【全程復(fù)習(xí)方略】（廣東專(zhuān)用）年高考數(shù)學(xué) 第四章 第五節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 理 新人教A

第五節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入編輯ppt編輯ppt1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做_____，b叫做_____.實(shí)部虛部編輯ppt(2)分類(lèi)：滿(mǎn)足條件(a,b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類(lèi)a+bi為實(shí)數(shù)?____a+bi為虛數(shù)?_____a+bi為純虛數(shù)?b=0b≠0編輯ppt(3)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di?(a,b,c,d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?(a,b,c,d∈R).(5)模：向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作____或_______，即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).|z||a+bi|(3)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di?(a,b,c,d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?(a,b,c,d∈R).(5)模：向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作____或_______，即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).編輯ppt2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面：建立___________來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.(2)實(shí)軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi),x軸叫做_____,y軸叫做_____，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示_____；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示_______.(3)復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)______平面向量.直角坐標(biāo)系實(shí)軸虛軸實(shí)數(shù)純虛數(shù)Z(a,b)編輯ppt3.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算(1)運(yùn)算法則:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，則運(yùn)算名稱(chēng)符號(hào)表示語(yǔ)言敘述加減法z1±z2=(a+bi)±(c+di)=_______________把實(shí)部、虛部分別相加減乘法z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________按照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，并把i2換成-1(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)i編輯ppt運(yùn)算名稱(chēng)符號(hào)表示語(yǔ)言敘述除法=(c+di≠0)把分子、分母分別乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，然后分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算編輯ppt(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律:設(shè)z1,z2,z3∈C，則復(fù)數(shù)加法滿(mǎn)足以下運(yùn)算律:①交換律：z1+z2=_____；②結(jié)合律：(z1+z2)+z3=_________.z2+z1z1+(z2+z3)編輯ppt判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)方程x2+x+1=0沒(méi)有解.()(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中，虛部為bi.()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(4)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).()(5)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.()編輯ppt【解析】(1)錯(cuò)誤.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程x2+x+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解；但在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，此方程有解，且解為x=.故不正確.(2)錯(cuò)誤.根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，在復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中，虛部應(yīng)為b.故不正確.(3)錯(cuò)誤.只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都為實(shí)數(shù)時(shí)，它們才能比較大小，其他情況不能比較大小.故不正確.(4)正確.原點(diǎn)在實(shí)軸上，也在虛軸上.故正確.(5)正確.根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知此結(jié)論正確.答案:(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√

編輯ppt1.已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)為純虛數(shù)，則a的值為()(A)-(B)(C)-(D)【解析】選A.(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)i為純虛數(shù)，故得a＝－.編輯ppt2.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)的實(shí)部是()(A)(B)-(C)(D)-【解析】選A.，實(shí)部為.編輯ppt3.若a，b∈R，i為虛數(shù)單位，且(a＋i)i＝b＋i，則()(A)a＝1，b＝1(B)a＝－1，b＝1(C)a＝1，b＝－1(D)a＝－1，b＝－1【解析】選C.由(a＋i)i＝b＋i，得：－1＋ai＝b＋i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得：a＝1，b＝－1.編輯ppt4.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】選C.z＝,故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為()，位于第三象限.編輯ppt5.設(shè)z1是復(fù)數(shù)，z2＝z1－i(其中表示z1的共軛復(fù)數(shù))，已知z2的實(shí)部是－1，則z2的虛部為_(kāi)______.【解析】設(shè)z1＝x＋yi(x，y∈R)，則z2＝x＋yi－i(x－yi)＝(x－y)＋(y－x)i，故有x－y＝－1，則y－x＝1.答案:1編輯ppt考向1復(fù)數(shù)的概念【典例1】(1)(2012·江西高考)若復(fù)數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位),是z的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為()(A)0(B)-1(C)1(D)-2(2)(2012·湖南高考)已知復(fù)數(shù)z=(3+i)2(i為虛數(shù)單位)，則|z|=________.(3)(2012·江蘇高考)設(shè)a,b∈R，a+bi=(i為虛數(shù)單位)，則a+b的值為_(kāi)______.編輯ppt【思路點(diǎn)撥】

編輯ppt【規(guī)范解答】(1)選A.因?yàn)閦=1+i，所以=1-i，∴=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0，故虛部為0.(2)由條件得z=(3+i)2=9+6i-1=8+6i,∴|z|==10.答案:10(3)∵a+bi===5+3i，∴a=5,b=3,∴a+b=8.答案:8編輯ppt【互動(dòng)探究】本例題(3)的條件不變，結(jié)論改為“則復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)=_____”.結(jié)果如何？【解析】由本例題(3)的解題過(guò)程可得z=5+3i，所以=5-3i.答案:5-3i編輯ppt【拓展提升】解答復(fù)數(shù)概念題的關(guān)注點(diǎn)(1)復(fù)數(shù)的分類(lèi)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿(mǎn)足的條件問(wèn)題，解題時(shí)只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，確定出實(shí)部、虛部即可．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝，實(shí)際上就是指復(fù)平面上的點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離；|z1－z2|的幾何意義是復(fù)平面上的點(diǎn)Z1,Z2之間的距離．編輯ppt【變式備選】(1)若復(fù)數(shù)(a∈R，i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()(A)-2(B)4(C)-6(D)6【解析】選C.=.∵復(fù)數(shù)是純虛數(shù),∴∴a=-6.編輯ppt(2)已知a∈R，復(fù)數(shù)z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)_____.【解析】.∵為純虛數(shù)，∴∴a＝1,∴=1,故的虛部為1.答案:1

編輯ppt考向2復(fù)數(shù)的幾何意義【典例2】(1)在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()(A)1－2i(B)－1＋2i(C)3＋4i (D)－3－4i編輯ppt(2)(2013·惠州模擬)設(shè)z1=3-4i,z2=-2+3i，則z1+z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)(2013·大同模擬)已知f(x)=x2,i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限編輯ppt【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義求解．(2)求z1+z2，由實(shí)部、虛部確定點(diǎn)所在象限.(3)求出復(fù)數(shù)，再判斷對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.編輯ppt【規(guī)范解答】(1)選D.向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－2－i，∵，∴對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.(2)選D.z1+z2=(3-2)+(-4+3)i=1-i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1，-1)，∴在第四象限.(3)選A.，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是()，在第一象限.編輯ppt【拓展提升】對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?.(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀.編輯ppt【變式訓(xùn)練】(1)已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=i+2i2+3i3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】選C.z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(-2,-2)，故選C.編輯ppt(2)已知復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面的第二、四象限的角平分線上，則實(shí)數(shù)a=______.【解析】已知復(fù)數(shù)=-1-(a+1)i,由題意知a+1=-1，解得a=-2.答案:－2編輯ppt考向3復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算【典例3】(1)(2012·遼寧高考)復(fù)數(shù)=()(A)(B)(C)(D)(2)(2012·安徽高考)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足：(z-i)(2-i)=5,則z=()(A)-2-2i(B)-2+2i(C)2-2i(D)2+2i編輯ppt(3)若z=cosθ+isinθ(i為虛數(shù)單位)，則使z2=1成立的θ值可能是()(A)(B)(C)(D)π【思路點(diǎn)撥】(1)將復(fù)數(shù)進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則計(jì)算.(2)將等式化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.(3)先求出z2，再根據(jù)條件得到關(guān)于θ的三角函數(shù)關(guān)系式，驗(yàn)證求解即可.編輯ppt【規(guī)范解答】(1)選A.(2)選D.(z-i)(2-i)=5?z-i=?z=i+=2+2i.(3)選D.z2=(cosθ+isinθ)2=cos2θ+isin2θ=1,∴cos2θ=1,sin2θ=0,∴θ=kπ,k∈Z,經(jīng)驗(yàn)證知選項(xiàng)D成立.編輯ppt【拓展提升】1.復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的解答策略復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類(lèi)比多項(xiàng)式的運(yùn)算，除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式．編輯ppt2.幾個(gè)常用結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度.(1)(1±i)2=±2i;=i;=-i.(2)-b+ai=i(a+bi).(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.編輯ppt【變式訓(xùn)練】(1)(2012·天津高考)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=()(A)2+i(B)2-i(C)-2+i(D)-2-i【解析】選B.=2-i.編輯ppt(2)復(fù)數(shù)z＝1＋i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則z·－z－1＝()(A)－2i(B)－i(C)i(D)2i【解析】選B.依題意得z·－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i，選B.編輯ppt【創(chuàng)新體驗(yàn)】復(fù)數(shù)中的新定義問(wèn)題【典例】(2013·廣州模擬)在實(shí)數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“＞”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”．類(lèi)似地，我們?cè)趶?fù)數(shù)集C上也可以定義一個(gè)稱(chēng)為“序”的關(guān)系，記為“＞”．定義如下：對(duì)于任意兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R)，z1＞z2當(dāng)且僅當(dāng)“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．編輯ppt按上述定義的關(guān)系“＞”，給出如下四個(gè)命題：①若z1＞z2，則|z1|＞|z2|；②若z1＞z2，z2＞z3，則z1＞z3；③若z1＞z2，則對(duì)于任意z∈C，z1+z＞z2+z；④對(duì)于復(fù)數(shù)z＞0，若z1＞z2，則zz1＞zz2.其中所有真命題的個(gè)數(shù)為()(A)1(B)2(C)3(D)4編輯ppt【思路點(diǎn)撥】

編輯ppt【規(guī)范解答】選B.對(duì)于復(fù)數(shù)z1=2+i,z2=1-3i顯然滿(mǎn)足z1＞z2，但|z1|=,|z2|=，不滿(mǎn)足|z1|＞|z2|，故①不正確；設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i，由z1＞z2,z2＞z3可得“a1＞a3”或“a1=a3且b1＞b3”，故②正確；設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z=a+bi，由z1＞z2可得“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．顯然有“a1+a＞a2+a”或“a1+a=a2+a且b1+b＞b2+b”，從而z1+z＞z2+z.故③正確；編輯ppt對(duì)于復(fù)數(shù)z1=2+i,z2=1-3i顯然滿(mǎn)足z1＞z2，令z=1+i，則zz1=(1+i)(2+i)=1+3i，zz2=(1+i)(1-3i)=4-2i,顯然不滿(mǎn)足zz1＞zz2，故④錯(cuò)誤.綜上②③正確，故選B.編輯ppt【思考點(diǎn)評(píng)】1.方法感悟:本題體現(xiàn)了類(lèi)比方法的運(yùn)用，即通過(guò)類(lèi)比的方式，給出了復(fù)數(shù)中與實(shí)數(shù)類(lèi)似的結(jié)論，借以考查閱讀理解和應(yīng)用新知識(shí)解決問(wèn)題的能力.這種類(lèi)比的方法在數(shù)學(xué)中可以幫助我們得到一些新的結(jié)論.編輯ppt2.技巧提升:利用復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類(lèi)比來(lái)命題是一個(gè)新的考查方向，主要以給出新概念或新運(yùn)算為主，用來(lái)考查學(xué)生的閱讀理解、應(yīng)用新知識(shí)解決問(wèn)題的能力.從實(shí)質(zhì)上看，此類(lèi)問(wèn)題考查的還是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，解題的關(guān)鍵是抓住新概念或新運(yùn)算的特征，對(duì)所給的新信息進(jìn)行分析，并且將所給信息與所學(xué)知識(shí)相結(jié)合.編輯ppt1.(2013·湛江模擬)已知a是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則a=()(A)1(B)-1(C)(D)-【解析】選A.，由題意知是純虛數(shù)，∴=0，即a=1.選A.編輯ppt2.(2012·廣東高考)設(shè)i為虛數(shù)單位，則