高一數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性例題

高一數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性典型例題例1.(1)設(shè)函數(shù)f(x)=(2a-1)x+b是R上的減函數(shù)，則a的范圍為(D)1C.1C.a>--D.A.a?-提示：2a-1<0時(shí)該函數(shù)是R上的減函數(shù).⑵函數(shù)y二X2+bx+c(xg[0,))是單調(diào)函數(shù)的充要條件是(A)A.b>0B.b<0C.b>0D.b<0提示：考慮對(duì)稱軸和區(qū)間端點(diǎn)?結(jié)合二次函數(shù)圖象(3)已知f(x)在區(qū)間(―?+8)上是減函數(shù)，a,bgR且a+b<0，則表達(dá)正確的是(D)A.f(a)+f(b)<-［f(a)+f(b)］B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)C.f(a)+f(b)>-［f(a)+f(b)］D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)提示：a+b<0可轉(zhuǎn)化為a<-b和b<-a在利用函數(shù)單調(diào)性可得.'(4)如下圖是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)y=f(x)的圖象，該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為「—2,1]和「3,5]提示:根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?注意區(qū)間不能合并.⑸函數(shù)y=\；'x2+2x―3的單調(diào)減區(qū)間是(-8,-3]提示:結(jié)合二次函數(shù)的圖象，注意函數(shù)的定義域.例2.畫出下列函數(shù)圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)y=-x2+21xI+1(2)y—I—x2+2x+31-x2+2x+1(x>0)［一(x-1)2+2(x>0)-x2-2x+1(x<0)［-(x+1)2+2(x<0)如圖所示，單調(diào)增區(qū)間為(-8,-1］和［0,1］，單調(diào)減區(qū)間為［-1,0］和［1,+8)(2)當(dāng)一x2+2x+3>0,得一1<x<3，函數(shù)y—-x2+2x+3—-(x一1)2+4當(dāng)一x2+2x+3<0,1得x<—1或x>3，函數(shù)y—x2—2x—3—(x—1)2—4［-(x-1)2+4(-1<x<3)(x-1)2-4(x<-1或x>3)如圖所示，單調(diào)增區(qū)間為［-1,1和［3,+8如圖所示，單調(diào)增區(qū)間為［-1,1和［3,+8］，單調(diào)減區(qū)間為(-8,-1］和［1,3］-*(1)?〒義，證明函數(shù)/W=-^+i<x'■'2-x3—1例3.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定證明：設(shè)x1,x2GR且片貝yf(x)-f(x)—x3-x3—(x-x)(x2+xx+x2)1221212121

因?yàn)閤<x2所以x2—x>0，且在x］與x2中至少有一個(gè)不為0，x3不妨設(shè)x豐0，那么x2+xx+x2—(x+t)2+x2>0，所以f(x)>f(x)22121124212)上是減函數(shù).故f(x)在(-8,+8)上為減函數(shù)例4.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)m、neR恒有f(m+n)=f(m)-f(n),且當(dāng)x>0時(shí)，0<f(x)<1。(1)求證：f(0)=1；(2)證明：xeR時(shí)恒有f(x)>0；(3)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(4)若f(x)-f(2-x)>1，求x的范圍。解:(1)取m=0,n=￡則f(2+0)=f(|)-f(0)，因?yàn)閒(2)>0所以f(0)=1(2)設(shè)x<0則-x>0，由條件可知f(—x)>o又因?yàn)?=f(0)=f(x-x)=f(x)?f(-x)>0,所以f(x)>0xeR時(shí)，恒有f(x)>0(3)設(shè)x<x則12f(x)-f(x)=f(x)-f(x-x+x)=f(x)-f(x-x)f(x)1212111211=f(x)[1-f(x-x)]121因?yàn)閤<x所以x一x>0所以f(x—x)<1即1一f(x—x)>012212121又因?yàn)閒(x)>0，所以f(x)[1-f(x-x)]>01121所以f(x1)-f(x2)>0，即該函數(shù)在R上是減函數(shù).⑷因?yàn)閒(x)-f(2-x)>1，所以f(x)-f(2-x)=f(2x-x2)>f(0)所以2x一x2<0，所以x的范圍為x>2或x<0【課內(nèi)練習(xí)】1．下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是(D).3A.y=-3x+2b.y=c.y=x2-4x+5D.y=3x2+8x-10x提示：根據(jù)函數(shù)的圖象.2?函數(shù)y=J-x2-2x+3的增區(qū)間是(A).A.［-3,-1］B.［-1,1］C.(—0—3)D.［-1,+8)提示：注意函數(shù)的定義域.f(x)=x2+2(a-1)x+2在(-8,4］上是減函數(shù)，則a的取值范圍是(A).A.a<-3B.a>-3C.a<5D.a>3提示:考查二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和區(qū)間端點(diǎn).若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上具有單調(diào)性，且f(a)?f(b)<0,則方程f(x)=0在區(qū)間［a,b］上(D)A.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.必有唯一的實(shí)數(shù)根提示:借助熟悉的函數(shù)圖象可得.函數(shù)y=-x2-6x+10的單調(diào)增區(qū)間是(—?—3］，單調(diào)減區(qū)間［—3,+8)___。提示:畫出二次函數(shù)的圖象,考慮函數(shù)對(duì)稱軸.6.若f(x)=2x2-mx+3當(dāng)xe［一2,+8)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)xe(一8,-2］時(shí)是減函數(shù)，則f(1)=13提示：由題可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸是x=-2可求出m的值.7.已知f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，且f(x)>0,在定義域內(nèi)下列函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)為②③①y=①y=a+f(x)(為常數(shù))；②y=a一f(x)(a為常數(shù))；③1y=f(x)；?y=[f(x)]2-提示：借助復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.8.函數(shù)f(x)二ax+log(x+i)在［0,1］上的最大和最小值的和為a，則a=a提示：f(x)是［0,1］上的增函數(shù)或減函數(shù)，故f(0)+f(1)=a，可求得a=|9.設(shè)f(x)是定義在(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1求：(1)f(1)；(2)當(dāng)f(X)+f(x-8)<2時(shí)x的取值范圍.解:(1)令x=y=1可得f(1)=0⑵又2=1+1=f(3)+f(3)=f(9)由f(x)+f(x-8)<2,可得f［x(x-8)］<f(9)因?yàn)閒(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，所以有x>0且x—8>0且x(x-8)<9，解得：8<x<910.求證:函數(shù)f(x)=x+-(a>0)在(賦,+8)上是增函數(shù).x證明:設(shè)x>x>\：a貝y12aaaxx-af(x)一f(x)=(x+)—(x+)=(x—x)(1一)=(x—x)121x2x12xx12xx121212當(dāng)x>x>Ja時(shí)x—x>0,xx>0,xx>a，所以f(x)—f(x)>012'12121212所以函數(shù)f(x)=x+(a>0)在(*a,+8)上是增函數(shù).x課后作業(yè)-A組xx1?下列四個(gè)函數(shù)：①y=口;②y-x2+x；③y=—(x+1)2;④y=口+2，其中在(-8,0)上為減函數(shù)的是(A)。(A)①(B)④(C)①、④(D)①、②、④2?函數(shù)f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函數(shù)，若xe(a,b),xe(c,d)，且x<x那么(d)1212A.f(x)<f(x)B.f(x)>f(x)C.f(x)二f(x)D.無(wú)法確定121212圍為(B)A.m>03.已知函數(shù)f(x)是定義在(—2,2)上的減函數(shù)，若f(m-1)>f(2m-圍為(B)A.m>0TOC\o"1-5"\h\z313B.0<m<2°-1<m<3D.—2<m<2已知f(x)=(x—2)2,xe［—1,3］，函數(shù)f(x+1)的單調(diào)遞減區(qū)間為［-2,1］13函數(shù)y=x-—在［1，2］上的值域?yàn)椋?,彳］ax6?判斷函數(shù)f(x)=￡(a工o)ax6?判斷函數(shù)f(x)=￡(a工o)在區(qū)間(一1,1)上的單調(diào)性。x2—1解：設(shè)—1<x<x<1,則12axax1———2—=a(xx+1)(x—x)f(x)—f(x)=—-——=I2+12x2—1x2—1(x2—1)(x2—1)'1212(xx+1)(x—x)?/x2—1<0,x2—1<0,xx+1>0,x—x>0,...I21>0,121221(x2—1)(x2—1)12??.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)—f(x)>0,函數(shù)y=f(x)在(一1,1)上為減函數(shù)，12xx當(dāng)a<0時(shí)，f(x)—f(x)<0,函數(shù)y=f(x)在(一1,1)上為增函數(shù).127?作出函數(shù)f(x)=1x2—1I+x的圖象，并根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:當(dāng)x>1或x<一1時(shí)，y=x2+x—1=(x+2)2一4厶I當(dāng)—1<x<1時(shí)，y=—x2+x+1=—(x_2)2+4由函數(shù)圖象可以知道函數(shù)增區(qū)間為(—8,—1]，[2，1]函數(shù)減區(qū)間為[-i,|],[i,+^)&設(shè)f(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，f⑵=1，且f(xy)=f(x)+f(y)，求滿足不等式f(x)+f(x―3)<2的x的取值范圍.解：由題意可知：f(x)+f(x—3)二f(x2-3x)又2=2f⑵=f⑵+f⑵=f⑷，于是不等式f(x)+f(x一3)<2可化為f(x2—3x)<f⑷因?yàn)楹瘮?shù)在(°，+8)上為增函數(shù)，所以不等式可轉(zhuǎn)化為：7沁.，解得：3<x<4，所以x的取值范圍是(3,4].x-3>0?課后作業(yè)-B組1.函數(shù)y=一x2+1xI的單調(diào)遞減區(qū)間為(a)a.[-!。]和2,B.[-2,o]C.[-2，0]和￡1]D.i。]和吟切2?單調(diào)增函數(shù)f(x)對(duì)任意x,yeR,滿足f(x+y)=f(x)+f(y),若f(k-3x)+f(3x—9x—2)<0恒成立，則k的取值范圍是(B)A.(—222-1,2\運(yùn)+1)B.(—8,2/2-1)C.(0,2丁2-1]D.[2*2-1,+8)13?函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為(A)x2-2x—80A.(—8,—8)B.(—8,1)C.(1,+8)D.(—&+8)4?函數(shù)y=的遞減區(qū)間是(一X,—1)、(一1,+*);函數(shù)y=；_的遞TOC\o"1-5"\h\z1+x\1+x減區(qū)間是(一1,+1]兀25?已知函數(shù)f(x)在[0,n)上是遞減函數(shù)，那么下列三個(gè)數(shù)f(lgl00),f(-),f(-K)，兀2從大到小的順序是f()>f(IglOO)>f(-兀)23226.(1)證明：函數(shù)y二JX在［0,+8)上是增函數(shù),并判斷函數(shù)y二x+{X在［0,+8)上的單調(diào)性x-x求函數(shù)y=x+\:x在區(qū)間［1,4］x-x證明：(1)設(shè)0<xi<x2，則由已知y二芝X，有人―y2=Z]—JX2X-Xn因?yàn)?Jx>0x—x<0，所以午r<0，即y<y因?yàn)?Jx12jx+JX12一1V2所以函數(shù)y=rx在[0,+8)上是增函數(shù).(2)f(x)二x,g(x)=px在[0,+8)上都是增函數(shù),所以y=/(x)+g(x)，即y=x+\：x在[0,+8)上是增函數(shù).(3)由(2)可以知道該函數(shù)在區(qū)間［1,4］上為增函數(shù)則由函數(shù)單調(diào)性可以知道,該函數(shù)的值域?yàn)椋?,3］7?如果二次函數(shù)f(x)二x2-(a—1)x+5在區(qū)間(土，1)上是增函數(shù)，求f(2)的范圍。解：二次函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,1)上是增函數(shù)因?yàn)閳D象開(kāi)口向上，故其對(duì)稱軸x=乎與x=2重合或者位于x=2的左側(cè)所以有乎＜2，所以a＜2所以f⑵＞—2x2+11=7，即f⑵＞7&若f(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，且對(duì)于x>