2019-2020學年人教A版選修2-2 數(shù)學歸納法的原理 課時作業(yè)

2019-2020學年人教A版選修2-2

數(shù)學歸納法的原理課時作業(yè)知識點一

數(shù)學歸納法的原理1.用數(shù)學歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步驗證(

)A．n＝1

B．n＝2C．n＝3

D．n＝4答案C解析由題知，n的最小值為3，所以第一步驗證n＝3是否成立．2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則(

)A．f(n)共有n項，當n＝2時，f(2)＝＋B．f(n)共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋C．f(n)共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝＋D．f(n)共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋答案D解析結合f(n)中各項的特征可知，分子均為1，分母為n，n＋1，…，n2的連續(xù)自然數(shù)共有n2－n＋1個，且f(2)＝＋＋.3．用數(shù)學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1(n∈N*)時，等式左邊應在n＝k的基礎上加上(

)A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2答案D解析當n＝k時，等式左邊＝1＋2＋…＋k2，當n＝k＋1時，等式左邊＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故選D.4．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明1－＋－＋…＋＝2時，若已假設n＝k(k≥2為偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設再證(

)A．n＝k＋1時等式成立B．n＝k＋2時等式成立C．n＝2k＋2時等式成立D．n＝2(k＋2)時等式成立答案B解析因為假設n＝k(k≥2為偶數(shù))，故下一個偶數(shù)為k＋2，故選B.知識點二

用數(shù)學歸納法證明命題5.用數(shù)學歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．證明(1)當n＝1時，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設當n＝k(k∈N*)時等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.那么當n＝k＋1時，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即當n＝k＋1時等式也成立．根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何n∈N*都成立．6．用數(shù)學歸納法證明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)(n∈N*)．證明(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設當n＝k(k∈N*)時等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝k(3k－1)．那么當n＝k＋1時，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝k(3k－1)＋(3k＋1)＝(3k2＋5k＋2)＝(k＋1)(3k＋2)＝(k＋1)[3(k＋1)－1]，即當n＝k＋1時等式也成立．根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何n∈N*都成立．一、選擇題1．證明“＜1＋＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)”，當n＝2時，中間的式子為(

)A．1

B．1＋C．1＋＋

D．1＋＋＋答案D解析當n＝2時，中間的式子為1＋＋＋＝1＋＋＋.故選D.2．我們運用數(shù)學歸納法證明某一個關于自然數(shù)n的命題時，在由“n＝k時論斷成立?n＝k＋1時論斷也成立”的過程中(

)A．必須運用假設B．n可以部分地運用假設C．可不用假設D．應視情況靈活處理，A、B、C均可答案A解析由“n＝k時論斷成立?n＝k＋1時論斷也成立”的過程中必須運用假設．3．設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命題總成立的是(

)A．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，則當k≥8時，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，則當k≥4時，均為f(k)≥k2成立答案D解析對于A，若f(3)≥9成立，由題意只可得出當k≥3時，均有f(k)≥k2成立，故A錯；對于B，若f(5)≥25成立，則當k≥5時均有f(k)≥k2成立，故B錯；對于C，應改為“若f(7)≥49成立，則當k≥7時，均有f(k)≥k2成立”．4．已知命題1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其證明：(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，所以等式成立．(2)假設n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，則當n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1時等式也成立．由(1)(2)知，對任意的正整數(shù)n等式都成立．判斷以上評述(

)A．命題、推理都正確B．命題正確、推理不正確C．命題不正確、推理正確D．命題、推理都不正確答案B解析推理不正確，錯在證明n＝k＋1時，沒有用到假設n＝k的結論，命題由等比數(shù)列求和公式知正確，故選B.5．已知一個命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當n＝1,2，…，1000時，p(k)成立，且當n＝1001時也成立，則下列判斷中正確的是(

)A．p(k)對k＝2004成立B．p(k)對每一個自然數(shù)k都成立C．p(k)對每一個正偶數(shù)k都成立D．p(k)對某些偶數(shù)可能不成立答案D解析由題意，知p(k)對k＝2,4,6，…，2002成立，當k取其他值時不能確定p(k)是否成立．故選D.二、填空題6．用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋<n(n∈N，且n>1)，第一步要證的不等式是________．答案1＋＋<2解析當n＝2時，左邊為1＋＋＝1＋＋，右邊為2.故應填1＋＋<2.7．若存在常數(shù)a，b，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an＋b)對n∈N*都成立，則a、b的值分別為________、________.答案35解析因為存在常數(shù)a、b，使等式對所有的正整數(shù)都成立，所以當n＝1,2時等式都成立，所以得a＋b＝8,2a＋b＝11，解得a＝3，b＝5.8．用數(shù)學歸納法證明不等式“＋＋…＋＞”的過程中，由n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是________．答案解析本題主要考查數(shù)