工程中有限元-第三章

平面問題分類：1、平面應力問題只有平面內的應力，忽略第三個方向的應力問題2、平面應變問題只有平面內的應變，忽略第三個方向的應變問題1、平面應力問題幾何形狀特征：物體在一個方向上的幾何尺寸遠小于其它兩個方向的幾何尺寸載荷特征：只受xy平面內的載荷，且在Z軸方向分布均勻。而Z軸方向不受力

z

0

xz

yz

0(因剪應力互等，還有zx

zy

0)并不說明在Z方向的應變?yōu)?2、平面應變問題幾何形狀特征：物體在一個方向上的幾何尺寸遠大于其它兩個方向的幾何尺寸，且所有垂直于Z軸截面都相同。Z方向變形為0載荷特征：只受垂直于Z軸的載荷，且分布不隨Z軸而變對于垂直于Z軸截面任一點位移(u,v,w)w

0u

u(x,y),

v

v(x,y)

與Z無關z

W

0zxzx

z

w

u

0

v

w

0yzz

y并不說明在Z方向的應力為01、平面應變問題的彈性力學方程（1）幾何方程xxyux

v

y

y

u

vy

x1、平面應變問題的彈性力學方程xxzxy（2）物理方程

1

xy

yzyzxzxzE1EE1GGG

xy

(

y

1

0

1

0

(y

y

x

z

)

z

)

1

z

(

)

0yzxz

0

0zx

(xxyz

)yyxzzxy

(

)xyxy

1

E

1

1

G

(

)E

1、平面應變問題的彈性力學方程（2）物理方程xxyzyyxyxy

1

(

)E

1E

z

(

x

y

)1G

(

x

z

)21

xxyxy

1

xE

E1

y

xyxyEE

x

y

1

2

x

y

x

1

2

1

1

y

2

1

E

1、平面應變問題的彈性力學方程（2）物理方程yxEE

xy

x

x1

2

y1

2

1

1

y

2

1

E

xy

1

(1

)

x

0

xy

0

x

0

y

2

xy

yyxyE

1

EE

x

(1

)

0xy

1

xy0

x

01

x

y

1

1

0E

0

y

2

xy

xy

1、平面應變問題的彈性力學方程（2）物理方程0

0xx

E

1

y

1

1

0

0

y

2

xy

xy

xy10

1

101

00

E1

1

2

1

x

y

xy

1

2

2

1

xy

1、平面應變問題的彈性力學方程（3）平衡方程

Z

0

xy

x

xz

X

0

x

y

z

yx

Y

0

y

yz

x

y

z

zx

zy

z

x

y

zxzyz

0

0

0,

yz

yz

xz

xzx

zxzyz

0,

0z

y1、平面應變問題的彈性力學方程（3）平衡方程

Z

0

xy

yx

y

yz

Y

0

x

y

z

xz

X

0 x

x

y

z

zx

zy

z

x

y

zZ=0

z

0z作用力都在垂直于z軸的xy平面內z

z

(x,

y)

xyxyy

X

0 x

x

y

Y

0

x

y1、平面應變問題的彈性力學方程（4）邊界上的平衡方程Z=0

z

0zl

x

m

yx

n

zx

Xxz

yz

z

l

m

n

Z

l

xy

m

y

n

zy

Y

0,

yz

yz

xz

xzx

zxzyz

0,

0z

yxyxxyy

l

ml

m

X

Y2、平面應力問題的彈性力學方程（1）物理方程

y

x

z

1E1EG1Gxx

y

z

1

xyxy

yz

yzxzxzE

G

z

x

y

1

yz

1

yxy1E1E1xyEE

x

x

y

y

x

z

y

x

2

1

xx

1

yy

1

xyE

E

x

y

2

1

xy

E2、平面應力問題的彈性力學方程（1）物理方程xxyyxyE

1

E

1

y

E

x

2

1

xyx

1

1

1000

x

E

0

y

y

2

1

xy

xy

01

0

x

1

x

y

y

E

1

xy

xy

0

0

2

2、平面應力問題的彈性力學方程（2）幾何方程

y

z

xyyzxzu

x

xvywz

v

wu

vy

x

z

yw

u

x

z

0

1G

xz

0

xz

xz

0yzyzyz

1G

0

x

y

z

uxvywzu

v

xy

y

x2、平面應力問題的彈性力學方程（2）幾何方程xyzxy

u

xvywz

u

vy

xu

x

xv

y

yu

v

xy

y

x2、平面應力問題的彈性力學方程（3）平衡方程

Y

0

xy

x

xz

X

0

x

y

z

yx

y

yz

x

y

z

zx

zy

z

Z

0

xy

z

yx

y

Y

0

x

y x

xy

X

0

x

y人們在實踐中發(fā)現(xiàn)勢能最小的系統(tǒng)就是平衡系統(tǒng)，就是從平衡方程和邊界條件求得的那個系統(tǒng)。因此，利用最小勢能原理求解可等價于利用靜力學平衡方程和邊值條件求解，人們把這種方法歸納為能量法。第二章中

原理，現(xiàn)在已經在彈性力學基礎知識中介紹了這兩個要把它應用到平面問題中來1、虛功原理主動力在虛位移上所做的虛功=應力在虛應變上所做的虛功W

****T

TTSVVP

dS

R

dxdydzP

dV

對于單位厚度的平面結構，且將集中力R等效為面積力，則

***TTSP

dS

dxdy

dzP

dxdy dz

11

***TTSP

dS

P dxdy

dxdy1、虛功原理主動力在虛位移上所做的虛功=應力在虛應變上所做的虛功

***TTSP

dS

dxdyP dxdy

因此，平面問題的虛功原理可表示為：

PX

u

PY

v

dxdy

PX

u

PY

v

ds

x

x

y

y

xy

xy

dxdy在虛功原理中，主動力和應力均為常數，所以虛功原理又可變?yōu)椋?/p>

T

Pdxdy

T

Pds

T

dxdy彈性體的作用力內力2、最小勢能原理勢能的定義是：任一系統(tǒng)從實際形態(tài)運動到某一個參考形態(tài)時所有作用力所做的功外載荷

外力做功的勢能W內力做功的勢能UU=T

dxdy總勢能Π=U+WW=

P

dx

U+W=

T

dxdy

T

Pdxdy

T

Pds2、最小勢能原理

U+W=

T

dxdy

T

Pdxdy

T

Pds最小勢能原理：平衡系統(tǒng)勢能最小。此時系統(tǒng)勢能取得極值

U-W

=

dxdy

虛功原理和最小勢能原理具有相同的表達式3、滿足虛功方程的系統(tǒng)是滿足平衡條件和應力邊界條件的平衡系統(tǒng)即，勢能最小的系統(tǒng)是平衡系統(tǒng)

0

或

U

W

xy

xxyy

X

0

x

y

Y

0

x

yym

ll

x

m

xy

X

Y

xy

U=

xx

yy

xy

xy

dxdyx

yxy

u

v

u

v

dxdyx

y

y

x

u

v

u

v

dxdyxy

x

xy

yy

x

3、滿足虛功方程的系統(tǒng)是滿足平衡條件和應力邊界條件的平衡系統(tǒng)即，勢能最小的系統(tǒng)是平衡系統(tǒng)

U

u

v

u

xy

v

dxdyx

x

y

yy

x

udxdy

x

xx

u

dx

dyx

x

x

udy

u

dxdyx

xx

udxdy

l

uds

x

u

u

dx

dyx

x

xxx

u

dy

ds

u

dxdyds

x(利用分部積分公式)3、滿足虛功方程的系統(tǒng)是滿足平衡條件和應力邊界條件的平衡系統(tǒng)即，勢能最小的系統(tǒng)是平衡系統(tǒng)xy

U

u

v

u

v

dxdyx

x

y

yy

x

udxdy

x

yyy

vdxdy

vdxdym

vds

y

yxyxyxy

vdxdy