推理與證明(教案)

年級(jí)：高二科目：數(shù)學(xué)授課人：授課時(shí)間：序號(hào)：第節(jié)課題第三章§1.1歸納推理第1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1、掌握歸納推理的技巧，并能運(yùn)用解決實(shí)際問(wèn)題。2、通過(guò)“自主、合作與探究”實(shí)現(xiàn)“一切以學(xué)生為中心”的理念。3、感受數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美感。重點(diǎn)歸納推理及方法的總結(jié)中心發(fā)言人王曉君難點(diǎn)歸納推理的含義及其具體應(yīng)用教具課型新授課課時(shí)安排L課時(shí)教法講練結(jié)合學(xué)法歸納總結(jié)個(gè)人主頁(yè)教學(xué)過(guò)程教一、原理初探①引入：“阿基米德曾對(duì)國(guó)王說(shuō)，給我一個(gè)支點(diǎn)，我將撬起整個(gè)地球!”②提問(wèn)：大家認(rèn)為可能嗎？他為何敢夸下如此海口？理由何在？③探究：他是怎么發(fā)現(xiàn)“杠桿原理”的？正是基于這兩個(gè)發(fā)現(xiàn)，阿基米德大膽地猜想，然后小心求證，終于發(fā)現(xiàn)了偉大的“杠桿原理”。④思考：整個(gè)過(guò)程對(duì)你有什么啟發(fā)？⑤啟發(fā)：在教師的引導(dǎo)下歸納出：“科學(xué)離不開(kāi)生活，離不開(kāi)觀察，也離不開(kāi)猜想和證明”。觀察.猜想f證明-歸納推理的發(fā)展過(guò)程二、新課學(xué)習(xí)1、哥德巴赫猜想哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如6=3+3，12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫（Goldbach）寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉（Euler），提出了以下的猜想：（a）任何一個(gè)三6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。（b）任何一個(gè)三9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。這就是著名的哥德巴赫猜想200年過(guò)去了，沒(méi)有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開(kāi)始向它靠近。1920年、挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法;工口目4B4Bill-Z人。士；入二人Llz-p%/申］、|主^/CC、二立學(xué)過(guò)證明，得得出了個(gè)結(jié)論：母~'個(gè)比大的偶數(shù)都可以表示為（99）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從（9十9）開(kāi)始，逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù)，直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了“哥德巴赫”。2、數(shù)學(xué)建構(gòu)?把從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）.注:歸納推理的特點(diǎn);簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。3、師生活動(dòng)例1前提：蛇是用肺呼吸的，鱷魚(yú)是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鱷魚(yú)、海龜、蜥蜴都是爬行動(dòng)物.結(jié)論：所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的。例2：前提：三角形的內(nèi)角和是1800，凸四邊形的內(nèi)角和是3600，凸五邊形的內(nèi)角和是5400，……結(jié)論：凸n邊形的內(nèi)角和是（n—2）X1800o22+122+222+3例3：飛＜＜"，不＜—，■探究：述結(jié)論都成立嗎？JJ1-LJJ1乙JJ1J由此我們猜想：-<——（。,b,加均為正實(shí)數(shù)）。強(qiáng)調(diào)：歸納推理的結(jié)果不一定成立！“一切皆有可能！”三、課堂練習(xí)程已知數(shù)列｛"｝的第一項(xiàng)〃=1,且〃=-—(n=1,2,……),試歸納出n1n+11+a1這個(gè)n數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、課堂小結(jié)（1）歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。（2）歸納推理的一般步驟：通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)―從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）一證明五、作業(yè)：教后反思審核人簽字：.二翹總年級(jí)：高二科目：數(shù)學(xué)授課人：授課時(shí)間：序號(hào)：第節(jié)年級(jí)：高二科目：數(shù)學(xué)授課人：授課時(shí)間：序號(hào)：第節(jié)課題第三章§1.1類比推理第1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1、通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，認(rèn)識(shí)類比推理這一種合情推理的基本方法，并把它用于對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)中去。2、類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。3、正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開(kāi)始認(rèn)真觀察事物、分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探求新知識(shí)。重點(diǎn)了解合情推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理中心發(fā)言人王曉君難點(diǎn)用類比進(jìn)行推理，做出猜想教具課型新授課課時(shí)安排1課時(shí)教法講練結(jié)合學(xué)法歸納總結(jié)個(gè)人主頁(yè)教學(xué)過(guò)程一.問(wèn)題情境從一個(gè)傳說(shuō)說(shuō)起：春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班(后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師)一次去林中砍樹(shù)時(shí)被一株齒形的茅草割1破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.他的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的。這個(gè)推理過(guò)程是歸納推理嗎？二.新課學(xué)習(xí)我們?cè)倏磶讉€(gè)類似的推理實(shí)例。例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：猜想不等式的性質(zhì)：a=bna+c=b+c;(1)a>bna+c>b+c;a=bnac=bc;(2)a>bnac>bc;a=bna2=b2;等等。(3)a>bna2>b2;等等。問(wèn)：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.圓球圓球圓球圓球弦一一截面圓直徑一一大圓周長(zhǎng)一一表面積面積一一體積?圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓(不是大圓1的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng)與球心距離相等的兩截面圓相等;與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大J圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)球的切面垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑;經(jīng)過(guò)球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)JJ經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)球心J☆上述兩個(gè)例子均是這種由兩個(gè)（兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?；或其中一類?duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）.簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的一般步驟：⑴找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想;⑶檢驗(yàn)猜想。即觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論例3.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.直角三角形3個(gè)面兩兩垂直的四面體/C=90°3個(gè)邊的長(zhǎng)度a,b,c2條直角邊a,b和1條斜邊cZPDF=ZPDE=ZEDF=90°4個(gè)面的面積S1,S2,S3和S3個(gè)直角面S1,S2,S3和1個(gè)斜三、課堂小結(jié).類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。.類比推理的一般步驟：四、作業(yè)布置審核人簽字:年級(jí)：高二科目：數(shù)學(xué)授課人：授課時(shí)間：序號(hào)：第節(jié)課題第三章§2.1直接證明--綜合法第1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1、結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法之一綜合法；2、能夠運(yùn)用綜合法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題3、通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理，論證有據(jù)的習(xí)慣。重點(diǎn)了解綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)中心發(fā)言人王曉君難點(diǎn)用綜合法證明時(shí)的解題過(guò)程教具課型新授課課時(shí)安排口時(shí)教法講練結(jié)合學(xué)法歸納總結(jié)個(gè)人主頁(yè)教學(xué)過(guò)程一、新課引入1、比較a2+b2與2ab的大小關(guān)系.生：a2+b2>2ab。2、已矢口a,b>0,求證：a(b2+c2b(c2+a2>4abc生：討論、交流完成，對(duì)比解答二、新課學(xué)習(xí)1、綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。(也形象地稱為“順推證法”或“由因?qū)Чā?例2、若實(shí)數(shù)無(wú)中1，求證：3(1+x2+x4)>(1+x+x2”證明：采用差值比較法：3(1+x2+x4)一(1+x+x2)2-3+3x2+3x4-1一x2—x4-2x-2x2-2x32(x4-x3-x+1)=2(x-1)2(x2+x+1)入“13-2(x-1)2[(x+2)2+/.教學(xué)過(guò).程_13,「X豐1,從而(X-1)2>0,且(X+-)2+->0,24八一13八2(X-1)2[(X+-)2+]>0,24.3(1+X2+X4)>(1+X+X2)2.??例3、已知a,bGR+,求證aabb-abba.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于a,b對(duì)稱，不妨設(shè)a-b>0.「a-b—0/.aabb-abba=abbb(aa-b-ba-b)-0從而原不等式得證2)商值比較法：設(shè)a-b>0,a一丁、八aabba'——1,a—b—0,/.=(―)a-b—1.babbab故原不等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差(或作商)、變形、判斷符號(hào)。三、課堂練習(xí)四、課堂小結(jié)綜合法的一般思路：五、作業(yè)布置教后反思審核人簽字：二磷蒙，..年級(jí)：高二科目：數(shù)學(xué)授課人：授課時(shí)間：序號(hào)：第節(jié)課題第三章§2.1直接證明號(hào)分析法第1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1、結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的基本方法之二分析法；2、了解分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。3、多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；重點(diǎn)了解分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)中心發(fā)言人王曉君難點(diǎn)分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)教具課型新授課課時(shí)安排1課時(shí)教法講練結(jié)合學(xué)法歸納總結(jié)個(gè)人主頁(yè)教學(xué)過(guò)程一.新課引入證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，還經(jīng)常從要證的結(jié)論Q出發(fā)，反推回去，尋求保證Q成立的條件，明確M成立，再去尋求M成立的充分條件(利用定理、定義、公理等)；……直到找到一個(gè)明顯成立的事實(shí)。二.新課學(xué)習(xí)1、分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判」定這些條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法叫做分析法.2、用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：(QuP)—(PuP)…..一(PuP)—(PuP)112n—1nn3、分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因.4、分析法的書(shū)寫格式：要證明命題B為真，只需要證明命題B為真，從而有……這只需要證明命題B為真，從而又有……這只需要證明命題A為真.而已知A為真，故命題B必為真三、例題分析_例1、求證、;>3+V7<2y[5證明：因?yàn)镴3+J7和2^/5都是正數(shù)，所以為了證明v"+J7<2<5只需證明(J3+77)2<(245)2展開(kāi)得10+2M21<20即2M<10,21<25因?yàn)?1<25成立，所以(V13+',117)2<(2,5)2成立即證明了、3+、/7<2<5教學(xué)過(guò)程說(shuō)明：①分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法.②分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題耳為真，從而有……這只需要證明命題B；為真，從而又有……這只需要證明命題A為真而已知慶為真，故B必真在本例中，如果我們從“21<25”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。事實(shí)上，在解決問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q'；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng)'.若由P’可以推出Q′成立，就可以證明結(jié)論成立.下面來(lái)看一個(gè)例子.兀例4已知a,P。k兀+—(kgZ)，且sin9+cos?=2sina①2sin9cos9=sin2P②1一tan2a1一tan2P求證：=-。1+tan2a2(1+tan2P)證明：因?yàn)?sin9+cos9)2-2sin9cos9=1，所以將①②代入，可得4sin2a_2sin2P=1.③1-tan2a1-tan2P另一方面，要證;=-家1+tan2a2(1+tan2P)sin2assin2P1一日口fcos2a_c0s2P即證」—二一Q，sin2a...sin2P、+2(1+Q)cos2acos2P1/即證cos2a-sin2a=—(cos2P-sin2P),一一.1一一c、即證1-2sin2a=—(1-2sin2P),2即證4sin2a-2sin2P=1。由于上式與③相同，于是問(wèn)題得證。三、課堂練習(xí)四、課堂小結(jié)綜合法的一般思路：五、作業(yè)布置教后反思審核人簽字："磷學(xué)工,年級(jí)：高二科目：數(shù)學(xué)授課人：授課時(shí)間：序號(hào)：第節(jié)課題第三章§3間接證明號(hào)反證法第1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1、結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法?反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。2、多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；3、通過(guò)學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。重點(diǎn)了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)中心發(fā)言人王曉君難點(diǎn)反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)教具課型新授課課時(shí)安排1課時(shí)教法講練結(jié)合學(xué)法歸納總結(jié)個(gè)人主頁(yè)教學(xué)過(guò)程一.新課引入反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法（結(jié)論的反面只有一種）與窮舉反證法（結(jié)論的反面不只一種）。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：（1）反設(shè)；（2）歸謬；（3）結(jié)論。二、新課學(xué)習(xí)1、反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（?。┯冢欢际?不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒(méi)有；至少有n個(gè)/至多有（n1）個(gè)；至多有個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。2、歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。三、例題分析例1、已知直線a,b和平面，如果aaa,bua,且a||b,求證aIIa。下面用反證法證明直線2與平面a沒(méi)有公共點(diǎn).假設(shè)直線a與平面。有公共點(diǎn)P，則Pea0二b，即點(diǎn)P是直線a與b的公共點(diǎn)，這與aIIb矛盾.所以aIIa.R教學(xué)過(guò)程點(diǎn)評(píng)：線面平行的判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這