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2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知滿足,則的取值范圍為()A. B. C. D.2.已知等比數(shù)列滿足,,等差數(shù)列中,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A.36 B.72 C. D.3.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,24.設(shè),其中a,b是實(shí)數(shù),則()A.1 B.2 C. D.5.已知數(shù)列中,,且當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),.則此數(shù)列的前項(xiàng)的和為()A. B. C. D.6.已知為等差數(shù)列,若,,則()A.1 B.2 C.3 D.67.△ABC中,AB=3,,AC=4,則△ABC的面積是()A. B. C.3 D.8.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.9.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.10.《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)與高,計(jì)算其體積的近似公式.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A. B. C. D.11.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.12.設(shè),,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,,則_______.14.兩光滑的曲線相切,那么它們?cè)诠颤c(diǎn)處的切線方向相同.如圖所示,一列圓(an>0,rn>0,n=1,2…)逐個(gè)外切,且均與曲線y=x2相切,若r1=1,則a1=___,rn=______15.已知數(shù)列的前項(xiàng)滿足,則______.16.對(duì)定義在上的函數(shù),如果同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:(1)對(duì)任意的總有;(2)當(dāng),,時(shí),總有成立.則稱函數(shù)稱為G函數(shù).若是定義在上G函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某商店舉行促銷(xiāo)反饋活動(dòng),顧客購(gòu)物每滿200元,有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)(即滿200元可以抽獎(jiǎng)一次,滿400元可以抽獎(jiǎng)兩次,依次類推).抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下:在一個(gè)不透明口袋中裝有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球編號(hào)一次比一次大(如1,2,5),則獲得一等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金40元;若摸得的小球編號(hào)一次比一次?。ㄈ?,3,1),則獲得二等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金20元;其余情況獲得三等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金10元.(1)某人抽獎(jiǎng)一次,求其獲獎(jiǎng)金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;(2)趙四購(gòu)物恰好滿600元,假設(shè)他不放棄每次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),求他獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元的概率.18.(12分)如圖,已知在三棱錐中,平面,分別為的中點(diǎn),且.(1)求證:;(2)設(shè)平面與交于點(diǎn),求證:為的中點(diǎn).19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上且軸,直線交軸于點(diǎn),,橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn),且滿足,求的面積.20.(12分)已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,上、下頂點(diǎn)分別為,,為其右焦點(diǎn),,且該橢圓的離心率為;(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點(diǎn),交直線于點(diǎn),直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,直線與直線交于點(diǎn).若,求取值范圍.21.(12分)已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P是拋物線Γ上一點(diǎn),且在第一象限,滿足(2,2)(1)求拋物線Γ的方程;(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,﹣2)的直線交拋物線Γ于M,N兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B(3,﹣6)和M的直線與拋物線Γ交于另一點(diǎn)L,問(wèn)直線NL是否恒過(guò)定點(diǎn),如果過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn),否則說(shuō)明理由.22.(10分)設(shè)函數(shù)(其中),且函數(shù)在處的切線與直線平行.(1)求的值;(2)若函數(shù),求證:恒成立.
2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【答案解析】
設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【題目詳解】解:設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率,作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由圖可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線平行于軸時(shí),此時(shí)成立;取所有負(fù)值都成立;當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取正值中的最小值,,此時(shí);故的取值范圍為;故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問(wèn)題,解題時(shí)作出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解是解題關(guān)鍵.對(duì)于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在.2、A【答案解析】
根據(jù)是與的等比中項(xiàng),可求得,再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【題目詳解】等比數(shù)列滿足,,所以,又,所以,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選:A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的求和公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.3、C【答案解析】
先求出集合U,再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可.【題目詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算,求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補(bǔ)集的定義,屬于簡(jiǎn)單題.4、D【答案解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算,可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考驗(yàn)計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.5、A【答案解析】
根據(jù)分組求和法,利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)的和,利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)的和,進(jìn)而可求解.【題目詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,則數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,則數(shù)列中每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)加是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列.所以.故選:A【答案點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.6、B【答案解析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,由此能求出.【題目詳解】∵{an}為等差數(shù)列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.7、A【答案解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面積公式計(jì)算即可.【題目詳解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面積.故選:A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.8、A【答案解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【題目詳解】,,則,故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.9、A【答案解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【題目詳解】.又,可令,則.設(shè),得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都用表示出來(lái),從而再由勾股定理建立的關(guān)系.10、C【答案解析】
將圓錐的體積用兩種方式表達(dá),即,解出即可.【題目詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則,又,故,所以,.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問(wèn)題考查圓錐體積計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力.11、B【答案解析】
由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征,然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【題目詳解】由三視圖可知,該幾何體為邊長(zhǎng)為正方體挖去一個(gè)以為球心以為半徑球體的,如圖,故其表面積為,故選:B.【答案點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?,從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面,計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.12、A【答案解析】
先利用換底公式將對(duì)數(shù)都化為以2為底,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【題目詳解】,,,因此,故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【答案解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,將已知條件等式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式,求解即可.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】
第一空:將圓與聯(lián)立,利用計(jì)算即可;第二空:找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系,再將與聯(lián)立,得到,與結(jié)合可得為等差數(shù)列,進(jìn)而可得.【題目詳解】當(dāng)r1=1時(shí),圓,與聯(lián)立消去得,則,解得;由圖可知當(dāng)時(shí),①,將與聯(lián)立消去得,則,整理得,代入①得,整理得,則.故答案為:;.【答案點(diǎn)睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題,關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系,建立遞推式,由遞推式求通項(xiàng)公式,綜合性較強(qiáng),是一道難度較大的題目.15、【答案解析】
由已知寫(xiě)出用代替的等式,兩式相減后可得結(jié)論,同時(shí)要注意的求解方法.【題目詳解】∵①,∴時(shí),②,①-②得,∴,又,∴().故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式,由已知條件.類比已知求的解題方法求解.16、【答案解析】
由不等式恒成立問(wèn)題采用分離變量最值法:對(duì)任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,從而可得.【題目詳解】因?yàn)槭嵌x在上G函數(shù),所以對(duì)任意的總有,則對(duì)任意的恒成立,解得,當(dāng)時(shí),又因?yàn)?,,時(shí),總有成立,即恒成立,即恒成立,又此時(shí)的最小值為,即恒成立,又因?yàn)榻獾?故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題是一道函數(shù)新定義題目,考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查了學(xué)生分析理解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)分布見(jiàn)解析,期望為;(2).【答案解析】
(1)先明確X的可能取值,分別求解其概率,然后寫(xiě)出分布列,利用期望公式可求期望;(2)獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元,可能是三次二等獎(jiǎng),也可能是一次一等獎(jiǎng),兩次三等獎(jiǎng),然后分別求解概率即可.【題目詳解】(1)由題意知,隨機(jī)變量X的可能取值為10,20,40且,,所以,即隨機(jī)變量X的概率分布為X102040P所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.(2)由題意知,趙四有三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),設(shè)恰好獲得60元為事件A,因?yàn)?0=20×3=40+10+10,所以.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,明確隨機(jī)變量的所有取值是求解的第一步,再求解對(duì)應(yīng)的概率,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.【答案解析】
(1)要做證明,只需證明平面即可;(2)易得∥平面,平面,利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥,從而獲得證明【題目詳解】證明:(1)因?yàn)槠矫?,平面,所?因?yàn)椋?又因?yàn)?,平面,平面,所以平?又因?yàn)槠矫?,所?(2)因?yàn)槠矫媾c交于點(diǎn),所以平面.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以∥.又因?yàn)槠矫?,平面,所以∥平?又因?yàn)槠矫?,平面平面,所以∥,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以為的中點(diǎn).【答案點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,是一道容易題.19、(1);(2).【答案解析】
(1)根據(jù)離心率以及,即可列方程求得,則問(wèn)題得解;(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理,根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的,即可求得參數(shù),則三角形面積得解.【題目詳解】(1)設(shè),由題意可得.因?yàn)槭堑闹形痪€,且,所以,即,因?yàn)檫M(jìn)而得,所以橢圓方程為(2)由已知得兩邊平方整理可得.當(dāng)直線斜率為時(shí),顯然不成立.直線斜率不為時(shí),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立消去,得,所以,由得將代入整理得,展開(kāi)得,整理得,所以.即為所求.【答案點(diǎn)睛】本題考查由離心率求橢圓的方程,以及橢圓三角形面積的求解,屬綜合中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ),.【答案解析】
(Ⅰ)由題意可得,的坐標(biāo),結(jié)合橢圓離心率,及隱含條件列式求得,的值,則橢圓方程可求;(Ⅱ)設(shè)直線,求得的坐標(biāo),再設(shè)直線,求出點(diǎn)的坐標(biāo),寫(xiě)出的方程,聯(lián)立與,可求出的坐標(biāo),由,可得關(guān)于的函數(shù)式,由單調(diào)性可得取值范圍.【題目詳解】(Ⅰ),,,,,由,得,又,,解得:,,.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(Ⅱ)設(shè)直線,則與直線的交點(diǎn),又,設(shè)直線,聯(lián)立,消可得.解得,,聯(lián)立,得,,直線,聯(lián)立,解得,,,,,,,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,.【答案點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.21、(1)y2=4x;;(2)直線NL恒過(guò)定點(diǎn)(﹣3,0),理由見(jiàn)解析.【答案解析】
(1)根據(jù)拋物線的方程,求得焦點(diǎn)F(,0),利用(2,2),表示點(diǎn)P的坐標(biāo),再代入拋物線方程求解.(2)設(shè)M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),表示出MN的方程y和ML的方程y,因?yàn)锳
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