科學線性規(guī)劃理論及其應用一、選題的背景、意義[1][2]選題的背景線性規(guī)劃是運籌學中研究較早、發(fā)展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法。在經濟管理、交通運輸、工農業(yè)生產等經濟活動中，提高經濟效果是人們不可缺少的要求，而提高經濟效果一般通過兩種途徑：一是技術方面的改進，例如改善生產工藝，使用新設備和新型原材料 .二是生產組織與計劃的改進，即合理安排人力物力資源.線性規(guī)劃所研究的是：在一定條件下，合理安排人力物力等資源，使經濟效果達到最好 .一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大化或最小化的問題，最大化問題是要在一個集合上使一個函數達到最大，最小化問題是要在一個集合上使一個函數達到最小。統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。決策變量、約束條件、目標函數是線性規(guī)劃的三要素。隨著計算機技術的發(fā)展和普及，線性規(guī)劃的應用越來越廣泛。它已成為人們?yōu)楹侠砝糜邢拶Y源制定最佳決策的有力工具。選題的意義隨著計算機技術的發(fā)展和普及，線性規(guī)劃的應用越來越廣泛。它已成為人們?yōu)楹侠砝糜邢拶Y源制定最佳決策的有力工具。隨著經濟全球化的不斷發(fā)展，企業(yè)面臨更加激烈的市場競爭。企業(yè)必須不斷提高盈利水平，增強其獲利能力，在生產、銷售、新產品研發(fā)等一系列過程中只有自己的優(yōu)勢，提高企業(yè)效率，降低成本，形成企業(yè)的核心競爭力，才能在激烈的競爭中立于不敗之地。過去很多企業(yè)在生產、運輸、市場營銷等方面沒有利用線性規(guī)劃進行合理的配置，從而增加了企業(yè)的生產，使企業(yè)的利潤不能達到最大化。在競爭日益激烈的今天，如果還按照過去的方式，是難以生存的，所以就有必要利用線性規(guī)劃的知識對戰(zhàn)略計劃、生產，銷售各個環(huán)節(jié)進行優(yōu)化從而降低生產成本，提高企業(yè)的效率。在各類經

濟活動中，經常遇到這樣的問題：在生產條件不變的情況下，如何通過統(tǒng)籌安排，改進生產組織或計劃，合理安排人力、物力資源，組織生產過程，使總的經濟效益最好。這樣的問題常?？梢曰苫蚪频鼗伤^的“線性規(guī)劃”（LinearProgramming，簡記為LP）問題。線性規(guī)劃是應用分析、量化的方法，對經濟管理系統(tǒng)中的人、財、物等有限資源進行統(tǒng)籌安排，為決策者提供有依據的最優(yōu)方案，以實現有效管理。利用線性規(guī)劃我們可以解決很多問題。如：在不違反一定資源限制下，組織安排生產，獲得最好的經濟效益（產量最多、利潤最大、效用最高）。也可以在滿足一定需求條件下，進行合理配置，使成本最小。同時還可以在任務或目標確定后，統(tǒng)籌兼顧，合理安排，用最少的資源（如資金，設備，原材料、人工、時間等）去完成任務。二、研究的基本內容與擬解決的主要問題2.1線性規(guī)劃理論發(fā)展過程及方向2.1.1線性規(guī)劃發(fā)展過程[3][4]法國數學家J.-B.-J.傅里葉和C.瓦萊一普森分別于1832和1911年獨立地提出線性規(guī)劃的想法，但未引起注意。1939年蘇聯數學家刀.B.康托羅維奇在《生產組織與計劃中的數學方法》一書中提出線性規(guī)劃問題，也未引起重視。1947年美國數學家G.B.丹奇克提出線性規(guī)劃的一般數學模型和求解線性規(guī)劃問題的通用方法一一單純形法，為這門學科奠定了基礎。1947年美國數學家J.von諾伊曼提出對偶理論，開創(chuàng)了線性規(guī)劃的許多新的研究領域，擴大了它的應用范圍和解題能力。1951年美國經濟學家T.C.庫普曼斯把線性規(guī)劃應用到經濟領域，為此與康托羅維奇一起獲1975年諾貝爾經濟學獎。50年代后對線性規(guī)劃進行大量的理論研究，并涌現出一大批新的算法。例如，1954年C.萊姆基提出對偶單純形法，1954年S.加斯和T.薩迪等人解決了線性規(guī)劃的靈敏度分析和參數規(guī)劃問題，1956年A.塔克提出互補松弛定理，1960年G.B.丹齊克和P.沃爾夫提出分解算法等。線性規(guī)劃的研究成果還直接推動了其他數學規(guī)劃問題包括整數規(guī)劃、 隨機規(guī)劃和非線性規(guī)劃的算法研究。由于數字電子計算機的發(fā)展，出現了許多線性規(guī)劃軟件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解幾千個變量的線性規(guī)劃問題。

1979年蘇聯數學家L.G.Khachian提出解線性規(guī)劃問題的橢球算法，并證明它是多項式時間算法。1984年美國貝爾電話實驗室的印度數學家N.卡馬卡提出解線性規(guī)劃問題的新的多項式時間算法。用這種方法求解線性規(guī)劃問題在變量個數為 5000時只要單純形法所用時間的1/50?，F已形成線性規(guī)劃多項式算法理論。50年代后線性規(guī)劃的應用范圍不斷擴大。2.1.2線性規(guī)劃理論的發(fā)展方向[5][6][7]線性規(guī)劃在軍事、工農業(yè)、交通和城鎮(zhèn)規(guī)劃等領域中得到廣泛的應用。實際問題有的是很大的，大到具有幾萬、幾十萬甚至上百萬的變量和成千上萬的約束條件。有的問題雖小些，一般也有幾百幾千的變量和成百上千的約束條件。顯然解這類問題都離不開計算機。常用的計算機軟件有LINGO,LINDO,MATLAB等。線性規(guī)劃理論與大系統(tǒng)分析理論相結合，以解決經濟、社會、生態(tài)、和政治因素交織在一起的復雜社會系統(tǒng)問題，或者解決設計、工藝、質量、生產計劃、大型試驗、技術改造、成本價格、市場營銷等因素交織在一起的企業(yè)管理中的復雜問題，是線性規(guī)劃理論的主要方向之一。在大系統(tǒng)理論中，對于一些含有幾個層級的系統(tǒng)（系統(tǒng)含有分系統(tǒng)，分系統(tǒng)又含有子系統(tǒng)，子系統(tǒng)又含有更小的子系統(tǒng)等），通常采用遞階分析的方法進行分解和分析。從系統(tǒng)觀點考慮問題的多學科優(yōu)化理論和方法的研究與應用，已經成為線性規(guī)劃理論的重要發(fā)展方向之一。我國的現代化建設進程中，眾多大系統(tǒng)工程（如三峽工程、載人航天工程）中，也大量的采用了系統(tǒng)工程的一些科學方法，并取得了顯著的成效。反過來，實踐的發(fā)展又不斷地催生新的理論，或者不斷地開拓已有應用范圍，不斷地創(chuàng)新理論和方法，是所有學科發(fā)展的生命力源泉之所在，線性規(guī)劃理論的發(fā)展也不例外。2.2線性規(guī)劃的具體實現2.2.1線性規(guī)劃問題的基本步驟⑻（1） 提出并抽象問題（2） 建立數學模型（3） 求解（4） 檢驗解（5） 解得靈敏度分析

（6）解得回歸2.2.2線性規(guī)劃方法的運用原則[8]（1） 合作原則（2） 打破常規(guī)原則（3） 相互滲透原則（4） 客觀獨立性原則（5） 包容性原則（6） 平衡性原則2.2.3線性規(guī)劃問題的數學模型的一般形式[2]（1） 列出約束條件及目標函數（2） 畫出約束條件所表示的可行域（3） 在可行域內求目標函數的最優(yōu)解及最優(yōu)值2.2.4線性規(guī)劃的模型建立[1][2][9]從實際問題中建立數學模型一般有以下三個步驟；根據影響所要達到目的的因素找到決策變量；由決策變量和所在達到目的之間的函數關系確定目標函數；由決策變量所受的限制條件確定決策變量所要滿足的約束條件。所建立的數學模型具有以下特點：1、 每個模型都有若干個決策變量3,x,x,X），其中n為決策變量個數。1 2 3 n決策變量的一組值表示一種方案，同時決策變量一般是非負的。2、 目標函數是決策變量的線性函數，根據具體問題可以是最大化 （max）或最小化（min），二者統(tǒng)稱為最優(yōu)化（opt）。3、 約束條件也是決策變量的線性函數。當我們得到的數學模型的目標函數為線性函數，約束條件為線性等式或不等式時稱此數學模型為線性規(guī)劃模型。2.2.5線性規(guī)劃的解法求解線性規(guī)劃問題的基本方法是單純形法，現在已有單純形法的標準軟件，可在

電子計算機上求解約束條件和決策變量數達 10000個以上的線性規(guī)劃問題。為了提高解題速度，又有改進單純形法、對偶單純形法、原始對偶方法、分解算法和各種多項式時間算法。對于只有兩個變量的簡單的線性規(guī)劃問題，也可采用圖解法求解。這種方法僅適用于只有兩個變量的線性規(guī)劃問題。它的特點是直觀而易于理解，但實用價值不大。通過圖解法求解可以理解線性規(guī)劃的一些基本概念。2.2.5.1單純形法[1][2]單純形法是求解線性規(guī)劃問題的一般方法，原則上它適用于任何線性規(guī)劃問題。這是丹齊克在1947年提出來的.它的理論根據是：線性規(guī)劃問題的可行域是n維向量空間Rn中的多面凸集，其最優(yōu)值如果存在必在該凸集的某頂點處達到。頂點所對應的可行解稱為基本可行解。大量的實際表明，這是一種行之有效的解法.單純形法的基本思想是：先找出一個基本可行解，對它進行鑒別，看是否是最優(yōu)解；若不是，則按照一定法則轉換到另一改進的基本可行解，再鑒別；若仍不是，則再轉換，按此重復進行。因基本可行解的個數有限，故經有限次轉換必能得出問題的最優(yōu)解。如果問題無最優(yōu)解也可用此法判別。單純形法的一般解題步驟可歸納如下：①把線性規(guī)劃問題的約束方程組表達成典范型方程組，找出基本可行解作為初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即約束條件有矛盾，則問題無解。③若基本可行解存在，從初始基本可行解作為起點，根據最優(yōu)性條件和可行性條件，引入非基變量取代某一基變量，找出目標函數值更優(yōu)的另一基本可行解。④按步驟3進行迭代，直到對應檢驗數滿足最優(yōu)性條件（這時目標函數值不能再改善），即得到問題的最優(yōu)解。⑤若迭代過程中發(fā)現問題的目標函數值無界，則終止迭代。下面把單純形法的計算步驟及迭代過程歸結如下圖：顯否所有LwnM算停止）得慌優(yōu)解）汁算崢顯否所有LwnM算停止）得慌優(yōu)解）汁算崢止\是占所有hir/給山初排時行/底段對^典式換?。ㄒ在浯煞玻┎⑿g出新典式BJS■噤并得出單純形表:C-CB-1A CB-1bB-iA B-ib這樣就可以得出一般線性規(guī)劃問題的解。有關單純形法的進一步討論，當線性規(guī)劃問題化為標準形式后約束條件的系數矩陣中含有單位矩陣，以此作初始基，用人工變量法（劃法）求解。用大M法處理人工變量，在用手工計算求解時不會碰到麻煩，但用電子計算機求解時，由于計算機取值時的誤差，有可能使計算結果發(fā)生錯誤。為了克服這個困難，可以對添加人工變量后的線性規(guī)劃問題分兩個階段來計算，稱兩階段法。2.2.5.2對偶單純形法[6]每一個線性規(guī)劃問題都有另一個與其相互關聯的問題，這個新問題具有非常重要的性質，用這些性質可以更加有效地獲得原來問題的解。為區(qū)別起見，我們稱原來的問題為原問題，稱與原問題相關聯的問題為對偶問題。對偶理論以如下的線性規(guī)劃問題和其對偶問題:P:mincxDP:mincx[Ax>b [wA<cs.t< s.t<[x>0 [w>0這里P表示原問題，D表示對偶問題。對偶單純形法對偶單純形算法可以概括如下：找出原問題的一個基B，構成起始對偶基可行解，是c對所有的j有c-z=c-CB-ia>0jjjBj構成原始對偶單純形法表；(2)假如b=B-ib>0，則當前的解是最優(yōu)解，停止計算。否則選擇樞行r，其brV0，例如選擇你最小者：br=minj}假如對所有列j,yrj>0，則對偶問題無界，原問題無解，停止計算。否則選擇樞列k；以yrk為樞元素變換對偶單純形表，然后轉達步驟(2)。2.2.5.3靈敏度分析[2]⑹靈敏度分析一詞的含義是指對系統(tǒng)或事物因周圍條件變化顯示出來的敏感程度的分析。靈敏度分析意義很大。其一，很多實際問題中數據常常是不夠精確的，很多是估計出來的，因此調整數據是常事。其二，當一個用于決策的問題得出最優(yōu)解后，決策者為了通觀全局，常常要研究其中某些因素(數據)的改變對當前最優(yōu)決策所造成的影響。其三，當作多種方案比較時，這些不同方案常常是某些數據不同而已。靈敏度分析的步驟可歸納如下：將參數的改變通過計算反映到最終單純形表來。具體方法是，按照下列公式計算出由參數"，b.,c的變化而引起的最終單純形表上有關數字的變化。可Ij邸=B-iAb詢'=B-iAp(c-z)'=c-祝ay*jjjjii=1檢查原問題是否仍為可行解。檢查對偶問題是否仍為可行解。按下表所列情況得出結論或決定繼續(xù)計算的步驟。原問題對偶問題結論或繼續(xù)計算的步驟可行解可行解問題的最優(yōu)解或最優(yōu)基不變可行解非可行解用單純形法繼續(xù)迭代求最優(yōu)解非可行解可行解用對偶單純形法繼續(xù)迭代求最優(yōu)解非可行解非可行解引用人工變量，編制新的單純形表重新計算2.2.6線性規(guī)劃的其他算法和問題[1][6]分解算法分解算法是一種處理大型問題的方法，它把一個大型問題分解成若干個規(guī)模較小的問題來求解，這種方法不僅可以減少存儲量，也能減少計算量。因為線性規(guī)劃的計算量對于約束條件的個數m很敏感，統(tǒng)計表明，計算量大約與m3成正比，因此，若把一個大型問題轉化為求解若干個小型問題，由于每個小型問題的約束條件個數較少，可使總的計算量大大減少。Karmarkar算法1984年N.Karmarkar提出了一個屬于多項式時間算法的內點法，并證明其計算復雜性是0，這是一種能解決大型線性規(guī)劃問題的強有力的算法。它的應用十分廣泛，如應用這一系統(tǒng)規(guī)模的多項式時間算法用于電力系統(tǒng)，可以使實時電價計算等問題變的簡單。整數線性規(guī)劃問題在線性規(guī)劃問題中，當某些變量(或全部變量)取整數值時，該規(guī)劃問題就稱為整數規(guī)劃問題。整數規(guī)劃可以看成是線性規(guī)劃問題中對變量進行整數約束的一種特殊形式，因此，可以認為，整數規(guī)劃問題一般要比相應的線性規(guī)劃問題約束得更緊。整數規(guī)劃中，如果所有的變量都要求取整數值，則稱此規(guī)劃問題為純整數規(guī)劃；如果部分變量要求取整數值，則稱此規(guī)劃問題為混合整數規(guī)劃；如果要求變量的取值為0或1，則稱此規(guī)劃問題為0-1規(guī)劃。影子價格與影子成本[10]根據線性規(guī)劃問題對偶變量和影子價格的經濟意義，給出了影子成本的概念，討論了影子成本與對偶價格的關系。通過靈敏度分析給出了影子成本的動態(tài)表示，并進一步闡明了影子價格和影子成本的惟一性以及影子成本在經濟管理中的應用。有界變量線性規(guī)劃問題實際應用中的許多線性規(guī)劃問題，其決策變量具有上、下界限制。這類問題稱為有界變量線性規(guī)劃問題。它的一般數學模型可寫為minx°=cx，s.tAx=b，l<x<u,其中，l=(l,l,...,l)t,U=(U,U，…,U)T分別為x=(x,x，…,x)T的下界和上界；12n 1 2n 1 2nA認為mxn階矩陣，n>m>1，并設A的秩為m.2.3線性規(guī)劃理論的應用2.3.1線性規(guī)劃在企業(yè)中運用的必要性[11]隨著經濟全球化的不斷發(fā)展，企業(yè)面臨更加激烈的市場競爭。企業(yè)必須不斷提高盈利水平，增強其獲利能力，在生產、銷售、新產品研發(fā)等一系列過程中只有自己的優(yōu)勢，提高企業(yè)效率，降低成本，形成企業(yè)的核心競爭力，才能在激烈的競爭中立于不敗之地。過去很多企業(yè)在生產、運輸、市場營銷等方面沒有利用線性規(guī)劃進行合理的配置，從而增加了企業(yè)的生產，使企業(yè)的利潤不能達到最大化。在競爭日益激烈的今天，如果還按照過去的方式，是難以生存的，所以就有必要利用線性規(guī)劃的知識對戰(zhàn)略計劃、生產，銷售各個環(huán)節(jié)進行優(yōu)化從而降低生產成本，提高企業(yè)的效率。在各類經濟活動中，經常遇到這樣的問題:在生產條件不變的情況下，如何通過統(tǒng)籌安排，改進生產組織或計劃，合理安排人力、物力資源，組織生產過程，使總的經濟效益最好。這樣的問題常常可以化成或近似地化成所謂的“線性規(guī)劃”（LinearPmgramming,簡記為LP）問題。線性規(guī)劃是應用分析、量化的方法，對經濟管理系統(tǒng)中的人、財、物等有限資源進行統(tǒng)籌安排，為決策者提供有依據的最優(yōu)方案，以實現有效管理。利用線性規(guī)劃我們可以解決很多問題。如：在不違反一定資源限制下，組織安排生產，獲得最好的經濟效益（產量最多、利潤最大、效用最高）。也可以在滿足一定需求條件下，進行合理配置，使成本最小。同時還可以在任務或目標確定后，統(tǒng)籌兼顧，合理安排，用最少的資源（如資金，設備，原材料、人工、時間等）去完成任務。2.3.2線性規(guī)劃的應用實例數學與經濟的結合由來已久。從經濟學作為一門學科的發(fā)展看，數學在其中的位置越來越重要，它不僅幫助人們在經營中獲利，而且給予人們以能力，包括直觀思維、邏輯思維、精確計算等等，以至于今天，不懂數學就無法研究經濟。前蘇聯數學家坎托羅維奇因對物資最優(yōu)調撥理論的貢獻獲1975年諾貝爾獎，他被公認為最優(yōu)規(guī)劃理論的創(chuàng)始人，經濟數學理論的奠基人?？餐辛_維奇創(chuàng)造的線性規(guī)劃方法被廣泛地應用于經濟領域并為經濟發(fā)展作出了卓越貢獻。［⑵線性規(guī)劃作為運籌學的一個重要分支，在經濟管理中有著極其廣泛的應用，比如設計一個物流網絡的問題。［13］以下是一些常用的應用舉例。線性規(guī)劃在薪酬管理中的應用［14］知識經濟時代，現代化的大型企業(yè)或企業(yè)集團不斷涌現，大企業(yè)的內部管理模式更加復雜，必須提高企業(yè)內部的控制力、執(zhí)行力、及對市場變化能夠快速做出的反應能力。線性規(guī)劃是人們進行科學管理的一種數學方法，通過在薪酬管理宏觀和微觀兩方面的應用，提高企業(yè)管理水平，實現最佳經濟效益。線性規(guī)劃在企業(yè)生產計劃中的應用［15］在企業(yè)生產過程中，生產計劃安排直接影響到企業(yè)的經濟效益，而解決生產計劃問題的有效方法之一就是建立線性規(guī)劃模型，線性規(guī)劃為企業(yè)制定生產計劃提供了一種簡單又科學的方法，具有一定的實用價值。線性規(guī)劃在服裝生產任務分配中的應用［16］針對不確定條件下實際的服裝生產任務分配問題，采用線性規(guī)劃優(yōu)化的方法予以解決。為此，建立了服裝生產任務分配的數學模型，在保證交貨期的前提下，將線性規(guī)劃法對生產任務進行優(yōu)化分配，使加工成本最小。生產實例表明，所提出的優(yōu)化方法能夠使服裝生產系統(tǒng)得到整體優(yōu)化，表明其有效性和可行性。線性規(guī)劃在企業(yè)成本控制中的應用M企業(yè)成本由原材料，制造費用等要素構成，通過構建企業(yè)成本構成的數學模型及約束條件，求解使企業(yè)成本總體最低的最優(yōu)解，同時解釋各要素變化對企業(yè)利潤的影響程度，為企業(yè)成本控制指明方向。線性規(guī)劃在飲料的生產銷售模型中的應用四應用運籌學中的線性規(guī)劃原理，研究了在給定務件下，按某一衡量指標來尋找安排的最優(yōu)方案問題.且研究了工廠安排合理的生產計劃、管理資源和人力資源，使得企業(yè)在有限的資本情況下，獲得總費用最少或者總收益最大問題.根據該實際情況將問題簡單化為飲料的生產銷售問題，建立了線性規(guī)劃的數學模型.用MATLAB軟件進行了模型求解.使得求解過程簡便且得到的結果較準確.通過模型檢驗，進一步改進了模型，使其更加符合實際.最后將該模型推廣到了更加廣泛的情形。三、研究的方法與技術路線、研究難點，預期達到的目標研究內容了解線性規(guī)劃理論的發(fā)展歷史、基本概念及意義，知道線性規(guī)劃理論的基本模型和模型特點。對線性規(guī)劃問題有深刻認識，掌握解決線性規(guī)劃問題的基本方法，了解線性規(guī)劃研究的基本問題，了解線性規(guī)劃在社會經濟管理中的應用。清楚線性規(guī)劃理論今后的發(fā)展方向及進一步研究需要的知識。研究方法及技術路線文獻研究法。根據線性規(guī)劃理論及其應用的課題，通過閱讀文獻來獲得相關資料，從而全面地、正確地了解掌握所要研究問題的一種方法。其作用有：能了解有關問題的歷史和現狀，幫助確定研究課題；能形成關于研究對象的一般印象；能得到現實資料的比較資料；有助于了解事物的全貌。對比分析法。根據線性規(guī)劃理論及其應用的課題，通過研究對象之間對比進行分析、討論，從中得出結論，從而全面地、正確地了解掌握所要研究問題的一種方法。其作用有：通過具體對象的對比分析，更加加深對其的認識；能啟發(fā)人們的思維。研究難點(1)對線性規(guī)劃理論的基本理論知識及它在社會經濟管理中的應用的掌握程度有待加強，對線性規(guī)劃理論的方法及應用的廣度有待拓寬；（2） 由于論題比較寬泛，很難有對一點或一面進行深入研究和探討；（3） 線性規(guī)劃理論的方法有很多種，本文只講述基本的方法；（4） 線性規(guī)劃的應用領域很廣泛，本文只論述常見的方面。對具體的應用例子中的優(yōu)缺點和改進方面論述不夠具體和詳細；4、預期達到的目標通過這次論文的撰寫更好的了解了線性規(guī)劃理論的發(fā)展歷史、基本概念，深入的認識了線性規(guī)劃問題，更好的掌握了解決線性規(guī)劃問題的方法，并會應用此理論來解決社會經濟中常見的優(yōu)化問題，同時還可以結合其他知識來綜合解決這類問題。除此，對線性規(guī)劃理論的掌握，還能更好的學習其他相關理論，能更好的解決這類問題。四、 論文詳細工作進度和安排第7學期第9周（2010年11月5號）至第7學期第19周（2011年1月10號）完成畢業(yè)論文文獻檢索、文獻綜述、外文文獻翻譯及開題報告。第7學期第19周（2011年1月10號）至第8學期第3周（2011年3月11號）完成畢業(yè)論文的數據收集、論文初稿。第8學期第3周（2011年3月11號）至第8學期第11周（2011年5月3號）1、 進入實習單位進行畢業(yè)實習，對論文進行修改；2、 第11周（2011年5月3日）前必須返校，完成畢業(yè)實習返校，并遞交畢業(yè)實習報告，進一步完善畢業(yè)論文；第8學期第14周（2011年5月23號2011年5月28號）完成第一輪畢業(yè)論文答辯；第8學期第15周（2011年5月28號2011年6月3號）第一輪畢業(yè)論文答辯未通過的學生完成第二輪畢業(yè)論文答辯，并隨機抽取部分完成較好地畢業(yè)論文進行校級答辯五、 主要參考文獻：張干宗.線性規(guī)劃[M].第二版.武漢:武漢大學出版社,2008,6:1-39.胡運權.運籌學教程[M].第三版.北京:清華大學出版社,2007,4:1-10