固體物理(黃昆) 4－1布洛赫定理

第四章能帶理論晶格的周期性勢場(3)理想晶體中原子排列具有周期性，晶體內(nèi)部的勢場具有周期性；(1)在晶體中每點(diǎn)勢能為各個(gè)原子實(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的勢能之和；(2)每一點(diǎn)勢能主要決定于與核較近的幾個(gè)原子實(shí)(因?yàn)閯菽芘c距離成反比)；(4)電子的影響：電子均勻分布于晶體中，其作用相當(dāng)于在晶格勢場中附加了一個(gè)均勻的勢場，而不影響晶體勢場的周期性。其中為任意格點(diǎn)的位矢。電子在一個(gè)具有晶格周期性的勢場中運(yùn)動(dòng)一、布洛赫定理當(dāng)勢場具有晶格周期性時(shí)，波動(dòng)方程的解具有如下性質(zhì)：其中為電子波矢，

是格矢?！?.1布洛赫定理－布洛赫函數(shù)－周期性函數(shù)

在晶格周期性勢場中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。(1)引入平移對(duì)稱算符(2)說明:(3)(1)平移對(duì)稱算符(2)晶體中單電子哈密頓量具有晶格周期性。平移對(duì)稱操作算符與哈密頓算符是對(duì)易的。在直角坐標(biāo)系中：

由于對(duì)易的算符有共同的本征函數(shù)，所以如果波函數(shù)是的本征函數(shù)，那么也一定是算符的本征函數(shù)。根據(jù)平移特點(diǎn)(3)可得到即由周期性邊界條件根據(jù)上式可得到同理可得：這樣的本征值取下列形式引入矢量式中為晶格三個(gè)倒格基矢，由于,---布洛赫定理再證明布洛赫波函數(shù)具有如下形式：

可以看出平面波能滿足定理。因此矢量具有波矢的意義。當(dāng)波矢增加一個(gè)倒格矢，平面波也滿足定理。因此電子的波函數(shù)一般是這些平面波的線性疊加則上式化為即晶體中電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。

可以認(rèn)為電子在整個(gè)晶體中自由運(yùn)動(dòng)。布洛赫函數(shù)的平面波因子描述晶體中電子的共有化運(yùn)動(dòng)，而周期函數(shù)的因子描述電子在原胞中運(yùn)動(dòng)，這取決于原胞中電子的勢場。二、的取值和范圍由周期性邊界條件（其中l(wèi)j為任意整數(shù))，只能取一些分立的值?？梢宰C明是倒格矢。態(tài)和態(tài)是同一電子態(tài)，而同一電子態(tài)對(duì)應(yīng)同一故個(gè)能量，

為使本征函數(shù)和本征值一一對(duì)應(yīng)，即使電子的波矢與本征值一一對(duì)應(yīng)起來，必須把波矢的值限制在一個(gè)倒格子原胞區(qū)間內(nèi)，通常?。?/p>

在簡約布里淵區(qū)內(nèi)，電子的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)目N=N1N2N3。在波矢空間內(nèi)，由于N的數(shù)目很大，波矢點(diǎn)的分布是準(zhǔn)連續(xù)的。一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)的體積為：一個(gè)波矢代表點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為：電子的波矢密度為：

下面我們證明證明：根據(jù)布洛赫定理

例1：一維周期場中電子的波函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理，若晶格常量為a，電子波函數(shù)為,

f為某一確定函數(shù)，試求電子在這些狀態(tài)的波矢。

解：據(jù)布洛赫定理，在周期性勢場中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)具有以下特點(diǎn)：令m-n=l，據(jù)布洛赫定理，即在簡約布里淵區(qū)中，即1.布里淵區(qū)定義

在倒格空間中以任意一個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，做原點(diǎn)和其他所有倒格點(diǎn)連線的中垂面(或中垂線)，這些中垂面(或中垂線)將倒格空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。三、布里淵區(qū)

第一布里淵區(qū)(簡約布里淵區(qū))：圍繞原點(diǎn)的最小閉合區(qū)域；取對(duì)于已知的晶體結(jié)構(gòu)，如何畫布里淵區(qū)呢?

第n+1布里淵區(qū)：從原點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過n個(gè)中垂面(或中垂線)才能到達(dá)的區(qū)域(n為正整數(shù))。晶體結(jié)構(gòu)布拉戈晶格倒格點(diǎn)排列

中垂面(中垂線)區(qū)分布里淵區(qū)倒格基矢正格基矢

例2：下圖是一個(gè)二維晶體結(jié)構(gòu)圖，畫出它的第一、第二、第三布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)布里淵區(qū)的面積=倒格原胞的面積

高序號(hào)布里淵區(qū)的各個(gè)分散的碎片平移一個(gè)或幾個(gè)倒格矢進(jìn)入簡約布里淵區(qū)，形成布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖。第一區(qū)第二區(qū)第三區(qū)布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖第一區(qū)第二區(qū)第三區(qū)第四區(qū)第五區(qū)第六區(qū)第七區(qū)第八區(qū)第九區(qū)第十區(qū)二維正方晶格的布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖倒格仍為矩形。例3：畫出下面二維矩形格子的第一和第二布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖和簡約區(qū)圖，設(shè)矩形邊長分別為。解:第一區(qū)第二區(qū)例4：畫出面心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)面心立方晶格常量為a。解：面心立方正格基矢：倒格基矢:面心立方的倒格是邊長為4/a體心立方。倒格基矢：已知體心立方正格基矢:XLK例5：畫出體心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)體心立方晶格常量為a。解：正格基矢：倒格基矢：體心立方倒格是邊長為4/a的面心立方。已知面心立方正格基矢：HPN正方形正格簡約布里淵區(qū)形狀面心立方正方形十四面體(截角八面體)體心立方十二面體簡約布里淵區(qū)體積(面積)布里淵區(qū)的形狀由晶體結(jié)構(gòu)的布拉戈晶格決定；布里淵區(qū)的體積(或面積)等于倒格原胞的體積(或面積)。固體的能帶1.為什么固體中電子的能量不是分立的能級(jí),而是形成能帶?2.為什么固體中電子的能帶之間出現(xiàn)能隙?3.金屬中的那些電子對(duì)金屬的電導(dǎo)有貢獻(xiàn)?是全體電子還是部分電子?是哪部分電子?問題的提出固體的能帶困難所在：勢函數(shù)Ｕ(x)的確定一維問題簡化為量子力學(xué)求解定態(tài)薛定諤方程：困難所在：勢函數(shù)的確定兩個(gè)特例一維方勢阱：能量量子化——能級(jí)自由電子模型U(x)=0，

E—k

關(guān)系為拋物線固體的能帶晶體中的周期勢：問題：U(x)固體中電子的勢函數(shù)形式如何？

（為簡單計(jì)僅求解一維問題）固體的能帶晶體中的周期勢：問題：U(x)固體中電子的勢函數(shù)形式如何？

（為簡單計(jì)僅求解一維問題）固體的能帶例：

在索末菲自由電子模型中，由于認(rèn)為電子是獨(dú)立的，自由的，即假設(shè)U(x)=0

自由電子模型E—k

關(guān)系為拋物線則，定態(tài)薛定鍔方程

解得固體的能帶一維方勢阱孤立原子a能量量子化——分立能級(jí)能級(jí)能級(jí)簡化：固體的能帶兩個(gè)氫原子相距很遠(yuǎn)，具有相同的分組能級(jí)。從能級(jí)擴(kuò)展到能帶固體的能帶兩個(gè)原子靠攏時(shí)，由于相互作用，能級(jí)分裂成“雙線”從能級(jí)擴(kuò)展到能帶固體的能帶雙原子雙勢阱原子靠攏時(shí)，原子間相互作用引起能級(jí)分裂固體的能帶例如：5個(gè)等間距排列的氫原子，每個(gè)原子能級(jí)分裂為5個(gè)間距很近的子能級(jí)。原子間距能量三原子、四原子、五原子……的能級(jí)分裂5個(gè)等間距氫原子的能級(jí)分裂固體的能帶每個(gè)原子能級(jí)都分裂成N個(gè)間距很近的子能級(jí)N個(gè)原子的能級(jí)分裂實(shí)際晶體1S2S2P3SE實(shí)際晶體中有N=1029m-3個(gè)原子；每個(gè)原子能級(jí)變成含有N個(gè)能量值很近的帶狀能級(jí)——能帶固體的能帶實(shí)際晶體的能帶r02r0原子間距能量eVN1029/m3能級(jí)擴(kuò)展形成能帶每個(gè)能帶中有N個(gè)準(zhǔn)連續(xù)的子能級(jí)固體的能帶能帶和禁帶禁帶允許能帶允許能帶2能帶有交疊出現(xiàn)允許能帶和禁帶固體的能帶當(dāng)孤立原子相互靠近結(jié)合成晶體時(shí)，由于每個(gè)原子都受到周圍原子