概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-農(nóng)業(yè)第七章參數(shù)估計(jì)

第七數(shù)估§7.1點(diǎn)估XF(x,1,2 ,k為待估參數(shù)，(

2 Xn)是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，(2 ,xn)是相應(yīng)的一個(gè)樣本值，點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題就是要構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)

2 Xn來(lái)估計(jì)未知參數(shù)．稱

2 Xn為的估計(jì)量值?(x1x2

稱為的估計(jì)值，不至于，均簡(jiǎn)記為?．由于估計(jì)值K.Pearson20世紀(jì)初提出，Xl階原點(diǎn)矩mlE(Xl便依賴于參數(shù)1,2 ,k，即,k ,k)，l,k則樣本的l階矩依概率收斂于總體的l階矩．所以，用樣本原點(diǎn)矩Al來(lái)估計(jì)總體分布相應(yīng)的矩ml，即令m(,,k) ,)k2 ,k)這是一個(gè)包含k個(gè)參數(shù)1,2 ,k的聯(lián)立方程組，一般來(lái)說(shuō)，可以從中解,k, ,?分別作為,,k 估計(jì)量，稱為矩估計(jì)量．矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值．x1n

xi是總體均值， 例1 設(shè)總體X的均值和方差2都存在, ,X是來(lái)自X的樣本.試求和2的矩估計(jì)量，并依據(jù)樣本觀察值， - - 計(jì)算和2解

m1E(X)mE(X2)D(X)[E(X)]222令

1

X

22

1 X X

從中解出和2 1?21 1X

(XX)2B n

即X是總體均值

n1S2n差2的矩估計(jì)．但的是以S2估計(jì)2，其原因?qū)⒃诠烙?jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)中解代入樣本值（- - 0.30，?0.16，?20.50例 設(shè)總體X服從[θ1，θ2]上的均勻分布，密度函數(shù)

x[

f

2)2-

x[

θ2>θ1θ1，θ2解由第四章4.2.3節(jié)的，E(X)1(12),D(X)1(2- 由(7.2)、(7.3)E(X)1() D(X) θ1，θ2

)21?X ?2X1例 設(shè)總體X服從泊松分布，1!p(x;) xe，0，x0,1,1!θEX，得的矩估計(jì)量?XDXθ的另一個(gè)矩估計(jì)量?B2．由此可見(jiàn)一個(gè)參數(shù)的矩估計(jì)量是不唯一的．極大似然估計(jì)是要選取這樣的統(tǒng)計(jì)量?果（即樣本2,,Xn）出現(xiàn)的可能性最大．可以這樣打個(gè)比方：袋中混合裝有一大批同種型號(hào)的扣和紅紐扣不慎撒落到地上2000個(gè)其中有個(gè)是黃色的，若由此來(lái)推算袋 扣所占的比例的話，

25%設(shè)扣所占的比例為p，A=“任意抽取2000個(gè)紐扣，其中有500扣”

P(A)C500p500(1p)1500由于紐扣的撒落，致使事件A已經(jīng)發(fā)生．今要由此來(lái)推算p，有理由認(rèn)為如果2000AA發(fā)生的概率應(yīng)當(dāng)是最大的．因此，選擇使P(A)達(dá)到最大的p作為估計(jì)值?．令dC500p500(1p)15000?

25%設(shè)X為離散型隨量，概率函數(shù)P(Xx)p(x;)，為待估參數(shù)，的取值范圍（）xX的可能值．對(duì)于來(lái)自總體X的樣本(2 ,Xn)及其觀察值 n)，顯然,P(Xxi)p(xi;)，i1,,由于2 ,Xn相互獨(dú)立且與總體X同分布，故觀察到

n即 2 n發(fā)生的概率L(

nnn;)p(xi;) 這個(gè)概率L()是的函數(shù)，稱為樣本 n)的似然函數(shù)xnR.A.Fisher引進(jìn)的極大似然估計(jì)法就是固定樣本觀察值xn,,如此得到的?顯然與樣本

n)有關(guān)，記為

2 xn數(shù)的極大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量 n)稱為參數(shù)的極大似若X為連續(xù)型隨量，密度函數(shù)為f(x;)，為待估參數(shù)，由于樣本與總體同分布且不同樣本間相互獨(dú)立，故樣本X1,,Xn的聯(lián)合概率密度是nL() ,xn;)f(xi;) n取定樣本值

xnL(是參數(shù)的函數(shù)，稱之為樣本

2 xn的若X為連續(xù)型隨量，則對(duì)任意觀測(cè)值

2

，都有 X2x2,,Xnxn0散化，即取dxi0(i1, ,n)，并考慮概 x1,x2dx2X2x2dx2 ,xndxnXnxnnF(xidxi;)F(xidxi;n2dxf(x;)2n

n f(xn

i 在取值的可能范圍內(nèi)，挑選使上述概率達(dá)到最大的?作為的極大似然估ni計(jì)．由于這一概率中的因子2ndx與無(wú)關(guān)，去掉它并不影響對(duì)ni由于lnL()L()lnL()的極大值點(diǎn)即可．lnL()11 lnL( 為似然方程組．顯然，(, 例4設(shè)連續(xù)型 量X~E1，即X 1f(x;)e

xx其中0

xnX解由(7.5)

n1x

xi ,xn;) e n

11lnLnln1

xidlnLn1

nnxin n1n

x0

?1n

xx為例5 試估計(jì)估計(jì)其平 解根據(jù)例4的結(jié)果，平均即參數(shù)用樣本均值來(lái)估計(jì)，于i?1nin為平均的極大似然估計(jì)值

997.1限增大時(shí)，估計(jì)值?1．定義 如果當(dāng)n時(shí)，?依概率收斂于，即對(duì)任意0，

1定義 例 設(shè)E(X)和D(X)2存在 是來(lái)自總體X的樣本nX及樣本方差S2分別是及21 1 證EXEnXinE(Xinn，即X 值1 1 1DXDnXin2D(Xi)n

2

n nES

E (XiX) EXiXnnn

2n1E

（Xi）nX1

n n

（Xi（X nn12

n12

21n1 即樣本方差S是總體方差的無(wú)偏估計(jì)．這就

(XiXnn3.1對(duì)總體的某一參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量往往不只一個(gè)，而且無(wú)偏性僅僅表明?所有可能取的值按概率平均等于，有可能它取的值大部分與相差很大．為保證?的取值能集中于附近，自然要求?的方差越小越好．1定義 設(shè)

2 ,

為樣本，?和

是

X是總體均值由定義可知，一個(gè)無(wú)偏有效估計(jì)量的取值是在可能范圍內(nèi)最密集于附近的．也就是說(shuō)，它以最大的概率保證該估計(jì)量的觀察值在未知參數(shù)的真值附7比較總體期望的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)的有效性(設(shè)方差為21

X Xinn

X

kX/

k0nnnn

nkn解EXEXDX

1n

，D

2 ki

利用初等不等式ki

nk2,iinknD

22

1n

DX，XX§7.2區(qū)間估

在點(diǎn)估計(jì)中，只給出了未知參數(shù)的估計(jì)值，而未能給出這種估計(jì)的可靠程度以及這種估計(jì)可能產(chǎn)生的誤差大?。饲蟪鰠?shù)的點(diǎn)估計(jì)外，人們往往還希望給出一個(gè)估計(jì)區(qū)間，并希望知道這個(gè)區(qū)間包含的可靠程度．定義 設(shè) 2 ,Xn為來(lái)自總體X的樣本，為未知參數(shù)?? ,

)及?? ,

)是兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，若對(duì)給定的 01

P121

分別稱為置信下限和置信上限 稱為置信水平，也稱置信概率或置信度．通常，將“的置信水平為1的置信區(qū)間”簡(jiǎn)稱為“的1置信區(qū)間(7.7)式中是一個(gè)未知的但不含任何隨機(jī)性的常數(shù)，而區(qū)間(?

（7.7

100n 100個(gè)置信區(qū)間，平均有(1100個(gè)區(qū)間包含真參數(shù)理由認(rèn)為它包含了真參數(shù)．這種判斷當(dāng)然也可能犯錯(cuò)誤，但犯錯(cuò)誤的概率很小，僅僅為．n置信區(qū)間的平均長(zhǎng)度E??較小 置信概率1n．n很大，也可以適當(dāng)?shù)亟档涂煽砍潭?，即把n和設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(,2)， ,X是來(lái)自X的樣本 2已知，均值由第六章(6.8)

nuXn

~N

對(duì)于給定的，查附表可確定u/2P(uu/21PX X 1nn / /2nn 因此的1Xu/2

n,Xu/2

nXu/2 n

例 體期望95%置信區(qū)間．解0.05u21.96而n10，5x=238．根據(jù)式得到95%55 238 1.96,238 1.9655 2未知，均值ntX~t(nnS類似于(7.9)的推導(dǎo)，可得的1

X

SnSn

(n X

SnSn

(n1) 例 為估計(jì)35ha豆地的大豆產(chǎn)量以200m2面積上的大豆作為總體的 試估計(jì)該豆地大豆平均產(chǎn)量的范圍(假定大豆產(chǎn)量服從正態(tài)分布)10.956.038x41.125，s=6.038，n-1=23，查表得t/2(236.038sn/2sn

(23) 2.55由(7.11)200m20.95(41.125-2.55,41.125+2.55)=(38.575,已知，方差2 nXi(X)2 i

~2 2

i1

P1/2(n)2(Xi)/2(n)1 可得2的1 2(Xi (Xi)

．

/ 1/ 未知，方差2由

(n1)S

~

(n1)S P1/2(n1) /2(n1)1 因而2的1(n1)S (n1)S

(n

(n1) / 例 在例2中，估計(jì)該豆地大豆平均產(chǎn)量的方差范圍(0.05)解

(n1)s2838.62521005/

005/由(7.14)得20.95置信區(qū)間為005/X~N(2Y~N(2，且總體X與總體Y (1 ,Xn)和 ,Yn)分別是來(lái)自總體X和Y的樣本，則 XY~N(12

12) 1XY(1 111

2

2均已知時(shí)

122由(7.15)易得12的1122 2

12

XY

12

n211

2

2均未知，但在大樣本條件下

122在n、n都很大(一般要求n,n50)時(shí)，可以用2、2的無(wú)偏估122 量S2、S2來(lái)代替(7.16)中的22的1

XY

SS12S

XY

S2S12 S

n211

2

2均未知，但2

22時(shí)

1122211222(n1)S2/2~2(n1)，(n1)S2/2~2

故(n1)S2/2(n1)S2/2(n1)S2(n1)S2/2~2(n

X與S2Y與S2 1( 1(n1)S2(n1)S1 2(nn2 t

XY(12

~

(n(n1)S2(n1)S2 11 (n1n22 n2

t/21可得12的1

(n1)S2(n1)S2 1XYt(n1n2

2

n2 124A1、A2兩種飼料的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，為在某地區(qū)推廣這兩種飼料提單位：kg，并算得12X47.44

S218.2

Y40.25

122A1A2所引起的增重差12所在的范圍(0.05)1221解該問(wèn)題屬于未知10.95

2,

2的大樣本估計(jì)，可用公式(7.17)47.4440.25

18.215.12,47.4440.25

18.215.12 60 A1A2所引起的豬的增重差12的所在的范圍為1,1, 22

的1由(7.12)1n1(

)2/2~2(n

n22

i

)2/2~2(n F

n112(Xi1121

21~F(n

n) 21 212n(Yi2 2n2 PF(n1,n2)FF(n1,n2)1 可得方差比22

的1112n(Xi1) 2

112n(Xi 11211

F(n,n

11

2 (n

n)n n 2

2

(Yin2n

2

21,1, 22

的1由(7.18)FSS2FS22

2/2~/2

n21) 類似于可得方差比22

的1S S ,1

2SS2S

F2

n2

2

n21)例5 法各作了10次測(cè)定，其測(cè)定值的方差分別是ABS2 S2AB設(shè)2與2分別是A、B所測(cè)量的數(shù)據(jù)總體（設(shè)為正態(tài)分布）的方差，求方差 2/20.95置信區(qū)間 解nA=10，nB=10，S2=0.5419S2=0.6065，=0.05 (9,9)F0

(9,9)F

1

(9,9)4.03 0 由(7.24)式即得2/20.95置信區(qū)間為（0.222,3.601． 設(shè)X為非正態(tài)總體， 2 ,Xn是來(lái)自X的大樣本(一般要求n50則由中心極限定理 可近似地認(rèn)nuXn

~N(0,1) 當(dāng)2的1置信區(qū)間仍由(7.9)Xu/2

n,Xu/2

nXu/2

n 當(dāng)2S取代X的分布函數(shù)當(dāng)nnSn斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)(x)，因此當(dāng)nXu/2S 作為的1

Xu/2S n

例6體中抽取了60株林木組成樣本．由樣本中各林木的樹(shù)高資料，可算得x22.145m，s=2.495m0.95解由（7.27）0.9522.1451.962.495

XY

(1 ,Xn)和 ,Yn)分別 來(lái)自總體X和Y的大樣本，則由（7.25）可以近似認(rèn) 1(XY) 1

2,2均已知時(shí)，由（7.28）易推得

的1 1(XY)

2,2均未知，由于是大樣本，故可用S2S2分別代替2,2 算，故可得12的1SSSS 1( Y) ． 在總 數(shù)中所占的比率，如產(chǎn)品的次品率 的發(fā)芽率、造 XP01-1p總體X就是服從（XP01-1pp的區(qū)間估計(jì)一般又稱為（0-1）由于E(X)p，)p(1p)，故由矩估計(jì)法確定p的點(diǎn)估計(jì)為x，?對(duì)于抽自（0-1）分布總體的樣本

2 Xnn

Np,p(1p) u X

N(0,1) p(1pp(1p) X P u1

p

p(1 2 Xpp(1Xpp(1p)n2 (nu2)p2(2nXu2)pnX20

1(b1(b

b24acb24ac

anu2 b(2nXu2 cnX2

?1,?2p(1nX(1p(1nX(1Xn

p nn2 nn2n越大，兩式的結(jié)果越接近．例7為檢查一批果樹(shù)嫁接，用重復(fù)抽樣方式，由該批嫁接果樹(shù)中4004003760.95信概率，估計(jì)該批果樹(shù)嫁接的置信區(qū)間解（1）用（7.35）式估計(jì)：n=400，x376=0.94，u

1.96

02 ?1

1(b

b24ac)

?

1(b

b24ac)0.9594故該批果樹(shù)嫁接的0.95置信區(qū)間為（0.9123，0.9594．（2）用（7.36）x(1x)x(1x)2p0.95置信區(qū)間為§7.3樣本容量估（7.26?? ??????0=????=[??

其中?(???)為???

如果預(yù)先規(guī)定的是估計(jì)的可靠性與精度，則精度??(???)＝1?

?‘(???)=

?(???)= 及?′(???)＝1???2

?? ??0＝ ????＝[????

記vxx/x??2

??????0＝????＝[??

????，?(???)或?′(???)85.754.5解：??=0.95????＝1