線性代數(shù)知識點(diǎn)計劃

線性代數(shù)知識點(diǎn)計劃線性代數(shù)知識點(diǎn)計劃PAGE12線性代數(shù)知識點(diǎn)計劃精選文檔線性代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)第一章隊列式a11a12La1n1.n階隊列式Da21a22La2ntp1p2Lpna1pa2pLanpMMOMp1p2Lpn112nan1an2Lann2.特別隊列式a11a12La1n0a22La2nt12Lna11a22LannDMOM1a11a22LannM00Lann1122nn112Ln，1212LnONnn3.隊列式的性質(zhì)a11a12La1na11a21Lan1定義記Da21a22La2n，DTa12a22Lan2，隊列式DT稱為隊列式MMOMMMOMan1an2anna1na2nLann的轉(zhuǎn)置隊列式。性質(zhì)1隊列式與它的轉(zhuǎn)置隊列式相等。性質(zhì)2交換隊列式的兩行rirj或列cicj，隊列式變號。推論假如隊列式有兩行〔列〕完整同樣〔成比率〕，那么此隊列式為零。性質(zhì)3隊列式某一行〔列〕中全部的元素都乘以同一數(shù)推論1D的某一行〔列〕中全部元素的公因子能夠提到推論2D中某一行〔列〕全部元素為零，那么D=0。性質(zhì)4假定隊列式的某一列〔行〕的元素都是兩數(shù)之和，那么

k(rjk)，等于用數(shù)k乘此隊列式；D的外面;a11a12L(a1ia1i)La1na11a12La1iLa1na11a12La1iLa1na21a22L(a2ia2i)La2na21a22La2iLa2na21a22La2iLa2nDMMLLLLLLLLLLMMLLLLan1an2(aniani)annn1n2Laninnan1n2Laniannaaaa性質(zhì)6把隊列式的某一列〔行〕的各元素乘以同一數(shù)而后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，隊列式的值不變。.精選文檔計算隊列式常用方法：①利用定義；②利用運(yùn)算rikrj把隊列式化為上三角形隊列式，從而算得隊列式的值。隊列式按行〔列〕睜開余子式在n階隊列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n1階隊列式叫做元素aij的余子式，記作Mij。代數(shù)余子式記Aij1ijMij，叫做元素aij的代數(shù)余子式。引理一個n階隊列式，假如此中第i行全部元素除〔i，j〕(i,j)元外aij都為零，那么這隊列式等于aij與它的代數(shù)余子式的乘積，即DaijAij?！哺唠A隊列式計算第一把隊列上的元素盡可能多的化成0，保留一個非零元素，降階〕a11a12La1n定理n階隊列式Da21a22La2n等于它的隨意一行〔列〕的各元素與其對應(yīng)MMOMan1an2Lann的代數(shù)余子式的乘積之和，即Dai1Ai1ai2Ai2LainAin，(i1,2,L,n)或Da1jA1ja2jA2jLanjAnj，(j1,2,L,n)。第二章矩陣1.矩陣a11a12La1na21a22La2nALLLLam1am1Lamn隊列式是數(shù)值，矩陣是數(shù)表，各個元素構(gòu)成方陣：行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A。記作：An。行(列)矩陣：只有一行(列)的矩陣。也稱行(列)向量。同型矩陣：兩矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等。相等矩陣：AB同型,且對應(yīng)元素相等。記作：A＝B零矩陣：元素都是零的矩陣〔不一樣型的零矩陣不一樣〕對角陣：不在主對角線上的元素都是零。單位陣：主對角線上元素都是1，其余元素都是0，記作：E注意矩陣與隊列式有實質(zhì)的差別，隊列式是一個算式，一個數(shù)字隊列式經(jīng)過計算可求得其值，而矩陣只是是一個數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)能夠不一樣。矩陣的運(yùn)算.精選文檔a11b11a12b12La1nb1na21b21a22b22La2nb2n矩陣的加法ABLLLLam1bm1am2bm2Lamnbmn說明只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律1ABBA；2ABCABCa11a12La1n3設(shè)矩陣Aaij,記A(aij)mna21a22La2n，A稱為矩陣ALLLLmnam1am1Lamn的負(fù)矩陣4AA0,ABAB。數(shù)與矩陣相乘a11a12La1n數(shù)與矩陣的乘積記作或A,規(guī)定為AAa21a22La2nAALLLLam1am1Lamn數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律〔設(shè)A、B為mn矩陣，,為數(shù)〕1AA；2AAA；3ABAB。矩陣相加與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。矩陣與矩陣相乘設(shè)B(bij)是一個ms矩陣，B(bij)是一個sn矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個mn矩陣C(cij)，此中b1jai1ai2Laisb2jai1b1jai2b2jLaisbsjsaikbkj，i1,2,Lm;j1,2,L,n，Mk1bsj并把此乘積記作CAB注意1。A與B能相乘的條件是：A的列數(shù)＝B的行數(shù)。2。矩陣的乘法不知足交換律，即在一般狀況下，ABBA，并且兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣。.精選文檔3。關(guān)于n階方陣A和B，假定AB=BA，那么稱A與B是可交換的。矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律1ABCABC；2ABABAB3ABCABAC，BCABACA4AmnEnnEmmAmnAmn5假定A是n階方陣，那么稱Ak為A的k次冪，即AkAALA，并且AmAkAmk，14243k個AmkAmkm,k為正整數(shù)。規(guī)定：A0＝E〔只有方陣才有冪運(yùn)算〕注意矩陣不知足交換律，即ABBA，kABAkBk〔但也有例外〕轉(zhuǎn)置矩陣把矩陣A的行換成同序數(shù)的列獲得的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作A，1ATTA；2ABTBT；3TAT；4ABTATABTAT。方陣的隊列式由n階方陣A的元素所構(gòu)成的隊列式，叫做方陣A的隊列式，記作A注意矩陣與隊列式是兩個不一樣的觀點(diǎn)，n階矩陣是n2個數(shù)按必定方式排成的數(shù)表，而n階隊列式那么是這些數(shù)按必定的運(yùn)算法那么所確立的一個數(shù)。1ATA；2AnA；(3)ABABBABA對稱陣設(shè)A為n階方陣，假如知足A=AT，那么A稱為對稱陣。陪伴矩陣隊列式A的各個元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的以下矩陣A11A21LAn1AA12A22LAn2稱為矩陣A的陪伴矩陣。LLLLA1nA2nLAnn性質(zhì)AAAAAE〔易忘知識點(diǎn)〕總結(jié)〔1〕只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算?！?〕只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘,且矩陣相乘不知足交換律?！?〕矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與隊列式的數(shù)乘運(yùn)算不一樣。逆矩陣：AB＝BA＝E，那么說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。即A1B。說明1A，B互為逆陣，A=B-1只對方陣定義逆陣?！仓挥蟹疥嚥庞心婢仃嚒?.假定A是可逆矩陣，那么A的逆矩陣是獨(dú)一的。.精選文檔定理1矩陣A可逆的充分必需條件是A0，并且當(dāng)A可逆時，有A11A*〔重要〕A奇怪矩陣與非奇怪矩陣當(dāng)A0時，A稱為奇怪矩陣，當(dāng)A0時，A稱為非奇怪矩陣。即A可逆A為非奇怪矩陣A0。(1)先求|A|并判斷當(dāng)|A|0時逆陣存在；求逆矩陣方法〔2〕求A*；(3)求1A*A1。|A|初等變換的應(yīng)用：求逆矩陣：(A|E)初等行變換E|A1。逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)1假定A可逆,那么A1亦可逆,且A11A2假定A可逆,數(shù)0,那么A可逆,且A1A1。13假定A,B為同階方陣且均可逆,那么AB亦可逆,且(AB)1B1A1。4假定A可逆,那么AT亦可逆,且AT1A1T。5假定A可逆,那么有A1A1。3.矩陣的初等變換初等行〔列〕變換1對換兩行，記作(rirj)。2以數(shù)k0乘以某一行的全部元素，記作(rik)。3把某一行全部元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去，記作(rikrj)。初等列變換：把初等行變換中的行變?yōu)榱?，即為初等列變換，所用記號是把“r〞換成“c〞。矩陣等價假如矩陣A經(jīng)有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊，就稱矩陣A與B等價。.精選文檔行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零，每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)階梯線的豎線〔每段豎線的長度為一行〕后邊的第一個元素為非零元，也是非零行的第一個非零元?！卜橇阈袛?shù)及矩陣的秩〕21032求矩陣B03125的秩.0004300000R(B)=3行最簡形矩陣：行階梯矩陣中非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在的列的其余元素都為0.標(biāo)準(zhǔn)型：對行最簡形矩陣再施以初等列變換，能夠變換為形如ErOF的矩陣，稱OOmn為標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是全部與矩陣A等價的矩陣中形狀最簡單的矩陣。初等變換的應(yīng)用初等行變換A初等列變換E求逆矩陣：(A|E)E|A1或。EA14.矩陣的秩矩陣的秩任何矩陣Amn，總能夠經(jīng)過有限次初等變換把它變?yōu)樾须A梯形，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是獨(dú)一確立的?！卜橇阈械男袛?shù)即為矩陣的秩〕說明矩陣Am×n，那么R(A)≤min{,n};R(A)=R(AT);3.R(A)≥r的充分必需條件是起碼有一個r階子式不為零;4.R(A)≤r的充分必需條件是全部r+1階子式都為零.滿秩和滿秩矩陣矩陣Aaijmn，假定R(A)m，稱A為行滿秩矩陣；假定R(A)n，稱A為列滿秩矩陣；假定A為n階方陣,且R(A)n,那么稱A為滿秩矩陣。假定n階方陣A滿秩，即R(A)nA0；A1必存在；A為非奇怪陣；A必能化為單位陣En,即A~En.矩陣秩的求法定理1矩陣A經(jīng)過有限次行(列)初等變換后其秩不變。即假定A～B，那么R(A)=R(B)。推論假定P、Q可逆，那么R(PAQ)R(A).精選文檔矩秩的性(1)0R(Amn)min{m,n}(2)R(AT)R(A)(3)假定A~B,那么RARB(4)假定P、Q可逆，那么R(PAQ)R(A)(5)max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)R(B)特別當(dāng)Bb為非零列向量時，有R(A)R(A,b)R(A)1.(6)R(AB)R(A)R(B)(7)R(AB)min{R(A),R(B)}.(8)假定AmnBnlO,那么R(A)R(B)n.(9)設(shè)AB=O，假定A為列滿秩矩陣，那么B=O〔矩陣乘法的消去率〕。第三章1.n向量n個數(shù)a1,a2,?,an成的一個有序數(shù)(a1,a2,?,an)稱一個n向量,a1a2(列向量形式)或T(a1,a2,L,an〔)行向量形式〕，此中第i個數(shù)ai稱向量...an的第i個重量。向量假定干個同數(shù)的列向量〔或同數(shù)的行向量〕所成的會合叫做向量。a11a12La1jLa1n矩A=(aij)m×n有n個m列向量，即Aa21a22La2jLa2n，MMMMMMam1am2LamjLamn向量組a1,a2,L,an稱為矩陣A的列向量組。同理，也可矩A有m個行向量成。向量，向量，矩與方程的關(guān)系向量矩：A(1,2,L,m)a11a12a1mb1向量方程方程：a21x1a22x2...a2mxmb2，MMMMan1an2anmbn可寫作1x12x2Lnxn.精選文檔x1b1矩陣形式Axb(1,x2b2向量方程方程組2,L,m)MMxnbn線性組合給定向量組A:1,2,L,m和向量b，假如存在一組數(shù)1，2，L,m使b1122Lmm，那么向量b是向量組A的線性組合，這時稱b向量能由向量組A線性表示。定理1向量b能由向量組A:1,2,L,m線性表示的充分必需條件是矩陣A(a1,a2,L,am)的秩等于矩陣B(a1,a2,L,am,b)的秩。即R(A)=R(A,b)。向量組的線性表示設(shè)有兩個向量組A:1,2,L,m及B:1,2,L,s，假定B組中每個向量都能由向量組A線性表示，那么稱向量組B能由向量組A線性表示，假定向量組A與向量組B能互相線性表示，那么稱這兩個向量組等價。向量組的線性有關(guān)給定向量組A:1,2,L,m，假如存在不全為零的數(shù)k1,k2,L,km使k11k22Lkmm0，那么稱向量組是線性有關(guān)的，否那么稱它線性沒關(guān)；假定當(dāng)且僅當(dāng)k1k2Lkm0時上式建立，那么稱向量組A線性沒關(guān)。線性有關(guān)：可線性組合表示的，線性沒關(guān)：互相獨(dú)立，互不代表注意1.關(guān)于向量組來說，不是線性沒關(guān)，就是線性有關(guān)。2.關(guān)于兩個向量來說，線性有關(guān)意味著兩向量的重量對應(yīng)成比率，幾何含義兩向量共線；三個向量線性有關(guān)意味著三向量共面。3.向量組只有一個向量時,假定0那么說線性有關(guān),假定0,那么說線性沒關(guān)。4.包括零向量的任何向量組是線性有關(guān)的，此時總存在不為零的k，使得0102Lk0L0n0.精選文檔線性有關(guān)性的判斷定理向量組1,2,L,m〔當(dāng)m2時〕線性有關(guān)的充分必需條件是1,2,L,m中起碼有一個向量可由其余m-1個向量線性表示定理4向量組A:a1,a2,L,am線性有關(guān)的充分必需條件是它所構(gòu)成的矩陣(a1,a2,L,am)小于向量的個數(shù)m，向量組線性沒關(guān)的充分必需條件是R〔A〕=m。最大線性沒關(guān)向量組設(shè)有向量組A，假如在A中能選出r個向量1,2,L,r，知足：〔1〕向量組A0:1,2,L,r線性沒關(guān)；向量組A中隨意r+1個向量(假如有的話)都線性有關(guān)；那么稱向量組A0:1,2,L,r是向量組A的一個最大線性沒關(guān)向量組。(2)*向量組A中任何一個(其余)向量可由A0:1,2,L,r線性表示。第四章線性方程組的解a11x1a12x2La1nxnb1線性方程組a21x1a22x2La2nxnb2假如有解，那么稱其為相容的，否那么稱為不相容LLLLLLLLam1x1am2x2Lamnxnbm的。n元齊次線性方程組Ax=0〔1〕R(A)=nAx=0有獨(dú)一解，零解〔不過零解〕〔2〕R(A)<nAx=0有非零解.n元非齊次線性方程組Axb〔1〕無解的充分必需條件是R(A)R(A,b)〔2〕有獨(dú)一解的充分必需條件是R(A)R