三重積分及第一類(lèi)線(xiàn)面積分

dxdy

dc

Dzf

(z)dxdydz

dcf

(z)Sz

dzf

(z)dzx2

y2

z22r

z

r

cos

y

r

sin

sinoxzrM(x,y,z)M

(r,

,

)yM

'(

x,

y,0)(3)利用球坐標(biāo):dv

r

2

sindrdd

x

r

sin

cos(2)利用柱坐標(biāo):dv

rdrd

dzx

r

cos

,y

r

sin

,z

z立坐標(biāo)+極坐標(biāo)=柱坐標(biāo)22r1

(

)z1

(

r

,

)r

(

)z

(

r

,

)f

(r

cos

,

r

sin

,

z)dzdrdr221

(

)r1

(

,

)

(

)r

(

,

)2sindf

(r

sin

cos

,

r

sin

sin

,

r

cos

)r

drd2z1

(

x

,

y

)z

(

x

,

y

)三重積分的計(jì)算公式

f

(

x,

y,

z)dv

f

(

x,

y,

z)dzdxdy

Df

(

x,

y,

z)dxdyDzdcdz直角坐標(biāo)“先一后二”及柱坐標(biāo)下計(jì)算三重積分要求

在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域。

f

(

x,

y,

z)dv

f

(x(u,

v,

w),

y(u,

v,

w),

z(u,

v,

w))

Jdudvdw'yywvyu

zzwzvuJ

x

x(u,v,

w),

y

y(u,v,

w),

z

z(u,v,

w)(

x,

y,

z)

(u,v,

w)

'(4)利用變量代換*

:

dv

J

dudvdw(5)三重積分的對(duì)稱(chēng)性102

f

(

x,

y,

z)dv則

f

(x,y,z)dv

當(dāng)f

(x,y,z)

f

(x,y,z)當(dāng)f

(

x,

y,

z)

f

(

x,

y,z)若

1

2且1與2關(guān)于xoy面對(duì)稱(chēng)，f

(x,y,z)為連續(xù)函數(shù)，1（1988，3

分）設(shè)有空間區(qū)域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0,y≥0,z≥0，則（A）12

12ydv.（C）xdv

4

xdv.（B）zdv

4zdv.（D）1

2

1

2xyzdv.ydv

4xyzdv

4

（C）2（1989，5

分））計(jì)算三重積分

(x

z)dv，其中Ω是由曲x2面z

y2

與z

1

x2

y2

所圍成的區(qū)域1340200

(x

z)dv

zdvr

cos

sindr

8

dd提示：x2

y2

1z2101/

21/

2zdz8dxdy

zdv

dxdy

zdz

x2

y2

z2又考查：對(duì)稱(chēng)性，三重積分計(jì)算考查：對(duì)稱(chēng)性z21yOx提示：r2

,

y,

z

0

(x,

y,

z)

x2

y2

2z,0

z

8(x2

y2

)dxdy0003dz8

2d

2

z

r

2rdr

10240

x2

y2

2

z8又，I

dz

28420002.23rrdrr2

42

,0

r

4,

z

82

10243

r2

r dz

28

drI

d

3.（1997，5分）計(jì)算I

(x2

y2

)dV

,其中為

y2

2zz

8所圍成的區(qū)域.平面曲線(xiàn)x

0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面與平面—為四分之一球1

z

1

解：

0

y

1

x2：1

x2

y2

1

x

1dr

I

60cos0

12cos

r

2

sind

4

dr用球坐標(biāo)做：dv

r

2

sindrdd0

40

':

1

cos

r

2cosox(7

4

2)yz1

x21

1

x2

y212x2

y2

z10dy1dzI

dx4.5.（1991，5

分）

(x2

y2

z)dv

，其中是由曲線(xiàn)

y2

2z

x

0，繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面z

4所圍的

.解法1

{(

x,

y,

z)

x2

y2

2z,0

z

4}Dxy

{(

x,

y)2

24x

y22(

x2

y2

z)dz2

y242

{(

x2

y2

)(4

25r

480

02

d

(4r

2

8

y

z)dv

)

}dxdy

(

x2

y2

)2

/

42256)r

83DxyxyDdxdyx2

(

x

（立坐標(biāo)+極坐標(biāo)）2422228

2

5r

4

256(4r

8

)rdr

8

3200(x

y

z)dv

(r

z)dz2

8

[r

2

(4

r

)

8

r

2

4]rdrdxyrDxyDrdrdd

解法2直接用柱坐標(biāo)：解法3

“先二后一”4dz

(

x2

y2

z)dxdy4200032

z

256(r

2

z)rdr

dzd0

x2

y2

2

z2

2Dz

{(

x,

y

)

x

y

2z

}6.

求

e

z

dv,其中：x2

y2

z2

1

11Dzzdxdye

dz

1)dxdy1

:x

y

z

1及z

02

2

2解法2：

e

z

dv

2

ez

dv

1D

D01

x

2

y

21

x

2

y

2

2

dxdy

ez

dz

2

(ee

(1

z

)dz

2z

2101解法1：

e

z

dv

2z

)dz

21e

(1

zzD

:

x2

y2

1

z2

2令

1r

2

t

4(e

1)rdr

4d2e

tdt

210100101

r

22e

1r

rdr

2

2tD

:

x2

y2

1消去z得D

:x2

y2

3,x

0,y

0

y2

z2

42

x2x

y2

（z

2)2

4從

y2

（z

2)2

4,

x

0,y

0

:

x

2

y2

z

2

4,

xydxdydz

,x

260534

r

2

)dr

rr

2

(

4

r

2

2

cos

sindr

2

cos

sindz203020302xydxdydzrdr4r

22

4rd例7解法１柱坐標(biāo)解法2

“先二后一”

xydxdydz

4

z

24

z

z

2x

2

y

2

4

z

z

2x0,

y0200r

3

cos

sindr21200r

3

cos

sindr1021

xydxdyx

2

y

2

4

z

2x0,

y010dddzdzdzxydxdydz60

53例8

(x

y

z)2

dv,

:

z

x2

y2

,

x2

y2

z2

2(r

2

z2

)dzrdr

z2

)dv

(

x

y

z)2

dv

(

x2

y2

r

22r

2102

2

02(r

z

)rdrddz

d60892

)85

(22消去z求得投影區(qū)域D：x

y

1從x

y2

z2

22

y2

zx2解法１(x

y

z)2

x

2

y2

z

2

2

xy

2

yz

2zx1062

2

2

22010z32r[(r

z

2031]2r

22323r{r

(

2

r

r

)

[(2

r

)

r

]}drddrdrXY12602

89)5

(

8

y2

z2

2

(

x

y

z)2

dv,

:

z

x2

y2

,

x2r

4

sin

dr

2d

(

x

y

z)2

dv

(

x2

y2

z

2

)dv

r

2r

2

sindrdd

r

2r

2

sindrdd

d4420

d

2

sind0

cossin2

r

4dr012020

解法２D1

34r4方法4.rD2rdrdzdz

rdrdzdz

x2

y2

思考題:計(jì)算三重積分

zdv,其中:z

3z,

0

z

4

1284320d

cos

cos

2

sind

4d0

方法1:用球坐標(biāo)423z00d

z

rdrzdz方法2:截面法2424

34r方法3.用柱坐標(biāo).0

d0zdz

0

d433rrrdrrdrzdz2D

：0

r

4,

0

21D

：0

r

4

3,

0

2

f

(x2于零，

f

(x2

y2

)d1

(2003，12

分)

設(shè)函數(shù)

f(x)連續(xù)且

y2

z2

)dvF

(t)

(t

)

f

(x2

y2

)dD(t

)f

(x2

)dxt1，G(t)

D

(t

)，其中(t){(x,y,z)x2

y2

z2

t2},D(t)

{(x,

y)

x2

y2

t

2}.(1) F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)的單調(diào)性.(2)

證明當(dāng)t>0

時(shí)，F(xiàn)

(t)

2

G(t).綜合題ttd02f

(r

)rdr00t2

f

(r

2

)r

2

drF

(t)

0

0

0

0

22

t

d

d

f

(r

2

)r

2

sin

dr2f

(r

)rdr02

2022[f

(r

)r(t

r)drtf

(t

)F

(t)

2ttF(t

)

0解（1）（2）G(t)

t0f

(r

)rdr

]tf

(r

2

)rdr02f

(r

)dr只需證明t>0時(shí)，F(xiàn)

(t)

2

G(t)

02f

(r

2

)rdr]200f

(r

2

)r

2dr0g(t

)

:f

(r

)dr

[ttt2r)

dr

002f

(r

)(t2g

(t)

f

(t

)t又g(0)=0,

故當(dāng)t>0時(shí)，g(t)>0,

0

z

h0

2解：

:

0

r

tt

2dtdv

rdrddzt

0其中為０

z

h,x2

y2

t

2

(t

0),求dF

，lim

F

(t

)設(shè)f

(

x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)

(t

)

[z2

f

(

x2

y2

)]dv]3

F'(t

)

2ht[

f

(t

2

)

h2r]drh3t3

202[hf

(r

)r

drdF

(t

)

th20002[z

f

(r

2

)]rdz2332tlimh2h2t

0

lim

2h[

f

(t

2

)

]

2h[

f

(0)

]t

2F

(t

)

F'(t

)

limt

0t

0求lim4t0

t其中F

(t

)

4t02f

(r)

r

d

r4F

(t

)

limt

0

t利用法則與導(dǎo)數(shù)定義,得34

f

(t)

t

2

lim

f

(t)

f

(0)

f

(0)limt

04

tt

0t0F

(0)

0f

(

x2

y2

z

2

)

d

x

d

y

d

zx2

y2

z

2

t

2解:在球坐標(biāo)系下314由f

(0)

0,得出c

.x2

y2

z2

t2x23

f

(

y2

z2

)dxdydz

t3設(shè)f

(t)在[0,)上連續(xù)且滿(mǎn)足f

(t)

1(0

t

)，證明：f

(43

4)

1

(e

1)2f

(r)r

2

sin

dr

t3

12230000f

(r)r dr

tttdd證：f

(t)

3f

'(t)

12t2

f

(t)

3t24

f

(t)

e4

t3

(c

1

e4

t3

)143

4

f

( )

1

(e

1)4解由于

eu2

du不可積,必須改變成x

z

y(1

y

z

)21

x

z00dz0(1

y)e

dydx1 1

x計(jì)算xozy111221

y

z(1

y

z

)0011

y(1

y

z

)00(1

y)e(1

y

z)e

14edydz1 1

y(1

y)dydxdz

00

x

1

y

z原式

0

y

1:

0

z

1

y三重積分交換積分次序與極坐標(biāo)交換積分次序方法三重積分交換積分次序改變積分次序?yàn)橄葘?duì)x,再對(duì)y,最后對(duì)z11則I

將三次積分I

dy

f

(

x,

y,

z)dzdxy0

x

x

zdzz

01

1dy

f

(

x,

y,

z)dx0解

I

yxDf

(

x,

y,

z)dzdxdyxy

x

y

1Dxy

:

0

x

1oxy11yxyf

(

x,

y,

z)dzdxdy010

I

yxyyxf

(

x,

y,

z)dzdxdyf

(

x,

y,

z)dzdxdyDxy010D(

y

)10f

(

x,

y,

z)dxdzdyzyf

(

x,

y,

z)dxdzdy0010oxzyy

x

z

yD(y):0

x

y(y視為常數(shù)

I

zyD(

y

)xyxf

(

x,

y,

z)dxdzdyf

(

x,

y,

z)dxdzdyf

(

x,

y,

z)dzdxdyDxy00101001

y

y0

dy

dx

f

(

x,

y,

z)dz

zf

(

x,

y,

z)dxdydz0zzf

(

x,

y,

z)dxdydzDyz10100

z

y0

y

1yzD

:oyz11解:

2

cD21

x2

y

d

x

d

ya2

b2由對(duì)稱(chēng)性2

1

,a

bx2

y2取D：2變量代換例.

試計(jì)算橢球體令x

ar

cos

,y

br

sin

,則D

的原象為D

:

r

1

，0

2(

r,

)b

sin

a

r

sinbr

cosJ

(x,

y)

a

cosd

1020

2

abc31

r

2

r

d

r

4

abc

abr

V

2

cD

1

r

2

abr

d

r

d的體積V.

1b2

c2ax2

y2

z2x2

y2

z2

)dv

其中：b2

c2

2求(a2解法１

yyyzzzJ

rrr

abcr2

sinc

cos

b

sin

sin

ar

sin

sin

br

sin

cos

0a

sin

cosar

cos

cosbr

cos

sin

cr

sin

(

a2

r

2

abcr

2

sindrddr

1x2

y2

z2)dvb2

c2abcd

dr

2

00104d

abcr

sin54abcx2aa

x2

x2x2

bc(1

)dxa2a403a2

5a4

15x3

x5

2bc[

]a

2

20

a2

bc(1

a2

)dxax

2y2

z

2 x

2Dx

:

b2

c2

1

a

2

,Sx

bc(1

a

2

)aaDxdydzdxa

ax222x2(

)dv

解法2:4y2

z2同理，(b2

)dv

(c2

)dv

15abc

4x2

y2

z2

)dv

abcb2

c2

5(

a2

z2

1將分成二部分：

1

2用球：x2

y2

y2

z2

1

y2

z2

1x2x221

y2

z2

1x2

y2

z

2x21

x2

y2

z

x2

y2

,z

1所圍x2

y2

z2

dv,

:由z

1

去絕對(duì)值6

( 2

1)2(r

1)r

sind0100102024

1

cos

1

24(1

r

)r

sindr

ddd

d

y2

z

2

1]dvx

2

[1

y2

z

2

]dv

[12x

2

y2

z

2

dv

x

2第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算－轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算~~~~~~~~~~~~~~~~~設(shè)

f

(

x,

y)在曲線(xiàn)弧

L上有定義且連續(xù)

,

則L

f

(

x,

y)ds

222f

(

x(

y),

y) 1

x

'2

(

y)dy,f

(r

cos

,

r

sin

)

r

2

r

'2

d

,

L

:

r

r(

)L

:

x

(t

)'

(t

)dt,f

(

(t

),

(t

))

'

(t

)

y

(t

)f

(

x,

y(

x)) 1

y

'

(

x)dx,L

:

y

y(

x)L

:

x

x(

y)badc

下限<上限(

)

f

(

x,

y,

z)ds2

2

2

f

[

(t

),

(t

),

(t

)]

(t

)

(t

)

(t

)dt1.

:

x

(t

),

y

(t

),

z

(t

). (

t

)2.

F(x,

y,

z)

0G(x,

y,

z)

0參數(shù)化、對(duì)稱(chēng)性空間第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算例1.填空題2．（1989，3

分）設(shè)平面曲線(xiàn)

L

為下半圓周y

1

x2則曲線(xiàn)積分2L(x

y2

)ds=

.4y2則L

(2

xy

y

4

x

y

)ds

3

2

23.(1998,3分）設(shè)L

:

x2

1,其周長(zhǎng)為a,4ads

y2L

x21.設(shè)L

:

y

1

x2

,則

1注：曲線(xiàn)方程L(Γ)可代入被積函數(shù)簡(jiǎn)化,這一點(diǎn)與重積分是完全不同的。

x

y

y2

z2

a2

,2.設(shè)L

:

x2L22

y2

z

ds

則22z

ds

x2

y2

LLads

2a0

t

22222

2

x

2

x

a

cost

z

a

sint

y

a

cost

x

y

y2

z

ax

y2

y

z

2

a

2法2.

化參數(shù)方程，用定積分做2y2

z2

R2

,x

ds,求I

x

y

z

0.其中為圓周解法1由輪換對(duì)稱(chēng)性,

知222z ds.y

ds

x

ds

故I

132(

x

y2

z2

)ds23Rds

32

R.3(2

R

ds,球面大圓周長(zhǎng))解法2將y

(x

z)代入x2

y2

z2

a2得0233a2

cos

2

tadtL2

2

2

a3x ds

22

2

x

y

z

0

3

x

2(z

)

a2L

:

2

xds

x'2

y'2

z'2

dt

adt222z

x

a

sin

t

z

a

(sin

t

1

cos

t

),3cos

t

)3x

2a

cos

t,31(sin

t

2y

(

x

z)

a3

x2

2(z

x

)2

a2

,則2

2x2

（x

z）2

z2

a2

化為參數(shù)方程y2

z2

R2

,

z

3

R.求I

(

x2

2

y2

)ds,其中為圓周解

由輪換對(duì)稱(chēng)性,

知2

22

y

ds

z ds.22故I

22x

ds

(

x

y2

z

)ds

Rds圓周長(zhǎng)：

ds

2

r

R圓周半徑：r

R2

d

22

R3

a2原點(diǎn)到平面2

z

3

R

的距離d

I

R3y2

z2

R2

,求I

(2

xy

2

yz

2zx)ds,2

z

3

R.其中為圓周2xy

2

yz

2zx

(

x

y

z)2

x2

y2

z2提示L

:x2

y2

a2

,y

x及x軸在L

ex

2

y2

ds第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界。解：L1

:y

0(0

x

a),y'

0,ds

dxOx3L

:

x2

y2

a2L1:

y=0y242

),

y'

1,

ds

2dxds

adtL

:

x

a

cost,

y

a

sint(0

t

)ax2dxa2

e4

2(ea

1)

a

ea22

x0

0

0e dx

4

eaadt

31

2LLLLL3

:

y

x(0

x

ax2

y2

ds

eeex2

y2

ds

x2

y2

ds

x2

y2

ds

e第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算(1)

:

z

z(

x,

y),(

x,

y)

Dxy

Dxyyx

z2

dxdyf

(

x,

y,

z)dS

f

[

x,

y,

z(

x,

y)]

1

z2f

[

x,

y(

x,

z),

z] 1

y

2

y2

dxdz;x

z

Dzx(3)

：

x

x(

y,

z),

(

y,

z)

Dyz

f

(

x,

y,

z)dS

f

[

x(

y,

z),

y,

z] 1

x

2

x2

dydz.y

zDyz

f

(

x,

y,

z)dS

(2)

:

y

y(z,

x),(z,

x)

Dzx(

x2

y2

2

y

5)dS

:

(

y

1)2

1(0

z

3)x2例為球面x2

y2

z2

a2

,則

xdS

0 注：曲面方程S可代入被積函數(shù)簡(jiǎn)化,這一點(diǎn)與重積分是完全不同的。30（C）例1

選擇題（2002，3分）（2002，3

分）設(shè)S:x2+y2+z2=a2

(z≥0),S1

為S

在第一卦限中的部分，則有（A）

xdS

4

xdS.（B）

ydS

4

xdS.S

S1

S

S1（C）

zdS

4

xdS.（D）

xyzdS

4

xyzdS.S

S1

S

S1對(duì)稱(chēng)性與輪換對(duì)稱(chēng)性例2.填空題（2007，4

分）設(shè)曲面

:

x

y

z

1，則

(x

|

y

|)dS

=

.解

xdS

03

1

(|

x

|

|

y

|

|

z

|)dS

(x

|

y

|)dS

|

y

|dS

|

x

|dS

|

z

|dS===332

43.33dS

1

8

1

例2.填空題（2007，4

分）設(shè)曲面

:

x

y

z

1，則

(x

|

y

|)dS

=

.1(x

|

y

|)dS

8

ydS

∑1為∑在第一卦限中的部分dS

1

zx

z dxdy

3dxdy2

2y1001

y438

y

3dxdy

8

3D3ydydx

解oP(2,0,0)Q(0,3,0)yR(0,0,4)3

2

3

4I

(2x

4

y

z)dS,

:

x

y

z

1在第z一卦限部分2

3

4

4

(

x

y

z

)dS

4

dS

4S4I

(2x

3

y

z)dS

解Dx{6,4,3