2023屆山東省“學(xué)情空間”區(qū)域教研共同體高三上學(xué)期10月第一次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁(yè)
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2023屆山東省“學(xué)情空間”區(qū)域教研共同體高三上學(xué)期10月第一次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題(解析版)_第3頁(yè)
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試卷第=page22頁(yè),共=sectionpages44頁(yè)2023屆山東省“學(xué)情空間”區(qū)域教研共同體高三上學(xué)期10月第一次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合,則中元素的個(gè)數(shù)是(

)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】解一元二次不等式求出集合,再根據(jù)并集運(yùn)算求出,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,所以中元素的個(gè)數(shù)有4個(gè).故選:C.2.已知,則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】從充分性和必要性兩方面進(jìn)行討論即可.【詳解】充分性:當(dāng),時(shí)充分性不成立;必要性:由可得,即,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判定,涉及到不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.3.已知,則在上的最大值為(

)A. B. C. D.0【答案】B【分析】對(duì)求導(dǎo)得,令其為0,得到其單調(diào)性,最后得到最大值.【詳解】,且,,令,(負(fù)舍),,,,,所以在上單調(diào)遞減,在到上單調(diào)遞增,又,所以在上的最大值是.故選:B.4.現(xiàn)有如下信息:(1)黃金分割比(簡(jiǎn)稱:黃金比)是指把一條線段分割為兩部分,較短部分與較長(zhǎng)部分的長(zhǎng)度之比等于較長(zhǎng)部分與整體長(zhǎng)度之比,其比值為(2)黃金三角形被譽(yù)為最美三角形,是較短邊與較長(zhǎng)邊之比為黃金比的等腰三角形.(3)有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形為黃金三角形,由上述信息可求得(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】如圖作三角形,先求出,再求出的值.【詳解】如圖,等腰三角形,,,取中點(diǎn)連接.,由題意可得,所以,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)娜切?,再解三角形求?5.已知函數(shù)是R上的奇函數(shù),且,且當(dāng)時(shí),,則的值是(

)A.1 B. C.0 D.【答案】A【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)可知,由可知函數(shù)的周期性,從而可得結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)是R上的奇函數(shù),所以,由得,,所以所以函數(shù)為周期函數(shù),周期為6,所以,又,所以.故選:A6.已知函數(shù),圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于直線對(duì)稱,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn) B.關(guān)于對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上的最大值為2【答案】A【分析】通過(guò)函數(shù)的平移變換后圖象關(guān)于直線對(duì)稱可求得值,從而可求出函數(shù)解析式,然后使用換元法畫(huà)出函數(shù)圖象,再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】函數(shù),圖象向左平移個(gè)單位后的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為:;而圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且,于是,;;,所以不關(guān)于對(duì)稱,故B錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),則,令,則,此時(shí)函數(shù)圖象如圖:結(jié)合圖象可知,當(dāng)時(shí),即,與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn),即只有一個(gè)零點(diǎn),故A正確;當(dāng)時(shí),則,結(jié)合圖象可知,此時(shí)有增有減,故C錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),則,結(jié)合圖象可知,此時(shí)單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時(shí),即,函數(shù)取最大值,,故D錯(cuò)誤;故選:A.7.設(shè),則(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù),判斷的大小,由,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,即可得到.【詳解】由不等式可得,即;,設(shè),因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增,所以當(dāng),所以,即.所以.故選:C8.若關(guān)于的不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù),將原不等式轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值,通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值,得到,再利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】解:設(shè),則對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,即,由,令,則恒成立,所以在上為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則在上,存在使得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在處取得最小值為,因?yàn)?,即,所以恒成立,即,又,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法:①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立(即可);②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可);③討論最值或恒成立;④討論參數(shù).二、多選題9.已知命題p:關(guān)于x的不等式的解集為R,那么命題p的一個(gè)必要不充分條件是(

)A. B. C. D.【答案】CD【分析】求出命題p成立時(shí)的取值范圍,再根據(jù)必要不充分條件的定義逐個(gè)判斷選項(xiàng),得出答案.【詳解】命題p:關(guān)于x的不等式的解集為R,則,解得又,且,故選:CD10.給出下列結(jié)論,其中正確的結(jié)論是(

)A.函數(shù)的最大值為B.已知函數(shù)(且)在(0,1)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]C.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.若,則的值為1【答案】BCD【解析】直接利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)判定的結(jié)論,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算判斷、的結(jié)論,利用函數(shù)的對(duì)稱性判斷的結(jié)論.【詳解】解:對(duì)于:函數(shù)的最小值為,故錯(cuò)誤;對(duì)于:已知函數(shù)且在上是減函數(shù),所以,解得,故正確.對(duì)于:同一平面直角坐標(biāo)系中,由于函數(shù)與互為反函數(shù),所以他們的的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,故正確;對(duì)于:由于,則,則,同理,所以,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”的法則判斷即可;11.如圖所示,設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為始邊作銳角,,,它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn),,,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.的長(zhǎng)度為B.扇形的面積為C.當(dāng)與重合時(shí),D.當(dāng)時(shí),四邊形面積的最大值為【答案】ACD【分析】利用弧長(zhǎng)公式判斷A,利用扇形面積公式判斷B,利用銳角三角函數(shù)判斷C,根據(jù)、三角形面積公式及三角恒等變換公式化簡(jiǎn),再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算出面積最大值,即可判斷D.【詳解】解:依題意圓的半徑,,,,所以的長(zhǎng)度為,故A正確;因?yàn)?,所以扇形的面積,故B錯(cuò)誤;當(dāng)與重合時(shí),即,則,則,故C正確;因?yàn)?,所以所以?dāng),即時(shí),故D正確;故選:ACD12.已知函數(shù),下列說(shuō)法不正確的是(

)A.當(dāng)時(shí),函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)B.對(duì)于,函數(shù)都存在極值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí),函數(shù)不存在極值點(diǎn)D.,使函數(shù)都存在3個(gè)極值點(diǎn)【答案】ABD【分析】由時(shí),即可判斷A選項(xiàng);當(dāng)時(shí),求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C選項(xiàng);由C選項(xiàng)即可判斷B選項(xiàng);由的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷D選項(xiàng).【詳解】,,令,則,對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,函數(shù)無(wú)零點(diǎn),則A錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,,,,當(dāng)時(shí),,即單增,當(dāng)時(shí),,即單減,則,即函數(shù)單增,不存在極值點(diǎn),C正確;對(duì)于B,由C選項(xiàng)知錯(cuò)誤;對(duì)于D,假設(shè),使函數(shù)都存在3個(gè)極值點(diǎn),即存在3個(gè)變號(hào)零點(diǎn),又由上知,當(dāng)時(shí),,即單增,最多只有1個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,即單增,當(dāng)時(shí),,即單減,最多只有2個(gè)零點(diǎn),和存在3個(gè)變號(hào)零點(diǎn)矛盾,則不存在,使函數(shù)都存在3個(gè)極值點(diǎn),D錯(cuò)誤.故選:ABD.【點(diǎn)睛】解決極值點(diǎn)問(wèn)題,關(guān)鍵在于求導(dǎo)后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)于導(dǎo)數(shù)的正負(fù)不好直接確定的,可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù),再次求導(dǎo),進(jìn)而確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù),使問(wèn)題得到解決.三、填空題13.若,則___________.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),再次化簡(jiǎn)得,則得.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,又,所?故答案為:.14.方程的解為_(kāi)__________.【答案】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算以及指數(shù)運(yùn)算,解方程求得的值.【詳解】依題意,,,,,即或,解得或,當(dāng)時(shí),,不符合題意,舍去.所以.故答案為:15.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),當(dāng)時(shí),,且,則不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到,再根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù),分析函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性、奇偶性和解不等式即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),定義域?yàn)?,所以,,又因?yàn)闀r(shí),,所以,構(gòu)造函數(shù),所以,所以當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,又因?yàn)?,所以,在上大于零,在上小于零,又因?yàn)椋援?dāng)時(shí),在上大于零,在上小于零,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以當(dāng)時(shí),在上小于零,在上大于零,綜上所述:的解集為.故答案為:.【點(diǎn)睛】常見(jiàn)的函數(shù)構(gòu)造形式:①,;②,.16.已知函數(shù),若關(guān)于的方程,有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】首先利用導(dǎo)函數(shù)求的單調(diào)性,作出函數(shù)的大致圖象,將方程解得問(wèn)題轉(zhuǎn)換成交點(diǎn)問(wèn)題即可求解出答案.【詳解】解:因?yàn)?,則,當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí),,,故的大致圖像如圖所示:關(guān)于的方程等價(jià)于,即或,由圖可得,方程有且僅有一解,則有兩解,所以,解得,故答案為:四、解答題17.已知,若,解關(guān)于x的不等式;【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意求出,用把表示出來(lái),然后對(duì)分類討論,結(jié)合一元二次不等式的解法即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)?,所以,又因,所以,所以,則不等式即為,即,若,則不等式的解集為;若,則不等式的解集為;若,當(dāng)時(shí),則不等式的解集為;當(dāng)時(shí),則不等式的解集為;當(dāng)時(shí),則不等式的解集為;18.已知函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)若,求出的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,(2)根據(jù),令,則可求出的范圍,從而得出的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】(1).的最小正周期為.(2)令,則,又函數(shù)在上單調(diào)遞減,即時(shí),的單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),的單調(diào)減區(qū)間為.19.已知函數(shù),為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若恒成立,求m的取值范圍.【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)化簡(jiǎn)得,分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)由恒等式化簡(jiǎn)可得,分離參數(shù)可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性及最值即可求解.【詳解】(1)由題可得,①當(dāng)時(shí),時(shí),,單調(diào)遞減;時(shí),,單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),時(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),,單調(diào)遞減;時(shí),,單調(diào)遞增;③當(dāng)時(shí),時(shí),,單調(diào)遞增;④當(dāng)時(shí),時(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),,單調(diào)遞減;時(shí),,單調(diào)遞增.(2)由恒成立,即,,當(dāng)時(shí),恒成立,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,令,則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減且,所以當(dāng)時(shí),得,時(shí),,單調(diào)遞減,時(shí),,單調(diào)遞增;,故綜上,m的取值范圍為.20.定義域?yàn)榈暮瘮?shù),部分x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:x012345y0232002(1)求;(2)若,其中,,求此函數(shù)的解析式,并求.【答案】(1)2;(2),當(dāng)時(shí),原式;當(dāng)時(shí),原式.【分析】(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),由內(nèi)往外計(jì)算可得答案.(2)根據(jù)最大值域最小值可求,利用周期求出,根據(jù)特殊點(diǎn)求出,即求出解析式,由解析式即可求出.【詳解】(1)由表中數(shù)據(jù)可得.(2)由表中數(shù)據(jù)可得,,從最大值到最小值為半個(gè)周期,所以周期,,所以,又,即,解得,且,所以,所以,由,,,①當(dāng),,②當(dāng)時(shí),.21.已知函數(shù)(1)求在處的切線方程;(2)求在上的最小值(參考數(shù)據(jù):)【答案】(1);(2)1.【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.(2)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性,再求出其最小值作答.【詳解】(1)函數(shù)求導(dǎo)得:,而,,由,得,所以在處的切線方程為.(2),由(1)知,令,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則函數(shù),即在上遞增,在上遞減,則有,即當(dāng)時(shí),,而,使,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因此當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,令,當(dāng)時(shí),求導(dǎo)得,即函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,即,,于是得,而,則,所以在上的最小值是1.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為:.22.已知函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn),求的單調(diào)區(qū)間;(2)若關(guān)于的方程恰有一個(gè)解,求a的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),依題意,即可求出的值,再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令,,利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性,由零點(diǎn)存在性定理可得存在使得,即可得到的單調(diào)性,從而求出的最小值,依題意可得,即可求出的值,從而得解.【詳解】(1)解:因?yàn)椋?,因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn),所以,解得,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,所以,,又與在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞

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