線性代數(shù)第四章,數(shù)學(xué)課件

我們先看一個例子.

§4.2線性方程組解的求法

上節(jié)給出了線性方程組是否有解的判定定理,本節(jié)主要討論有解線性方程組解的個數(shù)以及如何求解的問題.熟練掌握線性方程組的解法是本節(jié)學(xué)習(xí)的重點.例4.2.1解線性方程組，

，

解我們用通常的高斯消元法解這將第一個方程的-2倍加到第二個方程上;將第一個方程加到第三個方程上;將第一個方程的-1倍加到第四個方程上，得到

個方程組.將第一、第二個方程互換，方程組變?yōu)?/p>

，

，

把第二個方程加到第三個方程上;第二個方程的-2倍加到第四個方程上,得，

，

在這個方程組的第二個方程中，任給x4的一個值，可唯一得到;任給x2的一個值，連同x4一起代入第一個方程,可唯一的得到

.這樣我們就得到方程組得一組解

，

，

由于x2,x4可以任意給定,所以方程組有無窮多組解.這里x2,x4稱為自由未知量.在解這個方程組的過程中,對方程組的化簡反復(fù)使用了下面的三種運算：

（1）互換方程組中兩個方程的位置；

（2）用一個非零常數(shù)k去乘方程組中某一個方程；

（3）把一個方程的k倍加到另一個方程上.我們把這三種運算稱為方程組的初等變換.，

，

聯(lián)系如果把方程組和它的增廣矩陣

起來,我們不難看出,對方程組進行初等變換化為階梯形方程組的過程,實際上就是對它的增廣矩陣

進行初等行變換化為最簡階梯形矩陣的過程.下面我們把例4.2.1的解題過程用矩陣的初等變換表示出來：

，

，

由最后的階梯形矩陣，即可寫出方程組的同解方程組，進而得到方程組的解.，

經(jīng)過行初等變換可化為，

由于,則矩陣

則矩陣中至少則矩陣中至少有一個r階子式不為0,從而這個不為0的r階子式所在的r個行向量線性無關(guān).不失一般性,不妨設(shè)它位于

上角.于是矩陣

矩陣:的左，

，

(1)當(dāng)時,（4.2.2）式具有如下形式

，

，

(2)當(dāng)時,由

(4.2.2)可得方程組(4.2.1)的同解方程組

（4.2.3）

，

，

把（4.2.3）式中含有變元xr+1,xr+2,…,xn的項移到每個方程的右端，得到

（4.2.4）

，

，

給定xr+1,xr+2,…,xn的任意一組值,由(4.2.4)可得到方程組(4.2.1)的一個解

（4.2.5）

，

由(4.2.5)式,可得方程組解的向量形式)這里令)：

，

這里xr+1,xr+2,…,xn為自由未知量.由于xr+1,xr+2,…,xn可以任意選取，故方程組在時有無窮多個解.(4.2.5)

式稱為方程組（4.2.1）的通解或一般解.

綜上，我們得到如下定理.，

，

例4.2.2

解

對方程組的增廣矩陣進行初等行變換,把其化為最簡階梯形矩陣，

解線性方程組由于

,從而方程組有無窮多解,且原方程組的同解方程組為

，

，

例4.2.3

有解,并求其解.

討論λ取何值時,線性方程組

方程組中含有參數(shù)λ，需要對方程組的增廣矩陣

作初等行變換,化為最簡階梯形矩陣.解法1

對λ的取值情況進行討論.當(dāng)時,方程組有唯一解：時,當(dāng)原方程組的同解方程組為：方程組的通解為其中x2,x3為自由未知量.解的向量形式為

當(dāng)λ=-2時,由于

所以,此時方程組無解.

由于例4.2.3中未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)相等,也可先求方程組的系數(shù)矩陣的A行列式,通過討論參數(shù)λ的各種情況,確定方程組是否有解.

方程組的系數(shù)矩陣A的行列式

解法2

對分別λ對的取值情況進行討論

，

，

顯然,

所以方程組無解.

(3) 當(dāng)=2時，通過初等行變換

，

，

立刻得到如下結(jié)果

把定理4.2.1應(yīng)用到齊次線性方程組

（4.2.6）

定理4.2.2設(shè)A為齊次線性方程組(4.2.6)的系數(shù)矩陣，

如果,則齊次線性方程組只

唯一零解；

，

，

推論含有n個未知量n個方程的齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式

如果R(A)=r<n,則齊次線性方程組除零解外,還有無窮多個非零解.特別地,當(dāng)方程的個數(shù)小于未知量個數(shù),即m<n時,齊次線性方程組必有無窮多個非零解.，

，

例4.2.4

解對方程組的系數(shù)矩陣作初等行變