概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)答案浙江大學(xué)張幗奮主編

第一章概率論的基本概念注意：這是第一稿(存在一些錯(cuò)誤)1解：該試驗(yàn)的結(jié)果有9個(gè)：(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)o所以,試驗(yàn)的樣本空間共有9個(gè)樣本點(diǎn)。事件A包含3個(gè)結(jié)果：不吸煙的身體健康者，少屋吸煙的身體健康者，吸煙較多的身體健康者。即A所包含的樣本點(diǎn)為(0,a),(1,a),(2,a)。事件E包含3個(gè)結(jié)果：不吸煙的身體健康者，不吸煙的身體一般者，不吸煙的身體有病者。即B所包含的樣本點(diǎn)為(0,a),(0,b),(0,c)。2、解AeI\Jbc\^AC或亦萬(wàn)C|JA3C;ab\Jbc\Jac(提示：題目等價(jià)于方，€至少有2個(gè)發(fā)生，與(1)相似)；abc\Jabc\Jabc；A|j5|jc或麗€；(提示：A,B,二至少有一個(gè)發(fā)生，或者4,B,C不同時(shí)發(fā)生)；3(1)錯(cuò)。依題得P(M)=P⑷+P(B)-P(AUB)=0,但的3工空集，故A、E可能相容。錯(cuò)。舉反例錯(cuò)。舉反例⑷對(duì)。證明：由卩⑷=°6,〃(3)=0.7知=p(A)+p(B)~p(AUB)=1.3-p(AUB)>0.3,即a和E交非空，故A和E_定相容。4、解(1)因?yàn)?,3不相容，所以4B至少有一發(fā)生的概率為：P(A|jB)=P(A)+P(B)=0.3+0.6=0.9(2)4,B都不發(fā)生的概率為：P(心歷=1-P(4|JB)=1-0.9=0.1；(3)A不發(fā)生同時(shí)〃發(fā)生可表示為：刁又因?yàn)?3不相容，于是

P（可卩）二P（B）=0.6；5解：由題知P（ABUACUBC）=03P（ABC）=0.05內(nèi)p（AB\JAC\JBC）=p（AB）+p（AC）+p（BC）_2p（ABC）得，p（AB）+p（AC）+p（BC）=0.3+2卩⑷C）=0.4故A.B,C都不發(fā)生的概率為p（ABC）=l-p（AU^UC）T-［（P⑷+P（3）+〃（C））-p（AB）+〃（AC）+〃（3C）+“（ABC）］=1—(1.2—0.4+0.05)=0.15TOC\o"1-5"\h\z6、解設(shè)A={“兩次均為紅球”},B={“恰有1個(gè)紅球”},C={“第二次是紅球”}Q2若是放回抽樣，每次抽到紅球的概率是：—,抽不到紅球的概率是：—,則1010QQ（1）P（A）=—x—=0.64；1010QQ（2）P（B）=2x—x（l-_）=032：1010（3）由于每次抽樣的樣本空間一樣，所以：若是不放回抽樣，則(1)P(A)=(2)cl(1)P(A)=(2)clcl1645(3)7解：將全班學(xué)生排成一排的任何一種排列視為一樣本點(diǎn)，則樣本空間共有30!個(gè)樣本點(diǎn)。（1）把兩個(gè)“王姓”學(xué)生看作一整體，和其余28個(gè)學(xué)生一起排列共有29!個(gè)樣本點(diǎn)，而兩個(gè)“王姓”學(xué)生也有左右之分，所以，兩個(gè)“王姓”學(xué)生緊挨在一起共有2*29!個(gè)樣本點(diǎn)。

2?29!_1即兩個(gè)“王姓”學(xué)生緊挨在一起的概率為30!15。（2）兩個(gè)“王姓”學(xué)生正好一頭一尾包含2?28!個(gè)樣本點(diǎn)，故2?28!_1兩個(gè)“王姓”學(xué)生正好一頭一尾的概率為30!435。8、解（1）設(shè)4={“1紅1黑1白”},則1235（2）設(shè)B={"全是黑球”},則135（3）設(shè)C={第1次為紅球，第2次為黑球，第3次為白球分則P(C)=2x3x27!P(C)=2x3x27!2359解:設(shè)人=備號(hào)車配對(duì)}嚴(yán)12…，9若將先后停入的車位的排列作為一個(gè)樣本點(diǎn)，那么共有）個(gè)樣本點(diǎn)。由題知，出現(xiàn)每一個(gè)樣本點(diǎn)的概率相等，當(dāng)人發(fā)生時(shí)，第1號(hào)車配對(duì)，其余9個(gè)號(hào)可以任意排列，故（1）（2）1號(hào)車配對(duì)，9號(hào)車不配對(duì)指9號(hào)車選2~8號(hào)任一個(gè)車位，其余7輛車任意排列，共有7T!個(gè)樣本點(diǎn)。故7T!個(gè)樣本點(diǎn)。故772⑶p（A￡…九人）=卩（￡…人人）卩（人人），卩（九…人|AA＞）表示在事件：已知1號(hào)和9號(hào)配對(duì)情況下，2~8號(hào)均不配對(duì)，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為2~8號(hào)車隨即停入2~8號(hào)車位。記B,={第匚+1號(hào)車配對(duì)}i=1,2,...,7。則P（石…期A九）=P（瓦…百）=1—p（dUUBj。由上知,個(gè)二鋁「伽‘再詁,由上知,個(gè)二鋁「伽‘再詁,（v）,血嘰卜*益（W）pR…BjJP（瓦…耳卜￡甲7!o則匸。"?P（A人…人人）=p（d…B）P（A1人）=舟工=*工故*i=0匚【ZaI.10、解由已知條件可得出：P（B）=1—P⑻=1—0.6=0.4；P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.5=0.2；尸(心3)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9；(1)P(A\A\jB)=P(1)P(A\A\jB)=P（巧（心））MJB）P(A)_7P(A\JB)9(2)P(AB)=P(B)-P(AB)=0.4-0.2=0.2P(A|j5)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5于是P(A\A[^B)=于是P(A\A[^B)=P(AnaU〃))_P(AB)_2(3)P(AB\A\jB)=P⑷WU嘰P(AB)(3)P(AB\A\jB)=P(A\JB)P(A\JB)~9n解：由題知pS)=0?P(B)=0.3,p(c)=0.4P(B\A)=0.2p(AUB|C)=0.6則p(AU3UC)=p(AU3Uqc)"(c)+"(aUBUc|c)p(c)=/7(c)+/7(aubc)/7(c)=p(c)+P(AUB)-p(AUB|c)p(c)=P（C）+p（A）+p（B）-/X^）-/?（AUB\C）p（C）=p（C）+p（A）+p（B）-p（B\A）p（A）~p（AuB\c）p（C）=0.8612、解設(shè)4=｛該職工為女職工｝,3二｛該職工在管理崗位｝,由題意知，P（A）=0.45,P（B）=0.1,P（AB）=0.05所要求的概率為13、解：p(Y=2)=p(Y=2\X=l)p(X=1)+p(Y=2\X=2)p(X=2)+…+p(Y=2|X=5)p(X=5)A11111111152535455530014、解設(shè)4=｛此人取的是調(diào)試好的槍｝,3=｛此人命中｝,由題意知:所要求的概率分別是:(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P｛A)P(B|A)=—；15解：設(shè)A=｛A市時(shí)間在1年以內(nèi)｝,A2=｛A市時(shí)間在1年以上不到4年｝A=｛A市時(shí)間御年以上｝,§=｛股民贏｝,=｛股民平｝,§=｛股民虧｝則p(^|A)=0.1P(BJA)=0.2P(BJ4)=0.7”(引4)=0.2p(52|A)=0.3,,,9P(^3|A2)=0.5卩(引人)=0.4p(^214)=0.4p(^314)=0.2999⑴卩(BJ=P(BJaJp(A)+p(d|AJp(AJ+p(dI九)卩(九)=0.22p（劃人）卩⑷/X^|A)/XA)+p(^IA2)p(A2)+p(^|4)p(A)=—^0.53813

16、解設(shè)A,B分別為從第一、二組中取優(yōu)質(zhì)品的事件，C,D分別為第一、二次取到得產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的事件，有題意知：（1）所要求的概率是:TOC\o"1-5"\h\z113P(C)=-P(A)+-P(B)=——a0.541722413(2)由題意可求得：P(D)=P(C)=—24一120101515P(CD)=-x——x——+—x——x—a0.21362302922019所要求的概率是：P(C\D)=P{CD)P(C\D)=P{CD)P(D)28257163a0.3944o17解：（1）第三天與今天持平包括三種情況：第2天平，第3天平；第2天漲，第3天跌;第2天跌，第3天漲。則（2）第4天股價(jià)比今天漲了2個(gè)單位包扌舌三種情況：第2天平，第3、4天漲；第2、4天漲，第3天平；第2、3天漲，第4天平。則Pi=+a；a.19⑴對(duì)。證明：假設(shè)A,B不相容，則卩⑷）=0。而P⑷＞0，〃⑻＞°,即P（A）p（B）＞0,故p（AB）^p（A）p（B\即a,e不相互獨(dú)立。與已知矛盾，所以HE相容。⑵可能對(duì)。證明：由P（4）=0.6,P（B）=0.7知/伽）=“（4）+p（B）-p（AUB）=13-p（AU5）＞0.3p（A）p（B）=0.6x0.7=0.42P（AB）與可能相等，所以a,B獨(dú)立可能成立。（3）可能對(duì)。⑷對(duì)。證明：若AE不相容，則p⑷）=°。而P⑷＞0,〃（3）＞0,即p（A）p（B）＞Qt故"（AB）hp（A）p（B\即AB不相互獨(dú)立。18、證明：必要條件由于4,〃相互獨(dú)立，根據(jù)定理1.5.2知，4與歹也相互獨(dú)立，于是:P(A|B)=P(A),P(A|B)=P(A)即P(A|B)=P(A|B)充分條件由于p^A\B)=^^及p(A⑻=冬回=“⑴_(tái)P'A"),結(jié)合已知條件，成立P(B)P(B)1-P(B)P(AB)P(A)—P(AB)P(B)1-P(B)化簡(jiǎn)后，得：P(AB)=P(A)P(B)由此可得到，力與B相互獨(dú)立。20、解設(shè)人分別為第，個(gè)部件工作正常的事件，〃為系統(tǒng)工作正常的事件，則P(Ai)=pi所要求的概率為：a=P(B)=P^A.A^AA.A^A^A^A.A.AJ—P｛A[A2Ai)+P(A?4)+卩(人人人4)+卩(地4人)—3P(A?3A|)=P.PiP.+AP2P4+PilhP,+PilhP,-3必巴必廠設(shè)C為4個(gè)部件均工作正常的事件，所要求的概率為：0=PlC\B)」mj(3)/=C;a2(l-a)o21解.記G=｛第i次出現(xiàn)正岡，1=1,2/XA)=/Xci…G-C)=卩匕)…p(G)(G)=/?(i-p),_1"(Bj=P(^^QC4)+P(Ci^ZC3C4)=P2^-P)22、解設(shè)A珂照明燈管使用壽命大于1000小時(shí)｝,B=｛照明燈管使用壽命人于2000小時(shí)｝,C珂照明燈管使用壽命大于4000小時(shí)｝,由題意可知P(A)=0.95,P(B)=03,P(C)=0.05(1)所要求的概率為：

P(C\A)=P(AC)_0.05_1P(C\A)=P(A)_0^95_19(2)設(shè)&分別為有i個(gè)燈管損壞的事件(i=0,l,2,3…)，&表示至少有3個(gè)損壞的概率,則P(AJ=[P(S)T=(O.3)10=0.0000059P(A)=C；。[P(3)了(1—P(3))=0.0001378P(A2)=C;o[P(S)T(1-P(B))2=0.0014467所要求的概率為：a=\-P(4)-P(&)-P(A)=0.998423解：設(shè)A=係統(tǒng)能正常工作｝,B=係統(tǒng)穩(wěn)定｝,(2=係統(tǒng)外加電壓正常｝,則/9(C)=0.99P(B|C)=0.9P(B|C)=0.2,p(A|B)=0.8P兩=0.9⑴卩⑷巳伽)卩(3)+/伽)/屈=p(a|b)[p(b|c)p(c)+(可b|1-P(平)1卩何c)p(c)+嗣亦(列=0.8x(0.9x0.99+0.2x0.01)+(1-0.9)x[(1-0.9)x0.99+(1-0.2)x0.01]1_19⑵記A=｛細(xì)個(gè)元件正常工作齊則/XA)=I?P(瓦U…U忑)=1-卩(瓦…忑)=1-P(A)-P(A)19Jq0.9984

19Jq0.9984第二章隨機(jī)變量及其概率分布注意：這是第一稿（存在一些錯(cuò)誤）1解：X取值可能為2,3,4,56則X的概率分布律為:_1c?f358C此人得分?jǐn)?shù)人于2此人得分?jǐn)?shù)人于2的概率可表示為：P（X>2）=P（X=4）=0.008.■己知此人得分不低于2,即X>2,此人得分4的概率可表示為:P(X=4)_0.008P(X>2)_0.032+0.008J「35'C：C；9z1?c.3t35*8c?"35?p(X=3)=p(X=5)=P（X=2）p(X=4)=p(X=6)=昏冷。2、解（1）由題意知，此二年得分?jǐn)?shù)X可取值有0、1、2、4,有p(X=0)=1-0.2=0.8p(x=1)=0.2X(1-0.2)=0.16P(X=2)=0.2X0.2x(l-0.2)=0.032P(X=4\X>2)=P(XP(X=4\X>2)=從而此人得分?jǐn)?shù)X的概率分布律為:X0124p0.80.160.0320.0083解:(1)沒(méi)有中人獎(jiǎng)的概率是p1=(l-10-7)\(2)每一期沒(méi)有中犬獎(jiǎng)的概率是/?=(1-10-7)10,n期沒(méi)有中大獎(jiǎng)的概率是久=卩"=(1一10一7廣。4、解(1)用X表示男嬰的個(gè)數(shù)，則X可取值有0、1、2、3,至少有1名男嬰的概率可表示為：P(X>1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-0.51)3=0.8824；(2)恰有1名男嬰的概率可表示為：P(X=1)=C；0.51x(1-0.51)，=0.3674；(3)用Q表示第1,第2名是男嬰，第3名是女?huà)氲母怕?，則a=0.512x(l-0.51)=0.127；用0表示第1,第2名是男嬰的概率，則0=0.5尸=0.260。5解：X取值可能為0,1,2,3;Y取值可能為0,1,2,3p(x=0)=(l_p)(l_pJ(l_必)，卩(％=1)=門(mén)(1一2)(1-必)+卩2(1-口)(1一必)+必(1一門(mén))(1一2)，P(X=2)=p,p2(1-P3)+P1P3(1一必)+P3P2(1-pj，p(x=3)=plp2p3.Y取每一值的概率分布為：p(y=o)=H‘p(y=l)=(l-Pi)p2,p(y=2)=(l_pj(l_pjp,,p(y=3)=(1-pj(l-/A)(1-P3)o6、解由題意可判斷各次抽樣結(jié)果是相互獨(dú)立的，停止時(shí)已檢查了X件產(chǎn)品，說(shuō)明第X次抽樣才有可能抽到不合格品。X的取值有1、2、3、4、5,有P(X=R)=〃(l—p)“y=123,4,P(X=5)=(1-/；P(X<2.5)=P(X=1)+P(X=2)=p+p(l-p)=p(2-p)o7解：(1)a=(^(l-0.1)30.12+(；4(l-0.1)40.1+Q5(l-0.1)5=0.991,Z7=l-(^0.23(l-0.2)2+(；40.24(l-0.2)+^0.25=0.942o診斷正確的概率為p=0.7a+0.30=0.977。此人被診斷為有病的概率為p=O.7a+O.3(l—0)二0.711。7、解(1)用X表示診斷此人有病的專家的人數(shù)，X的取值有1、2、3、4、5。在此人有病的條件下，診斷此人有病的概率為：a=P(X>3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C；(l-0.1)'.0.F+C；(l-0.1)4.0.1+C；(l-0.1)5=0.991在此人無(wú)病的條件下，診斷此人無(wú)病的概率為：0=P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=Cf(l-0.2)5+C；(1-0.2)4.0,2+C；(1-0.2)3.0.22=0.942用卩表示診斷正確的概率，診斷正確可分為兩種情況：有病條件卞診斷為有病、無(wú)病條件下診斷為無(wú)病，于是：/=0.7^+0.3/7=0.977；用〃表示診斷為有病的概率，診斷為有病可分為兩種情況：有病條件下診斷此人為有病、無(wú)病條件下診斷此人為有病，于是：〃=0.7a+0.3x(l-0)=0.711；&解用4表示恰有3名專家意見(jiàn)一致，B表示診斷正確的事件，則P(AB)=0.7xP(X=3)+0.3xP(X=2)=0.112P(A)=0.7xP(X=3軟=2)+0.3xP(X=2軟=3)=0.1335所求的概率町表示為：=^=0.842'17P(A)

e^A2k9解：(1)由題意知，候車人數(shù)X=k的概率為p(X=k)=—曠則p(X=0)=,從而單位時(shí)間內(nèi)至少有一人候車的概率為p=i-e^9所以1-e^=l-e^5解得2=4.5嚴(yán).545攵kT~所以單位時(shí)間內(nèi)至少有兩人候車的概率為/?=l-/?(X=0)-p(X=l)=l-5.5^5o(2)若兄=3.2,則p(X=k)=^--^-k\32則這車站就他一人候車的概率為p=oe-110、解有題意知，x?托3)，其中幾=吉(1)10：00至12：00期間，即7=120,恰好收到6條短信的概率為:P(P(x=6)=q^=q<=^=o.i6i；6!(2)在10：00至12：00期間至少收到5條短信的概率為:P(X>5)=l-P(X<5)=1-工P(X=燈1=0=1一f'V=1-115嚴(yán)A=0k?于是，所求的概率為：P(X=6|X>5)=324。lI丿5(e6-115)“、解：由題意知，被體檢出有重大疾病的人數(shù)近似服從參數(shù)為兄F—OOOx血J嚴(yán)3*的泊松分布，即“(X=?)=—『廠，R=0,l,2,……。則至少有2人被檢出重人疾病的概率為p=1_p(X=0)—p(X=1)=1—曠'—?0.801o

12、解（1）由于P｛O<X<1）+P（2<X<3）=|+|=1,因此X的概率分布函數(shù)為:0x<0x2F(x)=P(X<x)=<—x-10<x<1<x<2,<x<3x>3x-10<x<1<x<2,<x<3x>3(2)P{X<2.5}=2.5-1_313、解：(1)由/(x)dx=c(4-x2=1解得c=舟。(2)易知牙S0時(shí),F(x)=O；時(shí),F(a:)=1；當(dāng)0vxv2時(shí),尸（X）=J；/bXv=^J0'（4-r血=但；6入）'當(dāng)0vxv2時(shí),所以，所以，X的分布函數(shù)為尸（X）=｛0,

(12%-x3)161x<0?0<x<2,x>2?（3）p（-l<X<1）=F（1）-F（-1）=F（1）=—o16（4）事件｛—1<X<1｝恰好發(fā)生2次的概率為p=|；2/7（-l<X<l）2（l-p（-l<X<1））3=（；2—fl-—]=0.1442。16I16>14、解（1）該學(xué)生在7：20過(guò)X分鐘到站，X?U（0,25）,由題意知，只有當(dāng)該學(xué)生在7：20-7：30期間或者7：40-7：45期間到達(dá)時(shí),等車小時(shí)10分鐘，長(zhǎng)度一共15分鐘,所以：153P｛該學(xué)生等車時(shí)間小于10分鐘｝=P｛X<10｝=|^=-：（2）由題意知，當(dāng)該學(xué)生在7：20-7：25和7：35-7：45到達(dá)時(shí)，等車時(shí)間大于5分鐘又小于15分鐘，長(zhǎng)度為15分鐘，所以：P｛該學(xué)生等車時(shí)間大于5分鐘乂小于15分鐘｝二卩｛5VX<15｝二||=|；(2)(2)（3）已知其候車時(shí)間人于5分鐘的條件卞，其能乘上7：30的班車的概率為:P｛該學(xué)生乘上7:30的班車|X>5｝二卩｛該學(xué)生乘f；?｝班車前>”其中P｛該學(xué)生乘上7:30的班車且X〉5｝=茅P｛X>5｝=辛弓于是1P｛該學(xué)生乘上7:30的班車|X>5｝=|=L515、解：由題知，X服從區(qū)間（-1,3）±的均勻分布，則X的概率密度函數(shù)為￡、—、-l<x<3人（0=4〔0,其他。在該區(qū)間取每個(gè)數(shù)大于o的概率為2,則4叩以｝7併叩以｝7併16、解（1）P(X>2.5)=->-2.5)(JOO=1-<-2.5)=l-①(-2.5)a=0(2.5)=0.9938(2)P(Xv3.52)=<幾2-")=<_1.48)a(Ja=①(—1.48)=1—①(1.48)=1-0.9306=0.0694(3)戶(心<6)*二<口<乜)*(-1<口<1)<yaaa=①⑴一①(一1)=2①(1)一1=1.6826-1=0.682617、解：他能實(shí)現(xiàn)自己的計(jì)劃的概率為<3-23、p(x>3)=l-p(x<3)=l-^——=1—①(1.4)=0.0808o

18、解(1)X?7V(17O.5.O2),有題意知，該青年男子身高大于170cm的概率為:P(X>170)=戶(土士>170_〃)=P(匕>0)(7=1-0(0)=0.5該青年男子身高大于165cm且小于175cm的概率為：P(165<Xv175)=-<Vi")=P(-l<<1)bbbb=①⑴—①(—1)=2①(1)—1=1.6826-1=0.6826該青年男子身高小于172cm的概率為：P(X<172)=<172~/Z)=<0.4)(J(J(J=0(0.4)=0.6554（200—22019、解：系統(tǒng)電壓小于200伏的概率為＜200）=0一-一=0）（-0.8）,在區(qū)|nJ[200.240]的概率為/A=/?(200<X<240)=0go「①25200-220A/A=/?(200<X<240)=0go「①25200-220A<25)=0(0.8)—①(-0.8),人于240伏的概率為p.=p{X>240)=1-0240-220~~25=1—①（0.8）。該電子元件不能正常工作的概率為a=0.1Pi+0.001伐+0.2必=0.064°p=—=0.662oa該系統(tǒng)運(yùn)行正常的概率為&=?(1-Q)‘Q+(1-Q)'=0.972。20、解(1)有題意知：P(|Z|<a)=P(-a<Z<a)=l-2P(<Z>a)=a\.—a于是P(Z>a)=——,2從而得到側(cè)分位點(diǎn)0=%弋”2；P(|Z|>b)=P(Z>b^z<b)=P(Z>b)+P(Z<b)=2P(Z>b)=a,a于是P(Z〉b)=_,結(jié)合概率密度函數(shù)是連續(xù)的，可得到側(cè)分點(diǎn)為b=s；(3)P(Z<c)=l-P(Z>c)=a于是P{Z>c)=l-a.從而得到側(cè)分位點(diǎn)為c=^o21、解：由題意得，p(X<^)=0—\乙“(X>兀)=1—“(X>兀)=1—①匕-15、<2):34:16,解得人=15,x2=17022、解(1)由密度函數(shù)的性質(zhì)得：1=ff(x)dx=[a-e~xdx=ciy/TrJ-xJ-x所以Cl=左;(2)p(X〉t)=l_P(X<^)=l-^ae'x2dx令x=令,上式可寫(xiě)為:-e~^,x〉0,8p(X>*)=1--y=f百e~~dx=1-①(寺)=-e~^,x〉0,823解：(1)易知X的概率密度函數(shù)為/(x)=<0、x<Oo

（2）A等待時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率是p（X>10）=￡/（x）^=^-125o（3）等待時(shí)間人于8分鐘且小于16分鐘的概率是p（8vX<16）=。24、解用X,F分別表示甲、乙兩廠生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品的壽命，用Z表示從這批混合產(chǎn)品中隨機(jī)取一件產(chǎn)品的壽命，則該產(chǎn)品壽命大于6年的概率為：P（Z>6）=P（X>6）?P（取到甲廠的產(chǎn)品）+P（y〉6）?P（取到乙廠的產(chǎn)品）t1（1=0.41*-e3\A+0.6f-e6dxh3J66=0.4宀0.6宀0.2749（2）該產(chǎn)品壽命人于8年的概率為：P（Z>8）=P（X>8）.P（取到甲廠的產(chǎn)品）+P（y>8）?P（取到乙廠的產(chǎn)品）嚴(yán)1--X嚴(yán)1-i.V=0.4［-e3dx+0.6\-e6dxJs3Js6_8_4=0.4/亍+0.6/亍=0.1860所求的概率為：P（Z>81Z>6）=P（Z>8）=0.6772°1P（Z>6）x>0,x<0o02x>0,x<0o25、解：（1）由題知，/（X）=<°（2）/?{5<x<10}=F（10）-F（5）=e'1-^2.（3）每天等待時(shí)間不超過(guò)五分鐘的概率為p{x<5}=F（5）=l-e-!,則每一周至少有6天等待時(shí)間不超過(guò)五分鐘的概率為—O{M5}6（l_p{M5}）+p{M5}7=（l—「）°（6G+l）。26、解（1）這3只元件中恰好有2只壽命人于150小時(shí)的概率a為：a=C；［P（X〉150）］'P（X<150）=C；［l-P（X<150）］2P（X5150）,其中P（X<150）=￡5°0.01^°01vJx=0.7769于是cr=3-［l-P（X<150）］2P（X<150）=0.1160；（2）這個(gè)人會(huì)再買，說(shuō)明這3只元件中至少有2只壽命大于150小時(shí)，這時(shí)所求的概率0為:

0=C；[P(X〉150)]'P(X<150)+C^[P(X>150)]3=0.1271327、解：依題知，Y的分布律為p(Y=10)=p(X=2)=0.72=0.490,p(r=8)=p(X=3)=Q0.7(l-0.7)0.7=0.294,p(y=2)=p(X>4)=p(X=4)+p(X=5)=Q0.7(l—0.7)'.0.7+C0.7(l—0.7)'.0.7=0.21628、解(1)由密度函數(shù)的性質(zhì)可得：1=j*f(x)dx=j*[c(4-x2)dx=9c于是c=-9(2)設(shè)X,Y的分布函數(shù)分別為：FxW,&(x),Y的概率密度為人(x),有Fy(X)=P(Y<x)=P(3X<x)=P(X<|x)=Fy(|x)那么，恥)冷/(討=刃4七卩宀山；0、其他(3)設(shè)Z的分布函數(shù)為：心(0。當(dāng)x<0，顯然尸?(小=0。當(dāng)x>0,有Fz(x)=P(Z<x)=P(\X\<x)=P(-x<X<x)=Fx(x)-Fx(-x),于是有/zW=/W+/(于是有/zW=/W+/(-x)=5l(4-x^Kx<20,x>2評(píng)」),0心1從而，Z從而，Z的概率密度為:fz(X)=<i(4-x2),l<A<2,0.其他Z的分布函數(shù)為:00662(12x—x')/27,0<x<lF7(x)=<(12x-x3+11)/27J<x<2x>229、解：(1)依題知，N(f)?TT(加)當(dāng)"0時(shí)，碼“)=0,當(dāng)『>0時(shí)，碼⑴叮九⑴(y)dy=l-廠,I—A/,、n所以，T的概率分布函數(shù)為FT(t)=\~??7o,r<0o(2)P((2)P(T>/()+/『>Z0)=P(T>/°+f,T>/°)

P(T>g)__P(T>/°+/)P(T>/o)『Mo+f)嚴(yán)『Mo+f)嚴(yán)30、解由題意知，X?U(0,l),即X30、解由題意知，X?U(0,l),即X的概率密度為:r、Jg(OJ)人⑴=[o,其他設(shè)X,F的分布函數(shù)分別為：Fx(%),&(y),其中Y=Xn.有O.x<0Fx(x)=P(X<x)=<x,xe[Q,l)[1,X>1當(dāng)y<09顯然有&(y)=0°當(dāng)y>0Fy(y)=P(^<y)=P(Xn<y)=P(O<Xn<y)=P(O<X<!(ly)=Fx1i-i那么A(/)=；r>0<y<1o0,其他*31解：由題意知，X的概率分布函數(shù)為F（x）=<0,x<0,2xA_3龍31解：由題意知，X的概率分布函數(shù)為F（x）=<0,x<0,2xA_3龍-—、0<x<、3龍2Xn—.21,則p(Y<y)=p(cosX<y)=p(X<aiccosy)=F(aiccosy)0,4(^-arccosy)3/r2aiccosy1寸、-i<y<o,0<y<l,yni.32、解由題意知，X?N即X的概率密度為:X<-HZ)設(shè)X,Y的分布函數(shù)分別為：Fx（X）,FY（y）9其中Y=Xy=J?的反函數(shù)為y=J?的反函數(shù)為x=r,則當(dāng)y<0,顯然有Fr（y）=0o當(dāng)y>0,有耳（y）=P（Y分）=P（X*），）=P（—=代（"）—代（一"）那么Qy<033解:（1）由題意知,￡(ax+b)dx=1fY（K）=\^［fx（V7）+fx33解:（1）由題意知,￡(ax+b)dx=1a解得<b/>(>0=/%(h)?2y,0,/>(>0=/%(h)?2y,0,o<y<Q

其他。y(2護(hù)+1)30.0<y<>/2,其他。34、解設(shè)X,Y,Z的分布函數(shù)分別為：Fx(x),FY(y),巧(込)。由Y=ex,容易得出：當(dāng)y<0,有"(y)=0。當(dāng)y>0,有Fy(y)=P(Y<y)=P{ex<y)=P(X<Iny),y<0從而求得Y的概率密度：fy(y)=<從而求得Y的概率密度：fy(y)=<-fx(^y)=-f^e2』>oy>/2巧又Z=111|X|,于是代⑵=P(Z<Z)=P(111|X|<Z)=P(\x\<ez)=P(-e:<X<e:)=Fx(e:)~Fx(-ez)從而fz(z)=[fx(◎)+/%(—€')]◎=/T—72兀第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布注意：這是第一稿（存在一些錯(cuò)誤）1、解互換球后，紅球的總數(shù)是不變的，即有X+y=6,X的可能取值有：2,3,4,Y的取值為：2,3,4o貝的聯(lián)合分布律為：P(X二2/二2)二P(X二2』二3)二P(X二3/二2)二P(X二3/二4)二P(X二4/二3)二P(X二幼二4)二0P(X=2,Y=4)=P(X=4』=2)=|?|=^223313P(X=^Y=3)=--+--=—555525由于x+r=6，計(jì)算x的邊際分布律為：P(X=2)=P(X=2,y=4)=Ap(x=3)=P(X=3,Y=3)=IIP(X=4)=P(X=4,y=2)=A2解：ci+b+0.5=lp{x=o}=p{x=o,y=o}+p{x=o,y=i}=o.4+?p{X+Y=l}=P{X=O.Y=l}+P{X=iy=O}=a+b因事件{X=0}與事件{X+Y=l}相互獨(dú)立，貝Ijp{x=o,x+y=i}=p{x=o}-p{x+r=i},E卩c/=(0.4+c/)(o+b)(2)/、/\d=0.4由⑴,(2)解得￡=o.i。3、解利用分布律的性質(zhì)，由題意，得d+0.1+0?l+b+0?l+0?l+c=lP{Y<0\X<2)=P(Y<P{Y<0\X<2)=P(Y<0.X<2)_p(r<0,X=l)~~P(Xv2)P(X=1)a+0.1

a+OA+bP{Y=l}=b+c=0.5計(jì)算可得：a=c=0.2b=0.3于是X的邊際分布律為：P(X=l)=o+0.1+b=0.6P(X=2)=0.1+0.1+c=0.2+c=0.4Y的邊際分布律為P(Y=_1)=g+0.1=0.3,P(Y=0)=0.2p(y=l)=b+c=0.54解：(1)由已知p{X=0,y=0}=p{X=hY=2}=0.1,則p{X=0,Y=2}=p{Y=2}-p{X=l,Y=2}=0.3-0.1=0.2,p{X=0.Y=l}=p{X=0}-p{X=0.Y=0}-p{X=0.Y=2}=0A,p{X=^Y=0}=p\Y=0}-p{X=0.Y=0}=0.l,p{X=l,Y=l}=〃{X=l}_p{X=l,Y=0}_p{X=l,Y=2}=0.4。M,R=0,⑵譏丫胡x=o}=⑵譏丫胡x=o}=卩爲(wèi),：}燈7,R=l,—,k=2.25、解(1)每次拋硬幣是正面的概率為0.5,且每次拋硬幣是相互獨(dú)立的。由題意知，X的可能取值有：3,2,1,0,Y的取值為：3,1。則(X,Y)的聯(lián)合分布律為：P(X=3V=l)=P(X=2V=3)=P(X=l#=3)=P(X=0#=l)=0P(X=3,Y=3)=卩、P(X=3,Y=3)=卩、(2丿P(X=2,Y=1)=C；rn<2>￡=32_81/1\22/1\p（x=o）=⑴=-（2丿8p（x=o）=⑴=-（2丿8X的邊際分布律為：P(X=1)=卅?⑴P(X=1.Y=1)_1pP(X=1.Y=1)_1p(y=1)_2P(X=2|Y=1)=p(x=2』=l)

p(y=i)=|,P(X=3|Y=l)=0fiA2i1/iA3iP(X=2)=C；\-?—=—,P(X=3)=-=-=2丿28⑵8Y的邊際分布律為：P(Y=3)=P(X=0』=3)+P(X=3,Y=3)=丄43P(Y=1)=P(X=1』=1)+P(X=2』=1)=—4(2)在(y=i}的條件下x的條件分布律為：P(x=o|r=i)=o,p(x=i|y=i)=6解:(1)p{X=0,Y=]}=p{Y=l\X=0}p{X=0}=^,p{X=0,y=2}=p0=21X=0}p{X=0}=曹，p{X=0,Y=3}=p0=31X=0}p{X=0}=右，p{X=1,Y=]}=p[Y=l\X=]}p{x=1}=—,p{X=1,Y=2}=p{Y=2\X=1}p{X=1}=^,/7{x=i,y=3}=p{r=3|x=i}p{x=i}=lo41(2)p{Y=l}=p{X=0.Y=]}+p{X=1,Y=]}=—,38p{Y=2}=p{X=0,Y=2}+p{X=UY=2}=—,/7{y=3}=p{x=0,y=3}+p{x=i,r=3}=Aiop{Y=l}41P[X=1\Y=1}=P{^=1}=^p{Y=l}41P[X=1\Y=1}=P{^=1}=^7、解（1）已知p（X=〃7）=j—,加=0,1,2,3…。由題意知，每次因超速引起的事

故是相互獨(dú)立的,當(dāng)加=0丄2,3???時(shí),P（Y=n\X=m）=C：；（0?ir（0?9）〃E,n=0丄2,???加°于是（X,Y）的聯(lián)合分布律為：P(X=〃7,Y=n)=P(X=m)P(Y=n\X=m)=匚丄C：(0.1/(0.9嚴(yán),(n=0丄2,…〃7；加=0丄2,3???)（2）Y的邊際分布律為:+0Cp(r=/?)=￡p(xm=O嚴(yán)+0Cp(r=/?)=￡p(xm=O=m.Y=n)=YC：；(0?ir(0?9)〃e”om!(〃=0丄2,…)即Y?^（O.U）o（該題與41頁(yè)例3丄4相似）8解：(1)y可取值為0,ci>la,p(x=o,y=o)=o.6,p(X=0,y=a)=p(X=0,y=2d)=o,p(X=l,y=0)=03(l-p),p(X=1,7=a)=0.3p,p(X=1,7=2a)=0,p(X=2,F=0)=0.1(l-p)‘，p(X=2,y=6f)=0.2/?(1—p),p(X=2,Y=2°)=0.1/?'。(2)p(Y=O|X=l)=(l_p),p(Y=a\X=1)=P，p(Y=2°|X=l)=0。9、解(1)由邊際分布函數(shù)的定義，知0,x<0Fx(x)=liiny)=<0.3,0<x<1y—>+Xl,x>1QyvOFy(v)=limF(x,y)=<0.4,0<y<1?v->+x_l,y>l(2)從X和丫的分布函數(shù)，可以判斷出X和Y都服從兩點(diǎn)分布，則X的邊際分布律為：X01p0.30.7Y的邊Y際分布律為01P0.40.6(3)易判斷出p(x=o,y=o)=o.i,所以(x,y)的聯(lián)合分布律為：P(X=0,y=0)=0.1P(X=0,Y=1)=P(X=0)-P(X=0,r=0)=0.2P(x=i,y=o)=pa=o)—p(x=o,y=o)=o.3p(x=1,y=1)=P(Y=1)-P(X=0,Y=1)=0.4。10解:(l)p{X=0,Y=l}=p{y=l|X=0}p{X=0}=p{3p}p{^}=0.35,p{X=0,Y=0}=p{X=0}_〃{X=0"=l}=0.35,p{X=kY=0}=p{Y=0}-p{X=0.Y=0}=l-p{Y=l}-p{X=0.Y=0}=0.25,p{X=kY=l}=p{X=l}-p{X=l,Y=0}=0.05.(2)當(dāng)xvO或y<0時(shí)，F(xiàn)(x,y)=0,當(dāng)OYxvl,0<y<1時(shí)，F(xiàn)(x,y)=p{X=0,Y=0}=0.35,當(dāng)OWxvl,y>l時(shí)，F(xiàn)(x,y)=p{X=aY=0}+p{X=0,Y=l}=0.7,當(dāng)x>l,0<y<1時(shí)，F(xiàn)(x,y)=p{X=0,Y=0}+p{X=l.Y=0}=0.6^當(dāng)x>l,y>l時(shí),F(x,y)=l。0,x<0或yv0,所以,035,(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為尸(x,y)={0.7,060<x<l,0<y<1,0<x<l,y>l,x>l?0<y<1,1,x>1,y1-11、解由(X』)的聯(lián)合分布律可知，在｛%=!｝的條件下，Y的條件分布律為:P(y=0|X=l)=P{y=0,X=l}_0?25=5

—P{x=i}—_"oT_6P(Y=l\X=l)=P{mi}_0?05二1—P{x=i}—_"oT_6因此在｛X=l｝的條件下，Y的條件分布函數(shù)為QyvOFr|x(y|l)=|,0<y<l12解：設(shè)F{x9y}=kxy9(x,y)eD,則x>l,y>i時(shí)，k+0?2=l,即Z:=0.8o所以(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為0,a<0或yv0、0.8心+0丄尸={O.Sx+O.l,0.8y+0.1,0<x<l,0<y<1,

0<x<l,y>L

x>l,O<y<1?13,解Fhf(x,y)的性質(zhì)，得:"匚匚fEMxdy=￡dyfc(y-x)dx=|,所以c=6(2)設(shè)D1={(^y)|x+y<l,O<x<y<l},則

P{X+Y<1}=JJ/(x,y)dxdy=『d?寸-x)dy=0.5qx(3)設(shè)D2={(x,y)|0<A：<y<l,X<0.5},則P{X<0.5}=jjf(x,y)dxdy=fdx^c(y-x)dy=fDzA&14解：(1)由1=nrc(a-1)dydx=|■得c=3。(2)由(1)知，(2)由(1)知，f(x.y)=<則人(可=匸/(兀y)d>=3|(x-l)dy,1<x<2,_

X其他。0.-1)(4-2a),0,1<x<2,

其他。Xy-i)23[(x-l)dx,fy(y)=匸/(x，y)dx=<3廣(x-l)tZr,0.l<y<2,2<y<3,=<其他。23(3f20.ivy2<其他。15、解(1)由題意，知當(dāng)xg(0,-hx>),fx(x)=廣f(x,y)dy=Pe'xdy=xe~xJ—ocJ0當(dāng),fx(x)=0所以：fx(x)=0,x<0xe^\x>0當(dāng)ye(0,+oo),人(刃=匚/(匕刃況丫=廠廠山=￡當(dāng)yw(Y\0],fY(y)=o05y<0所以：A(v)=^；八［e-y,y>0(2)當(dāng)x>0時(shí)，有〔0』取其他值

(3)當(dāng)己知｛X=x｝時(shí),由九|x(y|x)的公式可以判斷出,Y的條件分布為[0,刃上的均勻分布。16解：(1)由/中(沖)=蓋#得,/(兀刃=/中(沖)人(x)=<kex,x>0,y>0..0,其他。(2)當(dāng)x>0時(shí)，%(卅)丄/詁血U屮)加「丄€xclv.y>0、Jox=<0,y<0o'-上1-ex,y>0,0,y<Oo(3)p{Y>l\X=]}=p{X=]}-p{Y<l\X=l}=e'1.17、解(1)由題意可得：當(dāng)卜|v1時(shí)’fY()')=匚=J；寸加=|(1-)』)‘當(dāng)|y|>b人(刃=0所以[0」北1(2)當(dāng)尸<1時(shí)fxAxfxAx\y)=/(兀刃

fy(y)0以取其他值I1,..1——，-<X<1(3)當(dāng)y=-時(shí)，ZY|rU|-)=15420,x取其他值所以P{X>二|丫=空}=]￡?(兀|二)dx=J丄左~=0.8。

…、1,0<x<L「/I\18…、1,0<x<L「/I\18解：(1)因人(x)={o其他?！?中(沖)=]17xvy<1,其他。1所以f(x9y)=/中(y卜)人(x)=<1-X0,0<x<y<1,其他。⑵川刃二匸/住刃山二丄㈡“x0,ovyvl,=[_ln(l_y),其他。I°50<y<1,

其他。m冊(cè)彳"何30<x<y<1,其他.19、解設(shè)事故車與處理車的距離Z的分布函數(shù)為Fz(f),X和Y都服從(0,111)的均勻分布，且相互獨(dú)立，由題意知：當(dāng)0v/v加時(shí),當(dāng)0v/v加時(shí),Fz(t)=P(Z<t)=P^X-Y\<t}=nr-(in-ty2mt-t2m20J<0巧(/)=］如工，0G<〃「nr1J>m所以Z的概率密度函數(shù)￡(/)為:f2(/n-0fz(l)=\nr'0<t<m[o,f取其他值2。解：由噺g)")'即g)擊〔0,其他。⑴人(刃=匸/(兀刃心=J仁％<J-y/P710<y<1,=<0,其他。4r~~r—Jl_y、710,0<y<1其他。11⑵p{Yvl/2}=C（y）婦孑fy=”書(shū)⑶同理得=0<X<1\〔0,其他。所以/（兀）*人（兀）?人（刃，故X和丫不獨(dú)立。21、解（1）設(shè)X,Y的邊際概率密度分別為fx（X）,fY（y）9由已知條件得,g,1亠人⑴如屁"2從滬匚/（I）婦步產(chǎn)-X從滬匚/（I）婦步產(chǎn)-X（計(jì)算的詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)例33.5）（2）有條件概率密度的定義可得:fy\x(fy\x(>?Ix)=/(x,y)=i去ffx(x)屁在{X=0}的條件卞，丫的條件概率密度為:fr\x(yI°)=fr\x(yI°)=(3)P(Y<l\X=0}=J：fY[x(y10)dy=匸~^=e~^：dy=0.5(3)：M(x,y)+Z：(x,y)]dy22解：(1)：M(x,y)+Z：(x,y)]dy~2=*CAx(x)+/zx(x))Xvs1-2_（2）當(dāng)p=0（,=l,2）時(shí)，X|與G/與乙均獨(dú)立，則/(兀y)=-[/i(兀,y)+厶(兀刃]=2[幾(x)幾(y)+厶x⑴心(y)]2龍2龍所以，/Cv,y)=AWA(y)?即x與丫獨(dú)立。23、解設(shè)T表示正常工作的時(shí)間。由題意知X,?E(刃(z=l,2,3),即Fx、(齊)=<]Fx、(齊)=<]1—fW，兀〉0?■設(shè)件(0是設(shè)備正常工作時(shí)間的概率分布函數(shù)，人(f)是概率密度函數(shù)。則當(dāng)/〉0時(shí)Er(t)=P(T<t)=P(X]<t,X2<r)+P(X1<t,X3<t)+P(X2<t,X3<t)-2P{Xx<t,X2<t,X3<t)=3(1-C-2(1-C當(dāng)/SO時(shí)，/7(0=Oo于是：F于是：FT(t)=3(1—f7)2一2(i_￡i)T>0o.r<o6兄￡?2川(1_幺7),/>024解:(1)P(z=k)=C3(l-py：R=0丄…,。所以，Z-B(rup)(2)P(w=k)=P(x+y=k)=y,p(x=l,Y=k—l)=fc,3(i_p：TcTh(i+)z所以，W~B(/n+n,p)o25、解設(shè)fx(x),fY(y),￡(f)分別是X,Y,Z的概率密度。利用公式(3.5.5),由題意得：1一加1一2a

===匚/W_切=匚fx(x)fY(t-x)d.x=舟［人(t-x)d.x廣fY(刃dx=1一加1一2a

==「不/+ci—/.It—ci—//-［①()_辱)］a(79JA-Jx23-Z33-Z33-3￡￡hl26解：fA^=\_J^-X9JA-Jx23-Z33-Z33-3￡￡hl0<r<1,l<r<2,2</<3,其他。心)3心)3凹＜亍30、0<r<i.l<r<2.2<r<3其他。27、解設(shè)乙為一月中第j天的產(chǎn)煤量(i=l,2,…30),Z是一月中總的產(chǎn)煤量。由于30Xj?N(1?5,O?1‘)，且相互獨(dú)立，因此有Z=》x,?N(30xl?5,30x0?l‘)，即/=0Z?N(45,0?3)。于是，46-45P(Z>46)=1-P(Z<46)=1-0(『—J=0.034>/0328解:巧Q)=P(X+Y<z)=p(x=o,y<z)+p(x=ioo,y<^-ioo)+p(x=5oo,y<^-5oo)=0.5尸⑵+0.3F(z—100)+0.2F(z_500)所以，￡(Z)=O.5/(z)+O.3/(z—100)+0.2/(z—500)。1029、解（1）由于/?龍（刃（心12???10）,且相互獨(dú)立，因此有工&?龍（10刃（見(jiàn)1=0例3.5.1）,由題意知，得10101010P(工X,n2)=I—P(工X,v2)=l—P(工X,=O)—P(》X,=1)1=01=0i=0i=0=1-(1+10刃嚴(yán)所求的概率為：P(maxX.>2)=1-P(maxX.<2)1</<101</<10=1-P(xt<2,x2<2,-X10<2)=1-P(X1<2)10=1-(1+2尸嚴(yán)由題意可求：P(minX.=0)=l-P(Xl>0,X?>0,…X】。>0)二1-[1-戸仏]二0)『°二1-(1-刊°及P(maxXr>2,minX,=0)=P(minX,二0)-P(maxXf<2,niinXt二0)l<r<101l<r<10fl</<10'l</<10E/<10"=P(minXf=0)-P(maxXi<2)+P(maxXf<2,niiiiXi>0)=P(niiiiXt=0)-P(maxX.<2)+P{0<X.<2/=l,2<--10}=P(minX,.=0)-(1+久)陀血+典皿于是所求的概率為:P(niaxXi>2,nuiiX(=0)P(maxX.>21nnnX=0)=—匕心；’._產(chǎn)M=P(nuiiXt=0)-P(niaxXt<2』unX-=0)vi<r<io11i<i<ioJzP(iiunX=0)i</<io1zvi</<io1i</<io1zP(minX,=0)-(1+2)10^l0A+加°嚴(yán)_上亡：0P(niuiX-=0)[(1+2)2-瀘]嚴(yán)人=_1一(1一宀)"-30解：(DP(Z=l)=P(X=0,y=l)=0.04,p(z=2)=p(x=o,y=2)+p(x=i,y=i)=o.i4,p(z=3)=p(x=o,y=3)+p(x=i,y=2)+p(x=2,y=i)=o.3,P(Z=4)=P(X=l,Y=3)+P(X=2,Y=2)=0.32,p(Z=5)=P(X=2,y=3)=0.2oP(M=l)=P(X=0,Y=l)+P(X=l,Y=l)=0.1,p(M=2)=P(X=aY=2)+P(X=l,Y=2)+P(X=2,Y=2)=0.5,P(M=3)=0.4。P(N=0)=0.2,P(Af=l)=P(X=l,y=l)+P(X=l,y=2)+P(X=l,y=3)+P(X=2,y=l)=0.4P(N=2)=P(X=2,Y=2)+P(X=2,Y=3)=0.4。31、解設(shè)T的概率密度函數(shù)為fr(t)o串聯(lián)當(dāng)f>0時(shí)P(T<t)=l-P(T>t)=l-P(X>t,Y>t)=1-A2e'^ydy=1-八心廠計(jì)算可得fr(0=(A+人)嚴(yán)i當(dāng)時(shí)，顯然有齊(/)=0。因此T的概率密度函數(shù)為齊(f)為：7loj<o并聯(lián)當(dāng)f>0時(shí)P(J<t)=P{X<t,Y<t)=J：人幺*A2e'^ydy=1-e"-e'^+幺一"""計(jì)算可得fT(0=人宀+人嚴(yán)-(A+仏)不g"當(dāng)時(shí)，顯然有齊(0=0。因此T的概率密度函數(shù)為齊(f)為:^>4.^>4.M)=兄嚴(yán)+幾嚴(yán)_(人+入)*心乜”昇>0M)=0j<0(3)備份由題意知，T=X+Y.于是當(dāng)/so時(shí)，顯然有fT(t)=O.當(dāng)/>0時(shí)fr(0=匚AMA(I-Qdx=J；人宀^嚴(yán)叫匕鼻［廠如―小訂人入工人=仏-人-從而所求的概率密度函數(shù)為：A(O=<入-人0j<0也護(hù)_嚴(yán)］昇>0QUO晉/宀f>0AIt=X32解：令彳，則[v=2x-yFz(z)=P(2X-Y<z)=Jff(x,y)dxdy2x-y<z=JX丿("2-訕加0,0<^<4,=<[f^-clud\\JoJv/24

0<^<4,0.^<0.7-0心4,161,Z>4.=所以，.33、解P(W=(2)XP(X=P(X=P(X=P(X=34解：篤(小0.0<^<4,0.0<^<4,其他。(!)由題意得，對(duì)X獨(dú)立觀察〃次，〃次觀察值之和W的概率分布律為:=k=(U23,…/的可能取值為：0,bz的可能取值為：0,1,因此(x，z)的聯(lián)合分布律為:1JJf(x,y)dxdyy0<.v<l,0<y<l0<r<Lr<0.//>1,It

t0,0</<L

r<o.1處)=p0,t>i.0<Z<1,r<o.第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征注意：這是第一稿(存在一些錯(cuò)誤)NN1、解每次抽到正品的概率為：一，放回抽取，抽取"次，抽到正品的平均次數(shù)為：—?MM2、方案一：平均年薪為3萬(wàn)方案二：記年薪為X,則XX=1.2)=0.2,XX=4.2)=0.8EX=1.2x0.2+42x0.8=3.6>3故應(yīng)采用方案二3、解由于：匚忖/(乳皿=2卩龍(]X2?X=￡ln(]+疋)I,=g所以X的數(shù)學(xué)期望不存在。4、p(X=2)=圭,p(X=3)=+，p(X=4)=箱,“(X=5)=*,p(X=6)=箱,、3“1p(X=7)=—,p(X=2)=-,EX=2x—+3x—+4x—+5xA+6x—+7x—+8x丄=6。2814287281445、解每次向右移動(dòng)的概率為p,到時(shí)刻〃為止質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)的平均次數(shù)，即幾的期望為:Eg=np時(shí)刻//質(zhì)點(diǎn)的位置S”的期望為：E(Stj)=np-n(l-p)=n(2p-1)6、不會(huì)7、解方法1：由于P(T>O)=1,所以T為非負(fù)隨機(jī)變量。于是有:(1—"))創(chuàng)=匸P(T>t)dt=jf#Q(l+k)d心扌方法二：由于P(T>O)=1,所以，可以求出T的概率函數(shù)：Ar<0/⑴_(tái)<le_,(l+2e_/),r>0-2于是E⑴=匚\t\f(t)dt=Jf=扌0<x<+s8、AW=匸/S’y^y=￡'f嚴(yán)心=20<x<+sEX=￡°xfx(x*/x=J*：2xe~2xdx=gE(3X-l)=3EX-l=i⑶E(X,Y)=匸匸xyf(x,y\lxdy=fJR^e~2xdydx=+。9.解設(shè)棍子上的點(diǎn)是在［0J］之間的，Q點(diǎn)的位置距離端點(diǎn)0的長(zhǎng)度為q。設(shè)棍子是在t點(diǎn)處跌斷，t服從［0,1］的均勻分布。于是：包含Q點(diǎn)的棍子長(zhǎng)度為T(mén),貝IJ：t.q<t<1T=U-t.O<t<q,q<t<\于是包Q點(diǎn)的那一段棍子的平均長(zhǎng)度為：E(T)=J*：Tdx=J：(1-/)d/+f=*+q-孑10、X?u(&9),Y?U(&9)E|X一牛打:卜-卅(a)dMy+(小時(shí))即先到的人等待的平均時(shí)間為20分鐘。11、解(I)每個(gè)人化驗(yàn)一次，需要化驗(yàn)500次(II)分成k組，對(duì)每一組進(jìn)行化驗(yàn)一共化驗(yàn)竽次，每組化驗(yàn)為陽(yáng)性的概率為：1-0.7",k若該組檢驗(yàn)為陽(yáng)性的話，需對(duì)每個(gè)人進(jìn)行化驗(yàn)需要k次，于是該方法需要化驗(yàn)的次數(shù)為：—(1+(1-0.7a)^)ok將(D)的次數(shù)減去(I)的次數(shù)，得：竽(1+(1—07)燈—500=500(2—07)kk于是：當(dāng)1-0.7a<0時(shí)，第二種方法檢驗(yàn)的次數(shù)少一些；當(dāng)i-0.7A>0時(shí),kk次數(shù)少一些；當(dāng)y-0.7"=0時(shí)，二種方法檢驗(yàn)的次數(shù)一樣多。k第一種方法檢驗(yàn)的/(0=<r>0,r<0.12、0,13、解由題意知:在圓內(nèi)F其他值22——,-r<x<r—fx(x)=tty‘=0,其他值〔0,，一廣<y<r其他值(1)(2)計(jì)算可得E(X)=E(Y)=frx—dx=0—7trA的位置是（x,y）,距中心位置（0,0）的距離是：.Jx2+y2距離為：,于是所求的平均eUx2+Y2)=JJyjx2+y2x-+r<r:7tr2rTr2clc[14、(1)a=l時(shí)，p(^r=0)=-^,p(^,=l)=-A-^±552=—H15E時(shí)，p(§=0)=看，卩(冬=1)=竿込，”G=2)=籌TOC\o"1-5"\h\zC15C15ClC.C22a磚=lx^^+2x*=——C"C15V15^15丄J4由=—得，°=10。⑵陀嚴(yán)4)=憐，/心=5)=憐，/心=6)=憐，C15C15C15廠7廠2廠S廠今廠0卩（針7）=憐，庇嚴(yán)8）=憐，庇嚴(yán)4）=憐C15C15C15

1rr^~2<y<20,其他值<U^1rr^~2<y<20,其他值<U^=o16、記y為進(jìn)入購(gòu)物中心的人數(shù)，x為購(gòu)買冷飲的人數(shù)，則必(x=約=￡%(丫=w)c>*(1一p)心x2川o一兄遼養(yǎng)rW—曠m=k〃彳！k'-2加！~k\-故購(gòu)買冷飲的顧客人數(shù)服從參數(shù)為久卩的泊松分布，易知期望為久〃。17、解：由題意知P(X=k)=右，其中&=0,1,2,...10。于是P(y=k,X=i)=0,i=R+l,???,llP^y=^X=i)=P(X=i)P(Y=k\X=i)='1

斤k11從而p(y=^=^p(斤k11從而p(y=^=^p(y=^x=/)=^-.-—/=0,=011LI—I10k1于是：E(y)=5：^=7.5k=07=0丄丄'10又P(Z=k)=X1=1(1]_曠1l'Tx10從而E(Z)=》P(Z=k)k=》k=l(=11(11-0=3.0218、D(§)=19、解E(X;)=f'xa-le~Axdx=r(a~Aj,(^>1)J。r(o)/lT(a)=￡(￡+2)_r(￡+l)2=a~2T(6Z)_LAT(a)J_r20、fX=Jj\f(x)dx=0,DX=EX2=-Cx2e~^dx=2疋兇=￡卜i"%=iD\X\=E|X|2-(E|X|)2=|1=121、解(1)設(shè)p表示從產(chǎn)品取到非正品的概率，于是有：/?=(1-98%)*0.7+0.2*(1-90%)+0.1*(1-74%)=0.06,用X表示產(chǎn)品中非正品數(shù)，X服從二項(xiàng)分布B(100,0.06),有：100E(X)=工腫(X=k)=100x0.06=6k=0D(X)=100p(l-p)=5.64(參考77頁(yè)的例4.2.5)(3)用Y表示在該條件卞正品數(shù)，Y服從二項(xiàng)分布E(100,0.98),于是E(y)=100x0.98=98￡>(%)=100x0.98x(1-0.98)=1.96

22、p(x=o)=p(x=i)=p(y=o)=p(y=i)=*p(X+Y>l)=p(X=0,Y=l)+p(X=l,Y=l)+〃(X=l,y=o)=p(x=o)p(y=i)+/9(x=i)p(y=i)+p(x=1)p(Y=o)_3_4f(x(-if)=o-(-i)°p(x=o)p(y=o)+o(-i)Z=mui{X,y}p(x=o)p(r=i)+Z=mui{X,y}1(-1)°p(X=1)p(Y=o)+l(-l)1p(X=1)p(Y=1)=0Q(X?(—1)>)=E(X.(-1)了-[E(X?(—)F=￡(X-(-l/)代⑵代⑵=P(Z")=1-[(I-你⑺)(1-&⑵)]5二善=[o(-i)0]Xx=o)/9(r=o)+[o(-i)故Z服從參數(shù)為2=6的指數(shù)分布，故EZ=-6]2/7故Z服從參數(shù)為2=6的指數(shù)分布，故EZ=-6[1(—1)Tp(X=1)p(Y=0)+[1(-1廳p(X=l)p(Y=l)丄-223、解證明：D(XY)=E((XY)2)-(E(XY))2=E(X2Y2)-(E(XY))2=E(X2)E(Y2)-(E(X)E(Y))2(A于乂“相互獨(dú)立)=(D(X)+E(X)2)(r>(y+E(Y)2)-E(X)2E(Y)2=￡>(x)D(y)+(E(x))2D(y)+(E(y))2d(x)2e~2\x>0,0,x<0.y>o,y<0.24、fx(x)=x>0,x<0.4嚴(yán),fy(y)=0.y>o.y<0.DZ=L故Cv(Z)=^=lo36匕ZZ=inax{X.r}/）=P（/）=P（z“）Y⑵耳⑵屮"）°（yz>o,2SO.EZ=fzJFz(z)=l叮嘶⑵一茁=著5）嚼羋z=x+r,5EZ=EX+EY=—,DZ=DX+DY=—9166（6（Z）=>[dzEZ_S(X,|X|)A|V|7^可/D(|X|)_S(X,|X|)A|V|7^可/D(|X|),其中Cov(X,\X\)=E(X\X\)-E(X)E(\X\)通過(guò)計(jì)算得C"（X」X|）=O,即=0,從而說(shuō)明X」X|是不相關(guān)的。（2）很顯然，X與|X|不是相互獨(dú)立的。26、(1)人(對(duì)=匸/(兀刃心弓，|x|<iE(X)=O,DX=EX2-(EX)2=^x2dx=^,同理/；b)=J：/g)dx=*'|y|vle(y)=o,r)r=|cov(X,Y)=E(XY)—E(X)E(y)H#(l+Mdy=￡故X和丫正相關(guān)。_cov(x.y)_iPxy=^dx^dy故X和丫正相關(guān)。又/Cq)hA(x)人(y)，故x和丫不獨(dú)立。(2)cov(X2,r2)=E(X2Y2)-E(X2)E(Y2)=E(X2Y2)-D(X)D(Y)=x2y2?i(1+xy)dxdy-1=0故q=0,即x和丫不相關(guān)。又行計(jì)（兀）‘）=卩（燈＜兀尸“）=p(—五5X<4x,-y[y<Y<y[y)=[務(wù);/仏咖皿=何所以人：尸(x,y)=—L==」7=?4==ni(x)n(y),故X，和尸相互獨(dú)立。4何4Vx7727、解(1)由題意得：E{A)=-A+-0+-{\-A-O)=---A-—03466612E(sinA)=sm—-2sin—-^siii—,E(cosA)=cos--Acos--0cos—6126612結(jié)合已知條件，可求出：2=-,0=-42由于A和E是獨(dú)立同分布的，于是(A、E)的聯(lián)合分布律為：2\B7ti7t77t7P(A=i)7tT1/161/81/161/47111/81/41/81/27t~61/161/81/161/4(2)E(sinC)=E(sin(B+A))=E(sinBcosA)+E(cosBsinA)=E(sinB)E(cosA)+E(cosB)E(smA)=2[遇半上環(huán)*0.966(3)pAC=,其中a/d(A)V^(QCov(A,C)=Cov(A.tt-A-B)=Cov(A.-A)+Cov(A.-B)=Cov(A.-A)=-D(A)D(C)=D(tt-A-B)=D(A)+D(B)=2D(A)所—舄炭r%說(shuō)祗和。是負(fù)相關(guān)緘28（1）不會(huì)寫(xiě)

(2)cov(XX,)=cov1(2)cov(XX,)=cov1H11k=￡￡cov(x,,xjmEo+i"kk=￡￡cov(x,,xjmEo+i(3)cov(Sk,T,)=cov工X,,￡Xj\?=1戸〃o+lkkk%+?=SScov(X,,Xj+工工cov(Xf.,Xy)+￡工cov(Xj,Xji=ly=/i0+l/=/r0+l；=n0^lf=n0+l=工DXj=k-g叫+1DS嚴(yán)士DX嚴(yán)k,f=l畀o+EDT嚴(yán)工DXj=k,戶％+1cov(5^)_k-nQPf~~』o阿顧k29.解(1)證明：由于X和Y相互獨(dú)立，于是由題意得E?=E(XY)=E(X)E(Y)=0D?=D(XY)=D(X)-D(Y)+(E(X))2?D(Y)+(E(Y))2D(X)=4p(l—p)+(2p—l)2=1從而有f~N(0J)(2)Ca(X,g)=Cov(X,§)=Cov^X,XY)=E(X2(2)Ca(X,g)=Cov(X,§)=Cov^X,XY)=E(X2Y)-E(X)E(XY)=E(X2)E(Y)-E(X)2E(Y)=E(Y)=2p-l當(dāng)p=*時(shí)，X和§是不相關(guān)的；當(dāng)p>g,即Py>0時(shí)，說(shuō)明X和f是正相關(guān)的當(dāng)p<-,即pgvO時(shí)，說(shuō)明X和§是負(fù)相關(guān)的2顯然，X和§是不獨(dú)立的930(1)p(x=o,r=o)=/?(r=o|x=o)p(x=o)=-,；?(x=o,y=i)=^(y=i|x=o)p(x=o)=|,p(x=1,y=o)=p(Y=o|x=i)p(x=i)=—,p(x=i,y=i)=p(r=i|x=i)p(x=i)=|,3232/?(X=0)=-,p(x=i)=-,p(y=o)=-,/?(y=i)=-,p(x=o,y=o)hp(x=o)p(y=o),故x和y不獨(dú)立。(2)cov(X,y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0(p(X=0,Y=0)+p(X=0,Y=l)+p(X=l,Y=0))+i.p(x=i,Y=i)—p(x=i)p(y=i)=右故X和丫正相關(guān)。-久2k31、解(1)泊松分布的表示式為：P(X=k)=—^*=0丄…，于是通過(guò)計(jì)算有：k\P(X=k+l)_2p(x=k)f>1，當(dāng)2>k+1故：P(X巧1)=]=1當(dāng)人=R+1PZ)因此若兄為正整數(shù)，則眾數(shù)為兄和2-1：當(dāng)幾不為正整數(shù)時(shí)，則眾數(shù)為兄的整數(shù)部分[兄]。32(1)由q=o知，x和y不相關(guān)，等價(jià)于x和丫相互獨(dú)立。X?N(0,l),Y~N(1,4)Eg=ciEX—bEY=—b,Er)=ciEY-bEX=a,=a2DX+b~DY=a2+4b2,D/]=a2DY+b2DX=4n2+b2,￡=和=分別為§和“的標(biāo)準(zhǔn)化變量。W+4b，yJAa2+b2cov(M，7?)=cov[aX-bY.aY-bX)=(cT+Z^)cov(X,y)-db(cov(X,X)+cov(Y,y))=-ab{DX^DY)=-5ab

p=「[a2+b2(2)p=丄時(shí)，COV(X,Y)=py[DXy[DY=l,2Eg=ciEX-bEY=—b,Dg=crDX+b2DY-2abcov(X,y)=?2+4Z?2-lab因Eq=aEY—bEX=a,Di]=crDY-^-b2DX-2abcov(X.Y)=4a2+Z?2-2ab“?N(a,4c「+b2-2ab^故定義知〃的中位數(shù)為a,眾數(shù)為a。cov(^,77)=(?2+b，)c<yv(X,Y)_ab(DX+DY)=-(2a+b)(a+2b)故b=_2ci或a=—2b時(shí)，§和〃不相關(guān)。又正態(tài)分布的獨(dú)立性與相關(guān)性相同，故b=—2a或a=—2b時(shí)，§和〃獨(dú)立且不相關(guān)，否則不獨(dú)立且相關(guān)。33、解(1)由題意可知：D(X1)=1,E(X1)=O，說(shuō)明紙?N(O,1)D(X1)=1,E(X1)=O，說(shuō)明/~"(0,16)D(X3)=4,E(X3)=1,說(shuō)明X,~NQ,4)對(duì)于二維正態(tài)而言，兩變量不相關(guān)等價(jià)于兩變量獨(dú)立。由于Cov(X^X2)=2工0,所以/與X,相關(guān)且不獨(dú)立由于Ce(X“XJ=—1工0,所以X|與X3相關(guān)且不獨(dú)立由于Cov(X?X2)=0,所以禺與兀不相關(guān)且獨(dú)立從而(由88頁(yè)性質(zhì)4)可以判斷出X「X?與X3不相互獨(dú)立計(jì)算有^)=E(X1-X2)=0,e(y2)=e(x.-x1)=iCoviY^YJ=Cov(XY-X2,Xk-X2)=Cov(Xl9Xl)+Cov(X29X2)-2Cov(X^X2)=13Cov(Y^Y2)=Cov(Xx-X29X3-Xl)=Cov(XvX3)-Cov(XvXi)-Cov(X29X3)+Cov(XvXJ=0

Cov(Y2yY2)=Cov(X,-X^X5-Xi)=Cov(X^X5)+Cov(<Xl,Xl)-2Cov(X^Xl)=7于是y=（z，5）'?N（“,E）,其中“=（：,工=；3了。第五章大數(shù)定律及中心極限定理注意：這是第一稿（存在一些錯(cuò)誤）1、解（1）由于P{X>O}=1.且E（X）=36,利用馬爾科夫不等式，得Pg恥警=0.72（2）D（X）=22,E（X）=36,利用切比雪夫不等式，所求的概率為:922P{32<X<4O}=1-P(|X-36|>4)>1-—=-=0.752、解：&?3(500,0.1),P{—工|X廠P{—工|X廠10%|<5%憾1一500-;1500百0.052詈92.8%/?-1/?-1|=2,3,4…)3、解§服從參數(shù)為0.5的幾何分布，P@=〃）=（丄,2可求出Eg)=fhP@=n)=3,D@)=2n=2于是令字=陀),耳=￡,利用切比雪夫不等式，得有P(Qegvb)=l—P(#_E(g)X)11—^2=75%s從而可以求出g=2丁去ci=E(g)—$=3—2屁b=E(g)+g=3+2J亍4、解：耳何（x）=P（X（”）<x）=P（X]…,X”<x）=（F（x））=尹，xw（o,a）。則Px」x)="(尸(x))"Tp(x)=才,XW(O,d)。x?Ex同x?Ex同ann+1Cl”2何n2(〃+2)Cl”2何n2(〃+2)(〃+l)'°]川1111H由捫yrpg〒甘叫;,">x>0nal〃+l丿nci弘+2)("+l)?所以恐p{|x（”）-心*0。5、解服從人數(shù)定律。由題意得：儼）CP{Xj=k}=—二—,E（XJ=D（Xt）=r3根據(jù)馬爾科夫人數(shù)定律，可判斷該序列服從人數(shù)定律的。6、解：（1）/l（x）=x~,則/7（x）連續(xù)。E(|/?(Xj|)=EXj=b'+〃2vs,則Vw>0,有l(wèi)miPf=llmiPf=llimPn->X1什則詔（X廠”?<72，(/?T°o)o(3)Xi+X^+???+X〃卩丁時(shí)疋X】+X<+???+X〃

工X：工X：<=1/=!X】+X廠…+X”=戸^_^“,^xz2=(/7-1)52+/?X—^(/?-1)o-2+/7//2,故"1=1X|+x?+…+乙ix1=1—Jlim/|->X(J2+//2（4）原式依概率收斂，即lmi￡/?->x/+/+…+X”S（4）原式依概率收斂，即lmi￡/?->x/+/+…+X”S7解（1）由題意得：P{—工ng}=l—艸一工X：—d<*=1—1=0根據(jù)推論5.1.4,可求得a=E(X；)=[x2Ae~Xxdx=A(2)由題意得:E(X)斗D(XJ=*,TOC\o"1-5"\h\zAA"1loo21loo1loo|呀若XJ丁叫FJ=麗F(xJ二仍110091根據(jù)中心極限定理，可矢嗚若&沖匸藥）（3）E（X；）=d=W，Q（X；）=竽，利用中心極限定理,可知X"A1mo224

從而P{1100從而P{1100工X遼芻}=0.5i=l九X_50近似地P=P(X>60)=1—P(X560)=1—PX—5050<0.2=1—①(O?2P=P(X>60)=1—P(X560)=1—PX—5050<0.2=1—①(O?2)=7?9%9、解095-i05(1)由題意得：記〃=P{0?95VX<1?05}=1.1—引入隨機(jī)變量1,第/次試驗(yàn)中該事件發(fā)生0,第i次試驗(yàn)中該事件不發(fā)生'i二1,2,3…，且P(Yi=l)=p于是孑=工乙服從二項(xiàng)分布：p（y=k）==k）=（i_i=iz=i方法一：（Y的精確分布）>2）=1-P（Y=0）-P（r=l）=l-（l-p）100-100p（l-p）99=99.756%方法二（泊松分布）Y近似服從參數(shù)為100〃的泊松分布P(Y>2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-嚴(yán)s-100p嚴(yán)卩=99.66%方法三：(中心極限定理)Y近似服從W(100p,100p(l-〃))于是：P(r>2)=1-P(r<2)=1-①(2_100j=9955%J100pQ_p)(2)設(shè)至少需要n次觀察13]3記q=P<二=才，這時(shí)P(Yt=1)=<7于是丫=工X近似服從NQiq』qQ—q))i=i95%<P(Y>80)=P(.Y~n(1>.8°-/?6/.)=1-0(80-W)Jw(i-q)Jw(i-q)Jw(i-q)

經(jīng)查表有8°一"9765,從而求得n=117y]nq(l-q)1,0.3,10、解：X=<2,0.5,3,02E￥=lxO.3+2xO.5+OxO.2=1.3,DX=0.32x03+0.72x0.5+1.32x0.2=0.61,SOO1800近似地?N(0、l),則P工X/>1000=P<i=i)18001222-13SOO1800近似地?N(0、l),則P工X/>1000=P<i=i)18001222-1311、=0(1.81)=96.48%解(1)由題意得，引入隨機(jī)變量ri,第/名選手得o分“,一「i二1,2,3…,100,且P(XS=1)=0.30、第i名選手不得0分v1所求的概率為:(1001100而號(hào)X廠0.3035-0.3PyXfCSA/yr口=M「斗_2i^)=(D(°?巧_°?3)=86.21%I臺(tái))703*0.7/100703*0.7/100<03*0.7/100(2)用Xj表示第1名選手的得分，則P(Xi=o)=0.2