自招實驗班春季講義-教師版-第8講橢圓與雙曲線

82圓錐曲線1級

圓錐曲線3級在這一講中通過求軌跡方程的方式給出橢圓和雙曲線的第一定義，并通過得到的方程形式與曲線形狀的聯(lián)系讓學(xué)生理解并熟練掌握橢圓與雙曲線的基本量．接下來，從描述橢圓和雙 錐曲線．另外一位古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯（Menaeus375~325），用平面截不關(guān)于圓錐曲線的被發(fā)現(xiàn)還有一說，根據(jù)數(shù)學(xué)史家諾伊格鮑爾（Neugebauer，Otto1898~？）的元前4世紀(jì)、歐幾里得、阿基米德、厄拉多塞（Eratosthenes公元前274~公元前194）和阿（Apollonius公元前260~公元前190）等．其中，阿尼的《圓錐曲線》是最杰出的，它與歐8篇，失傳，也許是關(guān)于如何定出有心圓錐曲線的共軛直徑，使其長度的某些函數(shù)具有給定替稿．阿尼總結(jié)了前人的成就，提出了自己的創(chuàng)見，在《圓錐曲線》中，將圓錐曲線的性質(zhì)收集殆盡，以至以致后代學(xué)者在千余對圓錐曲線的性質(zhì)幾乎沒有插足的余地．在古希臘，阿尼之后，帕普斯（Pappus約4世紀(jì)）對圓錐曲線也作了重要的工作，即《數(shù)學(xué)匯編》證明：與定點及定直線的距離成定比例的點的軌跡是圓錐曲線．這是阿尼的《圓 元11世紀(jì)，中亞數(shù)學(xué)家海雅姆（Khaym，Omar1048~1131）利用圓錐曲線來解三次方程，而對圓16世紀(jì)，有兩件事促使人們對圓錐曲線做進一步的研究．一是德國數(shù)學(xué)家勒繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道繞運行，是圓錐曲線擺脫圓錐而成為自然界中物體運動的普1579年，蒙蒂（Monte，Guidobaldodel1545~1607）采用焦點、定長的方式，定義了橢圓，改變以往平面截圓錐的定義方式；勒關(guān)于幾何圖形連續(xù)變換的思想，為圓錐曲線的定義奠17世紀(jì)，隨著射影幾何的肇始，本來為畫家提供幫助的投射和截影的方法，與圓錐曲線有著天18世紀(jì)，牛頓、伯努力和赫爾曼等先后提出不同的坐標(biāo)系，尤其影響深刻的是極坐標(biāo)系，這些系統(tǒng)化起來．在這方面，著名數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，Leonhard1707~1783）作出了重要貢獻．⑴PAλPB，λ0；⑵PAPBm⑴PAλPB，λ0；⑵PAPBm，m0；⑶PAPBn，n0例AB的中點為原點，Ox方向建立平面直角坐標(biāo)系，則Ad,02 2 Bd,0 d d1λ2d d2⑴由PAλPB 4化簡得1λ2x21λ2y2d1λ2x 042°當(dāng)λ1x2y2

d1λ1

xd204d1λ由于

4d2d2 1λ 1λ 當(dāng)λ2⑵由于平面上三點P、A、B滿足PAPB≥AB，當(dāng)且僅當(dāng)P段AB（包括端點）1°當(dāng)0md2°mdy0（dxdAB（如下左圖 3°md

d2 d2PAPBm

mm2m2d

1

2 m

dm2d①代數(shù)方程中m2d

2m2m2d曲線中OM，OAOB，ON ，滿足OMBNON,OB m2m2dm2dx≤-y≤ P、A、BPAPBAB，當(dāng)且僅當(dāng)P位于射線Ax或射線端點，x軸正方向為方向的射線，于是1°nd2°ndy0（xdAxBx（如下左圖23°當(dāng)0nd

ddPAPBn

n，化簡 n d2

1當(dāng)n1

2 n

dd2①代數(shù)方程中d2

2

d2 2，OB2，與題⑵類似，設(shè)y軸正半軸上一點N0 ，d2 OB

OM

ONd2d2d2d2

x

x

y xd2d2y

dd2

A

2a2設(shè)平面內(nèi)兩個定點坐標(biāo)為c,0，距離之和為2a，記a2x 1（ab0

ec可以表征橢圓的形狀：e越大橢圓形狀越扁平，ea0e1c2設(shè)平面內(nèi)兩個定點坐標(biāo)為c,0，距離之差為2a，記c2x 1（ab0

ec可以表征雙曲線的形狀：e越大雙曲線形狀越接近兩條直線，ea近兩條射線，對于雙曲線e1ybxa已知M已知MFMMAMFMAMFAAFFAFAF 2備選 設(shè)點M為橢圓C2

1（

證：當(dāng)且僅當(dāng)M是橢圓的上頂點或下頂點時△MAB值．下面證明當(dāng)M是橢圓的上頂點或下頂點時MAMB最大．yyMAOBxa2以 為長軸長，A、Ba2

2 a 容易證明除橢圓C的上下頂點外，橢圓C在橢圓C，因此MAMB≤MAM當(dāng)且僅當(dāng)M為橢圓C的上下頂點時取得等⑴點⑴點M是橢 1上一點，它到其中一個焦點F的距離為2，N為MF的中點，O 11 示原點，則ON ⑵（2010年宣武一模）P為橢 1上一點，M,N分別是圓x322 4x32y21PMPN的取值范圍是）A．7, B．10, C．10, D．7,【解析】4備選 在△ABC中，D、E是邊BC上的點，且BDCE，求證：ABACADAE

x2

y21

1，且a

b

BC2DE2

2baa b a b 2 2 a 由于兩橢圓A

x y x y , ，∴00

若a2≤a2，則b2≤b2，與① 因此a2a22a2aABACADAE yyAB Ex⑴（2010⑴（2010 ）雙曲線方程為x22y21，則它的右焦點坐標(biāo)為）．20B．2，0C．20D．3⑵（2010年福建）若點OF2，0分別為雙曲x2y1(a0)2為雙曲線右支上的任意一點，則OPFP的取值范圍為）AA．323，B．323，C．7，D．7，⑶（2010年浙江）F1、F2a2b21（ab0）的左、右焦點．若在雙曲線 A．3x4y B．3x5y0C．4x3y D．5x4y【解析】

1126y 1，于是右焦點坐標(biāo)為 ,0 ,0 ⑵

∵c2，∴可以確定雙曲線方程為 3

13設(shè)Px,y，x ，則OPFPx,yx2,yx22xy23 4由①，y213，代入②，有OP x2x

1

x2x333∵x ，∴4x22x1的范圍為3 ,33⑶如圖，

FF2c，

12PF2a2a ∴FH FPa12 1 HPH 在Rt△FFHFF2FH2FH2，即2c22a2ac2整理，得3c1 1 x2y2

4x3ya3c5，則b4⑴（2010⑴（2010年朝陽一模文）已知橢圓Ma2 ,點C3,1在橢圓上，則橢圓M的方程 ⑵（2010年宣武一模文）已知橢圓C的焦點是F10,3，F(xiàn)20 3，點P在橢圓上且滿PF1PF24．則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 ⑶（2009年福建）已知直線x2y20經(jīng)過橢圓C 橢圓C的方程

（2010年海淀二模改）已知橢圓C的對稱中心為原點O1，且點23 2圓上．則橢圓C的方程 ⑸（2010年重慶）已知以原點OF50為右焦點的雙曲線C的離心率e52雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程 ）已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F13,0，一條漸近線的方程5x2y0，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程 【解析】

x2y21；⑵x2y21；⑶x2y21 1

431；⑸

y21，y x；⑹ 備選 ⑴已知F11,0、F21,0是橢圓的兩個焦點，A、B為過F1的直線與橢圓的交點，3△F2AB的周長為 36,1⑵（2009年山東）設(shè)橢圓E：x2y21（a,b0）過點M2 2和N6,1 圓E的方程 ⑶（2010年石景山二模）x2y21（ab0）的離心率為 33 3⑷（2010年豐臺一模文）x2y21（ab0）經(jīng)過點01F25252的直線lAC兩點，坐標(biāo)原點Ol

【解析】x2

1；⑵x2

1；⑶x221；⑷x221 3備選 ⑴（2011年朝陽一模已知A2,0、B2,0為橢圓C的左右頂點，P是橢圓上異于A3B的動點，且△APB的面積的最大值為

．則橢圓C的方程 ，離心x 2 1（ab0）的離心率為 圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為642，則橢圓M的方程 ⑶（2010 ）已知橢圓x2y21（a）的離心率e 軸兩個端點為A、B且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形則橢圓的方程 【解析】x2

y21，e1；⑵x2y21；⑶x2y21；⑷x2

1 θ0, ABD的雙曲線的離心率為e，以CDAπ21橢圓的離心率為e2，則 隨著角度θ的增大e1增大e1e2隨著角度θ的增大e1減小e1e2隨著角度θ的增大e1增大e1e2隨著角度θ的增大e1減小e1e2D D θθ 21542154e AD 1

2 2cosθ2sinθ

e BD

2254cosθ

一方面，由①有e1隨著θ的增大而減另一方面，①②有ee222cosθ44cosθ11 54cosθ 44

2x 2對于離心率為e，焦點在x軸的橢圓E:

1Px0,y0F1右焦F2的距離分別

aex0，

aex0對于離心率為e，焦點在x軸的雙曲線E: y21上的點Px,y，它到左焦點F的距離a2 到右焦點F2的距離分別為PF1ex0aPF2ex0a有雙曲線左支上的點到左焦點F1的距離和到右焦點F2的距離分別為PF1ex0a

ex0a．雙曲線右支上的點到左F1的距離和到右焦點F2的距離分ex0a

ex0a設(shè)橢圓方程為x

y21Fc,0Fc,0，利用兩點間距離公式，有PF1

a2 0 220x0 220P點在橢圓上，于是001y2b210

a2x20a2x2x20a2x22cx0a ca01x0≤1acPFacxaex

aex0

a 【備注】半焦距公式的意義在于，在橢圓和雙曲線的形狀確定的情況下，可以只靠橫坐算出該坐標(biāo)對應(yīng)的點到圓錐曲線的焦點的距離．也就是說，焦半徑公式可以把一般直線方向為x軸方向上的坐標(biāo)問題，這與聯(lián)立直線與圓錐曲線方程把問題轉(zhuǎn)xy軸方向上坐標(biāo)的問題的思路是一致的． 1（ab0）的右焦點F，其直線x 與x軸的交點為A c在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是 A．022B．0， 12⑵（2010年江蘇）xOyx2y21上一點M的橫坐標(biāo)是3 則M到雙曲線右焦點的距離 ⑶（2010 卷Ⅰ）已知F1、F2為雙曲線C：x2y21的左、右焦點，點P在C上F1PF260，則P到x軸的距離為 3262C．D．【解析】P點坐標(biāo)為x,y

FAaexa2cc aca 1

1e

1211a 1

c e

e

e yyFAOxMP 1 1 1≤≤1，于是11 而0e11e2⑵a24，b212，c2a2b216，雙曲線的離心率為e 2⑶

23

42 ，設(shè)Px0,y0，則PF1 2x01，212根據(jù) 1sin60PFPF FF12

2x0△ 132x12x122y，即32x2122 P yx21y2代入，有32y212266 66y

y

（對應(yīng)FPF120情形，舍去 ⑴（2007年山東）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ⑵橢圓C的中心為坐標(biāo)原點Oye短距離為1e，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

222【解析】

x2

1

12

1

（2010江西點Ax0，y0在雙曲則x0

1的右支上A到右焦點的距離等于2x0【解析】a24，b232，c2a2b236，雙曲線的離心率為e MF23x0MF22x0，于是3x022x0x02備選 （2011年華約自主招生）已知雙曲線C：3x2y23a2，F(xiàn)、F分別為C的左右焦點， QF2AλQAF2恒成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請說【解析】⑵顯然Q2a,3a是雙曲線上一點，此時λ2，于是若λ存在，則其值只可能為2NQN 如圖，設(shè)Qx,yMNAFAa0F2a0M1a0 于

xN

Aa Aa

xQ

x1

2x0

2x0 ，∴NF為QFA的平分線，∴QFA2NFA因此λ的值

1（ab0）

b21上一點P（不x軸上）與兩個焦點F1、 b2tanθ（對橢圓； b2cotθ（對雙曲線 yPyP xyPOx 1（ab0設(shè)PF1m，PF2n，則mn2a m2n2 cosF1PF21

1b2sinF 于是

2mnsin

2b2 1 x2 b21PF1mPF2n，則mn2am2n2 cosF1PF21

1 1b2sinF 于是

mnsinF

2b2

1 1PF1F2的張角θ124a1PQFFsinPFF21 1yyPOxQFFF是雙曲線3x25y215A在雙曲線上，且△FAF的面積等于22 求F1AF2的正切值 ⑵如圖，△ABC是橢圓內(nèi)接等腰直角三角形，且A90．C是橢圓的右焦點，橢圓的左焦點在邊AB上，則橢圓的離心率為 yACxBOx2y2 b2【解析】

3232于是 b2cotF1AF2，即tanF1AF2 2tan 2 2設(shè)FAFθ，則tanθ 2 222 1tan2 12222⑵設(shè)ABAC1，BC ，則4a2 ，∴a 222 22 b2tan45tan22.5b21 sin45b2 ，∴b22△

1cos a2a2

，∴ec 662666263 備選 為C右支上一點且使FPFπ又△FPF的面積為33a2則C的離心率e 33a2b2cotπ3a26因此e2備選 在△ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若bc≥2a，求證：A≤π3B、C為焦點2a

3

yyAB x（2011年 自主招生）圓O1與圓O2是平面上不重合的兩個圓，求與這兩個圓都相切的圓的圓心C的軌跡．【解析】設(shè)圓O1、圓O2、圓C的半徑分別為r1r2、rr1r2CO1d1CO2d2，則圓C與圓O1相切就有d1r1rd1r1rd1rr1，類似的，列出下表：d1r1d1r1d1rd2r2d2d1r2d1d2r1d2d1r1d2r2d1d2r1d2d1r2d1d2r2d2rd1d2r1d1d2r1d1d2r2G1d1d2r2r1G2d1d2r1r2G3d1d2r2r1G4d1d2r1r2；接下來考慮O1O2d；r2d00,r2r1r2r2r1,r1r2r1r2,圓線段圓r2d00,r1r2r1r2,因此，一共有r2r1時有6種情況；r2r1時有3種情況，對應(yīng)圖形如下r1r2時對應(yīng)圖形 點P到曲線C上的每一個點的距離的最小值稱為點P到曲線C的距離，那么平面內(nèi)到定 A． D．直【解析】設(shè)定圓的半徑為rPrPAPCrPCPA

PA練習(xí) 在初中的學(xué)習(xí)中了解到反比例函數(shù)y1的圖象是雙曲線 曲線的第一定義證x【解析】觀察反比例函數(shù)的圖象 猜想1,1和1,1是它的兩個頂點，x軸與y軸是它的22 2和B ,2，設(shè)點Px,1是反比例函22 0x0x02x02PAPB 0 21x01xx01x0

20 2120 21x021x022 練習(xí) ⑴設(shè)PxA．3

y是橢圓x24y24上的一個動點定點M(1，0)則PM2的最大值（） C．3 D．9P為橢圓x2y21上動點，F(xiàn)A的坐標(biāo)為31 PFPA的最小值 2【解析】⑴D；⑵10 2練 x2y21（ab0）和圓O：x2y

b，若圓O ⑵（2011年 分別為橢圓a2b21的左、右焦點．已知△F1PF2為等腰三角形，則橢圓的離心率e x y 1的左、右頂點為A、B，右焦點為F，設(shè)動點P 足PF2PB24，則點P的軌跡方程 2【解析】 22⑵12A30B30F20Px,yPF2x22y2，PB2x32y2PF2PB24，得x22y2x32y24x922練習(xí) ⑴若雙曲線x2ky21的一個焦點是3,0，則實數(shù)k ⑵（2010 ）已知雙曲線x2

π F1、F2sin2θb21（θ0,2，b0）F1 曲線的同支于A、B兩點，如果ABm，則△AF2B的周長的最大值 2⑷（2010年遼寧）設(shè)雙曲線的—個焦點為F；虛軸的—個端點為B，如果直線FB與該雙 2232 31232

D.5 F1PF260，則P到x軸的距離為 36 36

36【解析】⑴1368x2y21，∴11 k⑵4,0，y⑶42m

3x△AF2B的周長⑷

AB4sinθ2AB≤42m根據(jù)題意，F(xiàn)B的斜率絕對

bcbc

1，bcbabab2bcbaba從而c2a2ace2e10，解得e512⑸如圖，設(shè)PF1m，PF2n，那么mn 3F1F22m2n22mn3

于是m2n2mn