傅里葉編變換實質(zhì)分析和卷積計算

-M-M傅立葉變換是線性算子，若賦予適當?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子；傅立葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲??；5.離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT))。Atj)=JAtfW-fW=J町-fW(Eq12)卷積的物理意義是將輸入信號用時移加權(quán)的單位沖激信號和(積分)表示，然后輸出就是各個沖激信號作用系統(tǒng)后再求和，而時移量u(f(t-u))，再對u積分，就產(chǎn)生了反轉(zhuǎn)。柵欄效應(yīng)：對采樣信號的頻譜，為提高計算效率，通常采用FFT算法進行計算，設(shè)數(shù)據(jù)點數(shù)為N=T/dt=T.fs則計算得到的離散頻率點為Xs(fi),fi=i.fs/N,i=0,1,2,...,N/2這就相當于透過柵欄觀賞風景，只能看到頻譜的一部分,而其它頻率點看不見，因此很可能使一部分有用的頻率成分被漏掉，此種現(xiàn)象被稱為柵欄效應(yīng).不管是時域采樣還是頻域采樣，都有相應(yīng)的柵欄效應(yīng)。只是當時域采樣滿足采樣定理時，柵欄效應(yīng)不會有什么影響。而頻域采樣的柵欄效應(yīng)則影響很大，“擋住”或丟失的頻率成分有可能是重要的或具有特征的成分，使信號處理失去意義。減小柵欄效應(yīng)可用提高采樣間隔也就是頻率分辨力的方法來解決。間隔小，頻率分辨力高，被“擋住”或丟失的頻率成分就會越少。但會增加采樣點數(shù)，使計算工作量增加。解決此項矛盾可以采用如下方法：在滿足采樣定理的前提下，采用頻率細化技術(shù)(ZOOM)，亦可用把時域序列變換成頻譜序列的方法。例如：505Hz正弦波信號的頻譜分析來說明柵欄效應(yīng)所造成的頻譜計算誤差。設(shè)定采樣頻率fs=5120Hz，軟件中默認的FFT計算點數(shù)為512，其離散頻率點為fi=i.fs/N=i.5120/512=10Xi，i=0，1，2，…，N/2位于505Hz位置的真實譜峰被擋住看不見，看見的只是它們在相鄰頻率500Hz或510Hz處能量泄漏的值。若設(shè)fs=2560Hz，則頻率間隔df=5Hz，重復上述分析步驟，這時在505位置有譜線，我們就能得到它們的精確值。從時域看，這個條件相當于對信號進行整周期采樣，實際中常用此方法來提高周期信號的頻譜分析精度。旁瓣效應(yīng)：補零對頻譜的影響：進行zeropadding只是增加了數(shù)據(jù)的長度，而不是原信號的長度。就好比本來信號是一個周期的余弦信號，如果又給它補了9個周期長度的0,那么信號并不是10個周期的余弦信號，而是一個周期的余弦加一串0,補的0并沒有帶來新的信息。其實zeropadding等價于頻域的sinc函數(shù)內(nèi)插，而這個sinc函數(shù)的形狀(主瓣寬度)是由補0前的信號長度決定的，補0的作用只是細化了這個sinc函數(shù)，并沒有改變其主瓣寬度。而頻率分辨率的含義是兩個頻率不同的信號在頻率上可分，也就要求它們不能落到一個sinc函數(shù)的主瓣上。所以，如果待分析的兩個信號頻率接近，而時域長度又較短，那么在頻域上它們就落在一個sinc主瓣內(nèi)了，補再多的0也是無濟于事的。第3章信號分析與處理通過測試所獲得的信號往往混有各種噪聲。噪聲的來源可能是由于測試裝置本身的不完善，也可能是由于系統(tǒng)中混入其他的輸入源。信號的分析與處理過程就是對測試信號進行去偽存真、排除干擾從而獲得所需的有用信息的過程。一般來說，通常把研究信號的構(gòu)成和特征值的過程稱為信號分析，把對信號進行必要的變換以獲得所需信息的過程稱為信號處理，信號的分析與處理過程是相互關(guān)聯(lián)的。信號處理的方法包括模擬信號處理和數(shù)字信號處理兩種方法。模擬信號處理法模擬信號處理法是直接對連續(xù)時間信號進行分析處理的方法，其分析過程是按照一定的數(shù)學模型所組成的運算網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)的，即使用模擬濾波器、乘法器、微分放大器等一系列模擬運算電路構(gòu)成模擬處理系統(tǒng)來獲取信號的特征參數(shù)，如均值、均方根值、自相關(guān)函數(shù)、概率密度函數(shù)、功率譜密度函數(shù)等。數(shù)字信號處理法數(shù)字信號處理就是用數(shù)字方法處理信號，它可以在專用的數(shù)字信號處理儀上進行，也可以在通用計算機上或DSP芯片上通過編程實現(xiàn)。在運算速度、分辨力和功能等方面，數(shù)字信號處理技術(shù)都優(yōu)于模擬信號處理技術(shù)。目前，數(shù)字信號處理已經(jīng)得到越來越廣泛的應(yīng)用。卷積的物理意義(2009-11-3009:25:54)假設(shè)0時刻系統(tǒng)響應(yīng)為y(0),若其在1時刻時，此種響應(yīng)未改變，則1時刻的響應(yīng)就變成了y(0)+y(1),叫序列的累加和(與序列的和不一樣)。但常常系統(tǒng)中不是這樣的，因為0時刻的響應(yīng)不太可能在1時刻仍舊未變化，那么怎么表述這種變化呢，就通過h(t)這個響應(yīng)函數(shù)與x(0)相乘來表述，表述為x(m)Xh(m-n)，具體表達式不用多管，只要記著有大概這種關(guān)系，引入這個函數(shù)h(t)就能夠表述y(0)在1時刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1時刻的真實值，再通過累加和運算，才得到真實的系統(tǒng)響應(yīng)。再拓展點，某時刻的系統(tǒng)響應(yīng)往往不一定是由當前時刻和前一時刻這兩個響應(yīng)決定的，也可能是再加上前前時刻，前前前時刻，前前前前時刻，等等，那么怎么約束這個范圍呢，就是通過對h(n)這個函數(shù)在表達式中變化后的h(m-n)中的m的范圍來約束的。即說白了，就是當前時刻的系統(tǒng)響應(yīng)與多少個之前時刻的響應(yīng)的“殘留影響”有關(guān)。當考慮這些因素后，就可以描述成一個系統(tǒng)響應(yīng)了，而這些因素通過一個表達式(卷積)即描述出來不得不說是數(shù)學的巧妙和迷人之處了。對于非數(shù)學系學生來說，只要懂怎么用卷積就可以了，研究什么是卷積其實意義不大，它就是一種微元相乘累加的極限形式。卷積本身不過就是一種數(shù)學運算而已。就跟“蝶形運算”一樣，怎么證明，這是數(shù)學系的人的工作。在信號與系統(tǒng)里，f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)可用f(t)與其單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分求解得，即y(t)=f(t)*h(t)學過信號與系統(tǒng)的都應(yīng)該知道，時域的卷積等于頻域的乘積，即有Y(s)=F(s)XH(s)o(s=jw，拉氏變換后等到的函數(shù)其實就是信號的頻域表達式)有一點你必須明白，在通信系統(tǒng)里，我們關(guān)心的以及要研究的是信號的頻域不是時域，原因是因為信號的頻率是攜帶有信息的量。所以，我們需要的是Y(s)這個表達式，但是實際上，我們往往不能很容易的得到F(s)和H(s)這兩個表達式，但是能直接的很容易的得到f(t)和h(t)，所以為了找到Y(jié)(s)和y(t)的對應(yīng)關(guān)系，就要用到卷積運算。系統(tǒng)的激勵一般都可以表示為沖擊函數(shù)和激勵的函數(shù)的卷積，而卷積為高等數(shù)學中的積分概念。建議你去看看定積分的內(nèi)容。特別注意的是：概念中沖擊函數(shù)的幅度是由每個矩形微元的面積決定的。信號處理是將一個信號空間映射到另外一個信號空間，通常就是時域到頻域，(還有z域，s域)，信號的能量就是函數(shù)的范數(shù)(信號與函數(shù)等同的概念)，大家都知道有個Paserval定理就是說映射前后范數(shù)不變，在數(shù)學中就叫保范映射，實際上信號處理中的變換基本都是保范映射，只要Paserval定理成立就是保范映射(就是能量不變的映射)。傅立葉變換的意義和卷積(ZZ)收藏(一)傅立葉變換的物理意義傅立葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法。但是該算法到底有何意義呢？要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。從現(xiàn)代數(shù)學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換/r/