第二十二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷(小高組a卷)

第第頁（共16頁）第第13頁(共16頁)19x+17y=2017n由余數(shù)定理，要使x為正整數(shù)，2017-17y19必須能被19整除，即余數(shù)為0,而2017被9除余數(shù)為3,故17y被19除余數(shù)也為3,在所有被19除余數(shù)為3既小于2017又能被17整除的數(shù)只有：136,即17y=136ny=8,x=201YTTXE!=99,x+y=99+8=107;19459，即17y=459ny=27,x=^z^l=82,x+y=82+27=109;19782，即17y=782ny=46,x=^zZ?l=65,x+y=65+46=111;191105，即17y=1105ny=65,x=2Q17T105=48,x+y=48+65=113;191428，即17y=1428ny=84,x=20HT4開=31,x+y=31+84=115;191751，即17y=1751ny=103,x="lF-1花1=14,x+y=14+103=117.19綜上，兩種珠子的數(shù)量和即x+y所有可能的值是：107、109、111、113、115、117.故答案是：107、109、111、113、115、117.(10分)使不為最簡分?jǐn)?shù)的三位數(shù)n之和等于多少.5n+l【分析】不為最簡，表明(5n+1,3n+2)=af1,根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除原理5口+1有1fa|(5n+1)X3-(3n+2)X5即=1fa|7,則a只能等于7,我們可以用5n+1嘗試來鎖定答案，一次嘗試可知5n+1=1或6或11或16或21,因?yàn)?1=3X7,所以5n+1=21時(shí)7|5n+1成立，此時(shí)n為最小值，且為4,其它值即可順次找出，只需要將4遞加7即可，題中讓我們求的是符合條件的三位數(shù)，那么最小為102,最大為998,此后利用等差數(shù)列求和即可.【解答】解：不為最簡，表明(5n+1,3n+2)=af1,5n+l根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除原理有1fa|(5n+1)X3-(3n+2)X5即=1fa|7,則a只能等于7,一次嘗試可知5n+1=1或6或11或16或21，因?yàn)?1=3X7，所以5n+1=21時(shí)7|5n+1成立，此時(shí)n為最小值，且為4,將4遞加7即可，符合條件的三位數(shù)，那么最小為102，最大為998,102+109+116+…+998=（102+998）X129三2=70950答：使不為最簡分?jǐn)?shù)的三位數(shù)n之和等于70950.5n+l三、解答題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）（15分）班上共有60位同學(xué)，生日記為某月某號，問每個(gè)同學(xué)兩個(gè)同樣的問題：班上有幾個(gè)人與你生日的月份相同？班上有幾個(gè)人與你生日的號數(shù)相同（比如生日為1月12日與12月丨2日的號數(shù)相同的）.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整數(shù)，那么，該班至少有多少個(gè)同字生日相同？【分析】同月份和同號數(shù)的回答取遍0到14,即同月份和同號數(shù)的人數(shù)取遍1到15,進(jìn)而分析求解.【解答】解：回答中包含了由0到14的所有整數(shù)，也就是說每種回答包含的學(xué)生數(shù)量是1到15.由于1+2+3+…+15=120=2X60,因此不論是回答同月，還是回答同號，同月份和同號數(shù)的人數(shù)的數(shù)字不會重復(fù)（比如說，某一月份生日的人有3個(gè)，就不會出現(xiàn)生日號數(shù)為某一號的人數(shù)有3個(gè)），因此統(tǒng)計(jì)同月份或同號數(shù)的人數(shù)時(shí)，?15這15個(gè)數(shù)字每個(gè)數(shù)字都只出現(xiàn)一次.要使同月同日的人盡量少，則可以使月份情況或者號數(shù)情況盡量分散，例如可以將60拆分成：60=1+2+3+4+5+7+8+9+10+11這一種分散情況，不妨設(shè)這是同月份的人數(shù)，和另一種情況：60=6+12+13+14+15,這是同號數(shù)的人數(shù)，分析最大數(shù)字15,將15個(gè)同號數(shù)的人，分配到上面10個(gè)月份中，可知，同月同日最少會有兩人.所以：該班生日相同的人數(shù)至少有2人.（15分）將1至9填入圖的網(wǎng)格中.要求每個(gè)格子填一個(gè)整數(shù)，不同格子填的數(shù)字不同，且每個(gè)格子周圍的格子（即與該格子有公共邊的格子）所填數(shù)字之和是該格子中所填數(shù)字的整數(shù)倍.已知左右格子已經(jīng)填有數(shù)字4和5,問：標(biāo)有字母x的格子所填的數(shù)字最大是多少？【分析】按題意，1至9的數(shù)字中，填入4和5之外，只剩下7個(gè)數(shù)，可以先求出7個(gè)數(shù)的和，即為36，中間的x只可能是3,6,9,故一一檢驗(yàn)，即可得知x的值.【解答】解：根據(jù)分析，1+2+3+6+7+8+9=36，填入的x是其它五個(gè)數(shù)的因數(shù)，故x只能是3、6、9,若x=9,則，不能每個(gè)數(shù)的周圍的數(shù)字之和是該格子中所填數(shù)字的