2023屆山東省“學(xué)情空間”區(qū)域教研共同體高三上學(xué)期10月第一次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2023屆山東省“學(xué)情空間”區(qū)域教研共同體高三上學(xué)期10月第一次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)并集運(yùn)算求出，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以中元素的個(gè)數(shù)有4個(gè).故選：C.2．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】從充分性和必要性兩方面進(jìn)行討論即可.【詳解】充分性：當(dāng)，時(shí)充分性不成立；必要性：由可得，即，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判定，涉及到不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．已知，則在上的最大值為（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】對(duì)求導(dǎo)得，令其為0，得到其單調(diào)性，最后得到最大值.【詳解】，且，，令，（負(fù)舍），，，，，所以在上單調(diào)遞減，在到上單調(diào)遞增，又，所以在上的最大值是.故選：B.4．現(xiàn)有如下信息：（1）黃金分割比（簡(jiǎn)稱：黃金比）是指把一條線段分割為兩部分，較短部分與較長(zhǎng)部分的長(zhǎng)度之比等于較長(zhǎng)部分與整體長(zhǎng)度之比，其比值為（2）黃金三角形被譽(yù)為最美三角形，是較短邊與較長(zhǎng)邊之比為黃金比的等腰三角形．（3）有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形為黃金三角形，由上述信息可求得（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】如圖作三角形，先求出，再求出的值.【詳解】如圖，等腰三角形，,，取中點(diǎn)連接.，由題意可得，所以，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)娜切?，再解三角形求?5．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且，且當(dāng)時(shí)，，則的值是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】A【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)可知，由可知函數(shù)的周期性，從而可得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是R上的奇函數(shù)，所以，由得，，所以所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為6，所以，又，所以.故選：A6．已知函數(shù)，圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn) B．關(guān)于對(duì)稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上的最大值為2【答案】A【分析】通過(guò)函數(shù)的平移變換后圖象關(guān)于直線對(duì)稱可求得值，從而可求出函數(shù)解析式，然后使用換元法畫(huà)出函數(shù)圖象，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】函數(shù)，圖象向左平移個(gè)單位后的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：；而圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，于是，；；，所以不關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，令，則，此時(shí)函數(shù)圖象如圖:結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，即，與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合圖象可知，此時(shí)有增有減，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合圖象可知，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)取最大值，，故D錯(cuò)誤；故選：A.7．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，判斷的大小，由，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得到.【詳解】由不等式可得，即；，設(shè)，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)，所以，即.所以.故選：C8．若關(guān)于的不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值，得到，再利用基本不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)，則對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，即，由，令，則恒成立，所以在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上，存在使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值為，因?yàn)?，即，所以恒成立，即，又，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).二、多選題9．已知命題p：關(guān)于x的不等式的解集為R，那么命題p的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】求出命題p成立時(shí)的取值范圍，再根據(jù)必要不充分條件的定義逐個(gè)判斷選項(xiàng)，得出答案．【詳解】命題p：關(guān)于x的不等式的解集為R，則，解得又，且，故選：CD10．給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．函數(shù)的最大值為B．已知函數(shù)（且）在（0，1）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2]C．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．若，則的值為1【答案】BCD【解析】直接利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)判定的結(jié)論，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算判斷、的結(jié)論，利用函數(shù)的對(duì)稱性判斷的結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于：函數(shù)的最小值為，故錯(cuò)誤；對(duì)于：已知函數(shù)且在上是減函數(shù)，所以，解得，故正確．對(duì)于：同一平面直角坐標(biāo)系中，由于函數(shù)與互為反函數(shù)，所以他們的的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故正確；對(duì)于：由于，則，則，同理，所以，故正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”的法則判斷即可；11．如圖所示，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的長(zhǎng)度為B．扇形的面積為C．當(dāng)與重合時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，四邊形面積的最大值為【答案】ACD【分析】利用弧長(zhǎng)公式判斷A，利用扇形面積公式判斷B，利用銳角三角函數(shù)判斷C，根據(jù)、三角形面積公式及三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算出面積最大值，即可判斷D.【詳解】解：依題意圓的半徑，，，，所以的長(zhǎng)度為，故A正確；因?yàn)?，所以扇形的面積，故B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，即，則，則，故C正確；因?yàn)?，所以所以?dāng)，即時(shí)，故D正確；故選：ACD12．已知函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)B．對(duì)于，函數(shù)都存在極值點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值點(diǎn)D．，使函數(shù)都存在3個(gè)極值點(diǎn)【答案】ABD【分析】由時(shí)，即可判斷A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C選項(xiàng)；由C選項(xiàng)即可判斷B選項(xiàng)；由的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷D選項(xiàng).【詳解】，，令，則，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則A錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，即單增，當(dāng)時(shí)，，即單減，則，即函數(shù)單增，不存在極值點(diǎn)，C正確；對(duì)于B，由C選項(xiàng)知錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)，使函數(shù)都存在3個(gè)極值點(diǎn)，即存在3個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，又由上知，當(dāng)時(shí)，，即單增，最多只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即單增，當(dāng)時(shí)，，即單減，最多只有2個(gè)零點(diǎn)，和存在3個(gè)變號(hào)零點(diǎn)矛盾，則不存在，使函數(shù)都存在3個(gè)極值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】解決極值點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵在于求導(dǎo)后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的正負(fù)不好直接確定的，可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，再次求導(dǎo)，進(jìn)而確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，使問(wèn)題得到解決.三、填空題13．若，則___________.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再次化簡(jiǎn)得，則得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所?故答案為：.14．方程的解為_(kāi)__________．【答案】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算以及指數(shù)運(yùn)算，解方程求得的值.【詳解】依題意，，，，，即或，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.所以.故答案為：15．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性、奇偶性和解不等式即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，，又因?yàn)闀r(shí)，，所以，構(gòu)造函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，在上大于零，在上小于零，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，在上大于零，在上小于零，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，在上小于零，在上大于零，綜上所述：的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】常見(jiàn)的函數(shù)構(gòu)造形式：①，；②，.16．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程，有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】首先利用導(dǎo)函數(shù)求的單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖象，將方程解得問(wèn)題轉(zhuǎn)換成交點(diǎn)問(wèn)題即可求解出答案．【詳解】解：因?yàn)?，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，，故的大致圖像如圖所示：關(guān)于的方程等價(jià)于，即或，由圖可得，方程有且僅有一解，則有兩解，所以，解得，故答案為：四、解答題17．已知，若，解關(guān)于x的不等式；【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意求出，用把表示出來(lái)，然后對(duì)分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又因，所以，所以，則不等式即為，即，若，則不等式的解集為；若，則不等式的解集為；若，當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為；18．已知函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)若，求出的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,(2)根據(jù),令，則可求出的范圍,從而得出的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】(1).的最小正周期為.(2)令，則，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，即時(shí)，的單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為.19．已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)化簡(jiǎn)得，分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）由恒等式化簡(jiǎn)可得，分離參數(shù)可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性及最值即可求解.【詳解】(1)由題可得，①當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.(2)由恒成立，即，，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減且，所以當(dāng)時(shí)，得，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增；，故綜上，m的取值范圍為.20．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，部分x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：x012345y0232002（1）求；（2）若，其中，，求此函數(shù)的解析式，并求．【答案】（1）2；（2），當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式．【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，由內(nèi)往外計(jì)算可得答案.（2）根據(jù)最大值域最小值可求，利用周期求出，根據(jù)特殊點(diǎn)求出，即求出解析式，由解析式即可求出.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得.（2）由表中數(shù)據(jù)可得，，從最大值到最小值為半個(gè)周期，所以周期，，所以，又，即，解得，且，所以，所以，由，，，①當(dāng)，，②當(dāng)時(shí)，.21．已知函數(shù)(1)求在處的切線方程；(2)求在上的最小值（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.（2）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再求出其最小值作答.【詳解】(1)函數(shù)求導(dǎo)得：，而，，由，得，所以在處的切線方程為.(2)，由（1）知，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)，即在上遞增，在上遞減，則有，即當(dāng)時(shí)，，而，使，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，，于是得，而，則，所以在上的最小值是1.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.22．已知函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的方程恰有一個(gè)解，求a的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，即可求出的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理可得存在使得，即可得到的單調(diào)性，從而求出的最小值，依題意可得，即可求出的值，從而得解.【詳解】(1)解：因?yàn)椋?，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，，又與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞