高中數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題精制

高考數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題：已知函數(shù)f(x)=gx3+ax+b(a,beR)在x=2處取得的極小值是-扌.求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；⑵若xe［一4,3］時，有f(x)<m2+m+10恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.某造船公司年最高造船量是20艘.已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)R(x)=3700x+45x2-10x3(單位：萬元)，成本函數(shù)為C(x)=460x+5000(單位：萬元).又在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為：Mf(x)=f(x+1)-f(x).求：(提示：利潤二產(chǎn)值-成本)利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x);年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大?邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么？已知函數(shù)申(x)=5x2+5x+1(xeR),函數(shù)y=f(x)的圖象與申(x)的圖象關(guān)于點(0丄)中心對2稱。求函數(shù)y=f(x)的解析式；如果g(x)=f(x),g(x)=f［g(x)］(neN,n>2)，試求出使g(x)<0成1nn一12立的x取值范圍；是否存在區(qū)間E，使EcL|f(x)<o}=①對于區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)x，只要neN,且n>2時，都有g(shù)(x)<0恒成立？n4?已知函數(shù)：f(x)=丄上1■_a(aeR且x豐a)a-x證明：f(x)+2+f(2a—x)=0對定義域內(nèi)的所有x都成立.當f(x)的定義域為［a+1,a+1］時，求證：f(x)的值域為［一3，—2］；2設(shè)函數(shù)g(x)=x2+|(x—a)f(x)|,求g(x)的最小值.設(shè)f(x)是定義在［0,1］上的函數(shù)，若存在x*e(0,1)，使得f(x)在［0,x*］上單調(diào)遞增，在［x*,1］上單調(diào)遞減，則稱f(x)為［0,1］上的單峰函數(shù)，x*為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間.對任意的［0,1］上的單峰函數(shù)f(x)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法.證明：對任意的x,xe(0,1),x<x，若f(x)>f(x)，則(0,x)為含峰區(qū)間；若f(x)<f(x),121212212則(x,1)為含峰區(qū)間；對給定的r(0<r<0.5)，證明：存在x,xe(0,1)，滿足x-x>2r,使得由(1)所確定的1221含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r；設(shè)關(guān)于x的方程2x2-ax-2=0的兩根分別為a、p(a<P)，函數(shù)f(x)=_ax2+1證明f(x)在區(qū)間(a,卩)上是增函數(shù)；當a為何值時，f(x)在區(qū)間la，卩］上的最大值與最小值之差最小甲乙兩公司生產(chǎn)同一種新產(chǎn)品，經(jīng)測算，對于函數(shù)fG)=x+8，g(x)=你+12，及任意的x>0，當甲公司投入x萬元作宣傳時，乙公司投入的宣傳費若小于f(x)萬元，則乙公司有失敗的危險，否則無失敗的危險；當乙公司投入x萬元作宣傳時，甲公司投入的宣傳費若小于g6)萬元，則甲公司有失敗的危險，否則無失敗的危險.設(shè)甲公司投入宣傳費x萬元，乙公司投入宣傳費y萬元，建立如圖直角坐標系，試回答以下問題：請解釋f(0),g(0)；甲、乙兩公司在均無失敗危險的情況下盡可能少地投入宣傳費用，問此時各應(yīng)投入多少宣傳費？若甲、乙分別在上述策略下，為確保無失敗的危險，根據(jù)對方所投入的宣傳費，按最少投入費用原則，投入自己的宣傳費：若甲先投入a=12萬元，乙在上述策略下，投入最1少費用b；而甲根據(jù)乙的情況，調(diào)整宣傳費為a；同樣，乙再根據(jù)甲的情況，調(diào)整宣傳12費為b,A,如此得當甲調(diào)整宣傳費為a時，乙調(diào)整宣傳費為b;試問是否存在lima，limb2nnn*n的值，若存在寫出此極限值(不必證明)，若不存在，說明理由.設(shè)f(x)是定義域在［-1,1］上的奇函數(shù)，且其圖象上任意兩點連線的斜率均小于零.求證f(x)在［-1,1］上是減函數(shù)；如果f(x-c)，f(x-c2)的定義域的交集為空集，求實數(shù)c的取值范圍；(lll)證明若-1<c<2，則f(x-c)，f(x-c2)存在公共的定義域，并求這個公共的空義域.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,其中aUN*,bUN,cUZ。若b>2a，且f(sinx)(xUR)的最大值為2,最小值為一4,試求函數(shù)f(x)的最小值；若對任意實數(shù)x,不等式4xWf(x)W2(X2+I)恒成立，且存在x°,使得f(x°)<2(X2+I)成立，求c的值?！恪?已知函數(shù)f(x)=X4-4x3+ax2-1在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減；求a的值；求證：x=1是該函數(shù)的一條對稱軸；是否存在實數(shù)b,使函數(shù)g(x)二bx2-1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰好有兩個交點？若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由.定義在區(qū)間(0,s)上的函f(x)滿足：(1)f(x)不恒為零；(2)對任何實數(shù)x、q,都有f(xq)二qf(x).求證：方程f(x)=0有且只有一個實根；若a>b>c>1,且a、b、c成等差數(shù)列，求證:f(a)?f(c)兀f2(b);(本小題只理科做)若f(x)單調(diào)遞增，且m>n>0時，有|f(m)|二|f(n)|二2f(也),求證：3<m<2+邁已知三次函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在y軸上的截距是2,且在(-s,-1),(2,+s)上單調(diào)遞增，在(一1,2)上單調(diào)遞減.(I)求函數(shù)f(x)的解析式；若函數(shù)h(x)=-(m+1)ln(x+m)，求h(x)的單調(diào)區(qū)間.3(x-2)已知函數(shù)f(x)=邑+迢日(a豐0且a豐1)?ax試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；已知當x〉0時，函數(shù)在(0,詣)上單調(diào)遞減，在&6,+s)上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；⑶(理)記⑵中的函數(shù)的圖像為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出1的方程；若不存在，請說明理由.(文)記(2)中的函數(shù)的圖像為曲線C，試問曲線C是否為中心對稱圖形？若是，請求出對稱中心的坐標并加以證明；若不是，請說明理由.已知函數(shù)f(x)=logx和g(x)=2log(2x+1-2),(a>0,a豐1,tgR)的圖象在x二2處的切線aa互相平行.(I)求t的值；設(shè)F(x)=g(x)-f(x)，當xg[1,4]時，F(xiàn)(x)>2恒成立，求a的取值范圍.設(shè)函數(shù)f(x)定乂在R+上，對任意的m,ngR+，恒有f(m-n)=f(m)+f(n)，且當x>1時，f(x)<0。試解決以下問題：求f(1)的值，并判斷f(x)的單調(diào)性；設(shè)集合A={(x,y)If(x+y)+f(x一y)>o},B={(x,y)If(ax一y+2)=0,agr}，若AIB，求實數(shù)a的取值范圍；若0<a<b，滿足If(a)I=If(b)I=2If()I，求證：3<b<2+邁(理科)二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a、bgR)若方程f(x)=0無實數(shù)根，求證：b>0；若方程f(x)=0有兩實數(shù)根，且兩實根是相鄰的兩個整數(shù)，求證：f(-a)=l(a2-1)；4若方程f(x)=0有兩個非整數(shù)實根，且這兩實數(shù)根在相鄰兩整數(shù)之間，試證明存在整數(shù)k，使得|f(k)|<1.(文科)已知函數(shù)f(x)二ax2+bx+c，其中agN*,bgN,cg乙若b>2a，且f(sinx)(xUR)的最大值為2，最小值為一4，試求函數(shù)f(x)的最小值；若對任意實數(shù)X，不等式4x<f(x)<2(x2+1)恒成立，且存在x°使得f(x°)<2(x2o+1)成立，求c的值。+f(?=f(——-)定義在(-1，1)上的函數(shù)f(x)滿足：對任意X、yE(-1,1)都有求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；如果當MH?時，有f(x)>0,判斷f(x)在(-1,1)上的單調(diào)性，并加以證明；(Ill)設(shè)-l〈a〈l，解不等式：屮⑥已知二次函數(shù)f(x)二ax2+bx+1(a>0,bgR),設(shè)方程f(x)=x有兩個實數(shù)根x「x?.如果x<2<x<4，設(shè)函數(shù)f(x)的對稱軸為x=x，求證x>—1;1200如果0<x<2，且f(x)=x的兩實根相差為2,求實數(shù)b的取值范圍.1函數(shù)f(x)的定義域為R,并滿足以下條件：①對任意xgR，有f(x)>0;②對任意x、ygR，有f(xy)二［f(x)］y:③f(1)>1.貝U求f(0)的值；(4分)求證：f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)；(5分)若a>b>c>0,且b2=ac，求證:f(a)+f(c)>2f(b).(理)已知f(x)=In(1+x2)+ax(a<0)討論f(x)的單調(diào)性；證明:(1+丄)(1+丄)A(1+丄)<e(n€N*),n>2其中無理數(shù)e=2.71828A)?2434n4(文)設(shè)函數(shù)f(x)=1ax3+bx2+cx(a<b<c)，其圖象在點A(1,f⑴),B(m,f(m))處的切線的斜率分別為o,-a.求證：0<b<1；a若函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為［s,t］，求［s-1］的取值范圍.設(shè)函數(shù)f(x)=-*x3+2ax2-3a2x+b(0<a<1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；當xU［a+1,a+2］時，不等|f'(x)l<a，求a的取值范圍.已知函數(shù)f(x)=x+16_7x，函數(shù)g(x)=6lnx+m.x-1當x>1時，求函數(shù)f(x)的最小值；設(shè)函數(shù)h(x)=(1—x)f(x)+16，試根據(jù)m的取值分析函數(shù)h(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象交點的個數(shù).已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,直線l:y=-t2+8t(其中0<t<2.t為常數(shù))；/:x=2.若直12線l、l與函數(shù)f(x)的圖象以及l(fā),y軸與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如陰影121所示.

(I)求a、b、c的值;求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S(t)的解析式；若g(x)=6lnx+m,問是否存在實數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.已知f(x)=x(x-a)(x-b)，點A(s,f(s)),B(t,f(t))若a=b=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足：當丘冃時，有1f'(x)$2恒成立，求函數(shù)f(x)的解析表達式；若O〈a〈b,函數(shù)f(x)在x=s和x=t處取得極值，且a+b二2運，證明：OA與OB不可能垂直.已知函數(shù)f(x)=口2Gmer)x⑴設(shè)g(x)=f(x)+Inx，當m2-時,求g(x)在［丄,2］上的最大值;42(2)若y=log［8-f何在［1,+切上是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.3(本小題滿分12分)已知常數(shù)a>0,n為正整數(shù)，fn(x)=xn-(x+a)n(x>0)是關(guān)于x的函數(shù).判定函數(shù)fn(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論?對任意n>a，證明f'n+1(n+1)<(n+1)fn'(n)答案：1.解：(1)f(1.解：(1)f(x)=x2+a，由題意f(2)=4+a=084=f(2)=-+2a+b=--〔33a=-4b=4令fXx)二x2-4>0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-2)和(2,x).⑵f(x)=*x3-4x+4，當x變化時，廣(x)與f(x)的變化情況如下表：-4(-4，-2(-2,2(2,33-2)2))

單調(diào)單調(diào)調(diào)遞增遞減遞增I8?于是f(x)<1028m2+m單調(diào)單調(diào)調(diào)遞增遞減遞增I8?于是f(x)<1028m2+m+>，求得mg(s,-3]u[2,+x)?所以xg[-4,3]時，f(x)maxm2+m+10在3xG[-4,3]上恒成立等價于2.解：(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x5000(xgN且xg[1,20]);2分(xgN且xg[1,20]).4MP(x)=P(x+1)-P(xgN且xg[1,20]).4P'(x)=-30x2+90x+3240二-30(x+9)(x-12)(xgN且xg[1,20])7分當1<x<12時，P'(x)>0,P(x)單調(diào)遞增，當12<x<20時，P'(x)<0,P(x)單調(diào)遞減.TOC\o"1-5"\h\zx=12時，P(x)取最大值，10分即,年建造12艘船時,公司造船的年利潤最大.11分由MP(x)=-30(x-1)2+3305(xgN且xg[1,20]).???當1<x<20時，MP(x)單調(diào)遞減.12分MP(x)是減函數(shù)說明：隨著產(chǎn)量的增加，每艘利潤與前一臺比較，利潤在減少.13.解：(1)f(x)=5x一5x2(6分)由g(x)=5g(x)一5g2(x)<0解得g(x)<0或g(x)>121111即5x一5x2<0或5x一5x2>1解得x<0或x>1或害<x<寄12分)(1)(1)由{|f(x)<xx<0或x>1},又(—，土5)c1010當xe(晉，普)時’g2(x)<0，g3(x)=遲(x)一遲2(x)<°’?對于n=2,3時，E.（寄，害），命題成立。14分）以下用數(shù)學(xué)歸納法證明E匸（―5，土2）對neN，且n>2時，都有g(shù)（x）<0成立1010n假設(shè)n=k(k>2,keN)時命題成立，即g(x)<0,k那么g(x)=f[g(x)]=5g(x)-5g2(x)<0即n=k+1時，命題也成立。k+1kkk???存在滿足條件的區(qū)間E.（寄，害”4.解：(I)證明：f(x)+2+f(2a-x)=x+1一a+2+2a-x+1一aa-xa-2a+x???結(jié)論成立4分f(x)=-(a-x)+1=-1+丄a-xa-x+1時-a-1<-x<-a--1<a-x<-丄,-2<—-—<-122a-x-3<-1+^—<-2即f(x)值域為[-3,-2]9分a-x(III)解:g(x)=x2+|x+1一aI(x豐a)(II)證明:13當x>a-1且x豐a時,g(x)=x2+x+1-a=(x+)2+-a24如果a-1>-—即a>—時，則函數(shù)在[a-1,。)和(a,+s)上單調(diào)遞增22如果a-1<-—即當a<—且a豐一—時,g(x).=g(-1)=—-a222min24當a=-1時，g(x)最小值不存在2當x<a-1時g(x)=x2-x-1+a=(x一丄)2+a-—24女口果a-1>丄即a>—時g(x)=g(丄)=a-—22min24女口果a-1<—即a<—時g(x)在(-g,a-1)上為減函數(shù)g(x)=g(a-1)=(a-1)2…13分22min11分55353353131當a>—時(a—1)2—(a——)=(a——)2>0當a<—時(a—1)2—(a)=(a——)2>0242242綜合得：當a<1且a豐1時g(x)最小值是3—a一一4當a>3時g(x)最小值為a—524411含峰區(qū)間的長度為l=x；12含峰區(qū)間的長度為/二1-x；21由題意得$2-0.5+r11—x—0.5+r122當1-a-3時g(x)最小值是(a—1)22當a=—1時g(x)最小值不存在25.解：(1)證明：設(shè)x*為f(x)的峰點，則由單峰函數(shù)定義可知，f(x)在［0,x*］上單調(diào)遞增，在［x*,1］上單調(diào)遞減,當f(x)>f(x)時，假設(shè)x*纟(0,x)，則x<x<x*,從而f(x*)>f(x)>f(x),這與f(x)>f(x)矛盾，所以x*e(0,x)，即(0,x)為含峰區(qū)間.f(xi)-f(x2)矛盾,當f(x)-f(x)時，假設(shè)x*纟(x,1)，則x*-xf(xi)-f(x2)矛盾,1211212所以x*e(x,1)，即(x,1)為含峰區(qū)間.(7分)證明1：由(11)的結(jié)論可知：當f(x)>f(x)時，12當f(x)-f(x)時，12對于上述兩種情況由①得1+x—x—1+2r,即x—x—2r，2121又因為x—x>2r，所以x—x=2r2121將②代入①得x—0.5—r，x>0.5+r，12由①和③解得x=0.5—r，x=0.5+r，所以這時含峰區(qū)間的長度l=l=0.5+r，12即存在x,x使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r12(X2+1)26.解：(1)證明：f'(x)二—2(2x2—(X2+1)2由方程2x2-ax-2=0的兩根分別為a、0(a<0)知xe(a,0)時，2x2-ax一2<0，所以此時f'(x)>0,所以f(x)在區(qū)間(a,卩)上是增函數(shù)最大值為f(0)，⑵解：由(1)知在(a,卩)上，f(x)最大值為f(0)，0a+p=2，郵，可求得存+4‘4/za24+4-(可+4+4)/.f(0)—f(a)=*—=ya2+16，-a2宀-++2+14所以當a二0時，f(x)在區(qū)間la，卩］上的最大值與最小值之差最小，最小值為47.解：(1)f(0)表示當甲公司不投入宣傳費時,乙公司要回避失敗風險,至少要投入f(0)=8萬元;……(2分)g(0)表示當乙公司不投入宣傳費時,甲公司要回避失敗風險,至少要投入g(0)=12萬元.……………(4分)顯見lima=17,limb=25.nnnsns故點M(17,25)是雙方在宣傳投入上保證自己不失敗的一個平衡點.(16分)8.解：(1)???奇函數(shù)f(x)的圖像上任意兩點連線的斜率均為負???對于任意x、xe證自己不失敗的一個平衡點.(16分)8.解：(1)???奇函數(shù)f(x)的圖像上任意兩點連線的斜率均為負???對于任意x、xe[-1,1]且x豐x有1212f(x)-f(x)“+2<0x-x123分從而x-x與f(x)-f(x)異號

1212f(x)在［-1,1］上是減函數(shù)5分(2)f(X-c)的定乂域為[c-1,C+1]f(X-c2)的定乂域為[c2-1,c2+1]7分?上述兩個定乂域的交集為空集則有：c2一1>c+1或c2+1<c一19分解得：c>2或c<-1故c的取值范圍為c>2或c<-110分Tc2+1>c-1恒成立由(2)知：當-1<c<2時當1<c<2或-1<c<0時c2+1>c+1且c2-1>c-1此時的交集為［(C2-1,c+1］12分當0<c<1c2+1<c+1且c2-1<c-1此時的交集為［c-1,c2+1］故-1<c<2時，存在公共定義域，且當-1<c<0或1<c<2時，公共定義域為［(c2-1,c+1］；當0<c<1時，公共定義域為［c-1,c2+1］.解：(1)由函數(shù)f(x)的圖像開口向上，對稱軸x=—b/2a〈一1知，f(x)在［—1,1］上為增函數(shù)，故f(l)=a+b+c=2，f(—l)=a—b+c=—4，?°?b=3，a+c=—1。又b>2a，故a=l，c=—2oAf(x)=x2+3x—2，最小值為一17/4。(2)令x=1，代入不等式4xWf(x)W2(X2+I)得f(1)=4，即a+b+c=4，從而b=4—a—co又4xWf(x)恒成立，得ax2+(b—4)x+c#0恒成立，故△=(b—4)2—4acW0，?°?a=c。又b$0，a+cW4，?°?c=1或c=2。當c=2時，f(x)=2x2+2，此時不存在滿足題意的x。當c=1時滿足條件，故c=1。0解：(1)???f(x)在b,1］上單調(diào)遞增，在11，］上單調(diào)遞減,.??當x=1時，f(x)取得極大值，???f/(x)=0,即(4x3-12x2+2ax)I=0，?:a二4，x=1(2)設(shè)點A(x,f(x))是f(x)上的任一點，它關(guān)于x=1的對稱點的坐標為B(2-x,f(x)),0000

*?*f(2-x)二f(x)x二1是y二f(x)的圖象的一條對稱軸。00由g(x)=bx2-1與f(x)=x4-4x3+4x2-1的圖象恰有2個不同的父點對應(yīng)于方程bx2-1=x4-4x3+4x2-1恰有2個不同的實根，即x4-4x3+4x2-bx2=0???x=0是一個根，當x=0時b=4,當x豐0時方程有等根得b=0?°?b=4或b=0為所求.解：⑴取x=l,q=2,有f(12)二f(2)即f(1)二0/.1是f(x)二0的一個根，若存在另一個實根x豐1,使得0f(x)豐0對任意的x(xe(0,+8)成立，且％=xq(q豐0),有f(x)=qf(x)=0,11110100f(x)=0恒成立,?f(x)三0,與條件矛盾，/.f(x)=0有且只有一個實根x=101(2)0a>b>c>1,不妨設(shè)a=b%,c=bq2，，則q>0，q>0?f(a)?f(c)=f(bqj?f(bq2)=qq?f2(b)，又a+c=2b,21212?ac-b(a-c)24即ac<b2.bqj+q2<?ac-b(a-c)24即ac<b2.bqj+q2<b2,?.0<q+q<2,?.qq<121221<1?f(a)f(c)<f2(b)(3)0f(1)=0,f(x)在(0,+s)單調(diào)遞增，當xe(0,1)時/(x)<0;當xe(1,+s)時，f(x)>0.又If(m)|=If(n)|,?f(m)=f(n),f(m)=-f(n),0m>n>0,?f(m)=-f(n).令m=bq],n=bq2,b豐1,且qq豐012則f(m)+f(n)=(q+q)f(b)二f(mn)=0mn=1.0<n<1<m,0|f(m)|=2/m+n、2J12J,且艮卩4m=m2+2mn+n2,.4m-m2-2=n2,由0<n<1得0<4m一m2一2<1,0m>1，12.解：(I)Tf(x)=x3+ax2+bx+c在y軸上的截距是2，Af(0)=2,Ac=2.又0f(x)在(-g,-1),(2,+s)上單調(diào)遞增，(一1，2)上單調(diào)遞減，?廣(x)=3x2+2ax+b=0有兩個根為一1，2，1分2a-1+2=-——3

.s-1x2=b3a=--32?f(x)=x3-x2-6x+2，b=-625分(II)Qf'(x)=3x2-3x-6=3(x+1)(x-2),h(x)=x+1-(m+1)ln(x+m)(x>-m且x豐2),m+1x-1h(x)=1-=,x+mx+m當mW—2時，一m#2，定義域：(-m,+x),hf(x)>0恒成立，h(x)在(-m,+s)上單增;6分……7分8分當—2<m<-1時，2>-m>1，定乂域：(一6分……7分8分h'(x)>0恒成立，h(x)在(-m,2),(2,+s)上單增9分當m>—1時，一m<1，定義域：(-m,2)Y(2,+s)由h'(x)>0得x>1，由h'(x)<0得x<1.故在(1,2)，(2，+8)上單增；在(-m,1)上單減.綜上所述，當mW—2時，h(x)在(一m,+x)上單增；當—2<m<-1時，h(x)在(一m,2),(2,+s)上單增；當m>—1時，在(1，2)，(2，+8)上單增；在(一m,11分1)單減.?T2分13?解：(1)①當a<0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-J五刁11分1)單減.?T2分②當0<a<1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-?0)及(0,+Q，③當a>1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(s,-Ja(a-1))^及(Ja(a-1),+8)?6分)(2)由題設(shè)及(1)中③知=、沅且a>1，解得a=3，(9分)因此函數(shù)解析式為f(x)=^+疸(x豐0)?(10分)3x(理)假設(shè)存在經(jīng)過原點的直線l為曲線C的對稱軸，顯然x、y軸不是曲線C的對稱軸，故可設(shè)l:y=kx(k豐0)，設(shè)P(p,q)為曲線C上的任意一點，P‘(p；q。與P(p,q)關(guān)于直線l對稱，且p豐p，q豐q，則P也在曲線C上，由此得旦=kp+p2且q亠+痘，q'=旦+痘,運p屈p'q-q'

p―p'14分)整理得q-q'

p―p'14分)16分)所以存在直線y仏及y仝x為曲線C的對稱軸?16分)因為對任意xeD，f(-x)=-互+沁已-x(文)該函數(shù)的定義域因為對任意xeD，f(-x)=-互+沁已-x所以該函數(shù)為奇函數(shù)，曲線C為中心對稱圖形.TOC\o"1-5"\h\z解：([)Qf(x)=1loge,g'(x)=4loge3分xa2x+1-2a???函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x二2處的切線互相平行???廣⑵=g'⑵5分t二66分Qt二67分=log(2x+4)2,x小47分ax令h(x令h(x)=(2x+4)2x=4x+16+16,xex[1,4]?:當1<x<2時，h'(x)<0，當2<x<4時，h'(x)>0..h(x)二h(2)二32，.h(x)二h(1)二h(4)二36minmax.h(x)二h(2)二32，.h(x)二h(1)二h(4)二36minmax?:當0<a<1時，有F(x)=log36，當a>1時，有F(x)=log32.minamina???當xel1,4］時，F(xiàn)(x)>2恒成立，???F(x)>211分min???滿足條件的a的值滿足下列不等式組0<0<a<1,log36>2;a或陽2>2.②a不等式組①的解集為空集，解不等式組②得1<a<4^/2綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是：1<a<4違.解：(1)在f(m-n)=f(m)+f(n)中令m=n二1，得f(1)=0;2分TOC\o"1-5"\h\z設(shè)x>x>0，則住>1，從而有f<012xx22所以，f(x)=f(x-住)=f(x)+f(斗)<f(x)12x2x2所以，f(x)在R+上單調(diào)遞減25分(2)Qf(x+y)+f(x一y)=f(x2-y2)>0=f⑴，由(1)知，f(x)在R+上單調(diào)遞減,JI

JIx+y>0TOC\o"1-5"\h\z.?.<x-y>0，7分x2-y2<1故集合A中的點所表示的區(qū)域為如圖所示的陰影部分;而f(ax-y+2)=0=f(1”所以，ax-y+1=0,8分故集合B中的點所表示的區(qū)域為一直線，如圖所示，由圖可知，要AIB，只要a<1,???實數(shù)a的取值范圍是(-?1)10分(3)由(1)知f(x)在R+上單調(diào)遞減，.??當0<x<1時，f(x)>0，當x>1時，f(x)<0,Q0<a<b，而If(a)1=1f(b)I，/.a<1,b>1，故f(a)>0,f(b)<0，12由丨f(a)I=If(b)I得，f(a)+f(b)=0，所以，ab=1，12分又>4ab=1，所以f()<f(1)=0，又Qf(b)=2f(弓)=f字fU2丿丿由If(b)I=2If(^^)1得,4b=(a+b)2=a2+b2+2，.4b-b2=a2+2，2又0<a<1，所以2<a2+2<3，由2<4b-b2<3及b>1解得，3<b<2+邁解：(理)(I)A=a2-4b,若b<0,則A'0,方程有實根與題設(shè)矛盾..b>0.(3分)設(shè)兩整根為x,x，x>x1212.f(-a)=b=：(a2—1)(5分)設(shè)m<x<x<m+l,m為整數(shù)。121°.-ae(m,m+丄］即一1<a+2m<022TOC\o"1-5"\h\za2a1f(m)=m2+am+b<m2+am+=(m+—)2<424f(m+1)=(m+1)2+a(m+1)+b<(m+2)2+a(m+1)+—=(m+1+a)2<—(6分)42(6分).存在.(文)f(sinx)二asin2x+bsinx+c.f(sinx)=f(-1)=-4,f(sinx)=f(1)=2,minmax又b>2a>0,a=1,c=-2./.f(x)=x2+3x一2.1717而而a+c>2嬴=2b2=2B2<[f(1)]a+c>2代f(1)]2B=2f(B)f(x)(7分)min(2)04x<f(x)(7分)min(2)04x<f(x)<2(x2+1),4<f(1)<2(1+1)二4,f(1)二4.(1分)不存在x使f(x)<2x2+2.000當a=1時,c=l,.：b=2,:f(x)=x2+2x+1.此時存在x.使f(x)<2(x2+1).故c二1.(2分)000解：(I)證：令x=y=0,則f(O)+f(O)=f(O),f(二=f(p)=□故f(0)=0令y二_x,則f(x)+f(-x)=1f(-x)=-f(x)???函數(shù)f(x)的奇函數(shù)4'(II)設(shè)T〈x1〈x2〈1，則???函數(shù)f(x)在(-1,1)上是減函數(shù)8'(III)是(T,1)上的減函數(shù)，.'.-1<a<—<1X-1-1<[<1TOC\o"1-5"\h\z由得x<0或x>29'當a=0時，,原不等式的解集為{x|x>2}10,當-1〈a〈0時。x>2中原不等式的解；若x<0,則a(xT)>1,x<1+也故原不等式的解集為12,當0〈a〈1時，x<0不是原不等式的解；…-2<x<1+丄右x>2，則a(xT)<1,x<1+

故原不等式的解集為｛x|解：(I)設(shè)g(x)=f(x)-x=ax2+(B一1)x+1,且a>0,??由條件x<??由條件x<2<x<4,得g⑵<0且g⑷>0122分)即4a+2b-1<031(4分)n一一4a<b<一一2a.16a+4b-3>042(5分)對3-4a<b<丄-2a可得428分)(5分)對3-4a<b<丄-2a可得428分)1-4a<-2A<2-8A-?%=-士>】七>】-立=-】8TT)由ig(x)=ax2+(b-1)x+1=0可知xx=—>0即x與x同號.12a1200<x<2,x<2<x<4,.?.x一x=2,1122111分)由g⑵<0即4a+2B-1<0代入有2J(B-1)2+1<3-2BnB<丄419.解：解法一：(1)令x=0,y=2，得：/(0)二[/(0)]21分4分2)任取x、xG(—8,+8),且X<X.1212設(shè)x=1p,x=*p,則p1<p213123212f(x)-f(x)=f(打)-f(打)=[f(j)]P1-[f(￡)]P212313233>1,p<p?f(X)<f(X)?f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)12128分9分(3)由(1)(2)知(B)>f(0)=10/(B)>1ca?f(a)=f(B-c)=[f(B)]Bf(c)=f(Bf(c)=f(B-C)=[f(B)]B11分aCla+c?f(a)+f(c)=[f(b)]b+[f(b)]b>2；[f(b)]b而a而a+c>2-ac=Xb2=2b?2訂f(b)]>2訂f(b)]7=2f(B)?f(a)+f(c)>2f(B)……15分解法二：(1)?對任意x、yUR，有f(xy)=[f(x)]y?/(x)二/(x-1)二[/(1)]?/(x)二/(x-1)二[/(1)]x1分???當x=0時f(0)=[f(1)]02分2)???任意xUR,f(x)>03分?/(0)=14分6分?/(x)二[f(1)]x是R上單調(diào)增函數(shù)即f(x)是R上單調(diào)增函數(shù);9分(3)f(a)+f(c)=[f(1)]a+[f(1)]c>f(1)]a+c11分3320.解:(理)(1)f'(x)=2x1+X2ax2+2x+a1+X220.解:(理)(1)f'(x)=2x1+X2ax2+2x+a1+X2①若a=0時，f'(x)=—>0nx>0,f'(x)<0nx<0,1+x2???f(x)在0,+s單調(diào)遞增，在-?o單調(diào)遞減，r②若<；；°)na<-1時，廣(x)<0對xeR恒成立.???f(x)在R上單調(diào)遞減.③若—1<a<0，由f'(x)>0nax2+2x+a>0n<x<—11—a2<x<—U—,aa由f'(x)>0可得x>——1—a2或—1+'-a2,aa???f(x)在［―1—a2,―1+d］單調(diào)遞減，在—,-―、1—a2］,:—屮1—a2aaaag］上單調(diào)遞減，綜上所述：若a<—1時，f(x)在(-a,+8)上單調(diào)遞減.當-1<a<0時，f(x)在［―T—a2,‘f1―a2］單調(diào)遞減,aa在(—g,―—a2和—1+“1-a2,+g)單調(diào)遞減,aa當a=0時，f(x)在0,+8單調(diào)遞增，在-g,0單調(diào)遞減.21.解：(1)Vfz(x)二—X2+4ax—3a2=—(x—3a)(x—a),由f(x)>0得：a<x<3a由f(x)<0得，x<a或x>3a，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,3a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(一a,a)和(3a,+-)列表如下：x(—a,a)af'(x)—0f(x)一4a3+b3(a,3a)3a(3a,+°°)+0—b??函數(shù)f(x)的極大值為b，極小值為一4as+b7分(2)0廣(x)=—x2+4ax—3a2=—(x—2a)2+a2,afr(兀)在［a+1,a+2］上單調(diào)遞maxmin???不等式|f'(x)|Wa恒成立,減，因此f，(x)=f，(a+1)=2a—l,f，(x)=f，(a+2)maxmin???不等式|f'(x)|Wa恒成立,2a一1-a,解得：4<a<1即a的取值范圍是4<a<14a-4n-a5522.解：(1)方法一：x2-8x+16(x-4)2=n0,當且僅當x=4時,?.?x>1,f(x)=X-1X-1取等號，故函數(shù)f(x)的最小值為0；9/|9f(x)=x-1+-6>2'(x-1)--6=0X—1\x—1-即x=4時，取等號，故函數(shù)f(x)的最小值為0.x-1方法三：求導(dǎo)(略)…(2)由于h(x)=(1—x)f(x)+16二8x-X2設(shè)F(x)=g(x)一h(x)=6lnx+X2-8x+m(x>0且x主1)，貝UF'(x)=-+2x-8=2(x―1)(x―3)，6分xx令F'(x)=0得x=3或x=1(舍)又?limF(x)=—g，limF(x)=+g，limF(x)=m-7，F(xiàn)xt0(3)=6ln3—15+m根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號及函數(shù)的單調(diào)情況、取極值的情況作出的草圖如下：……由此可得當m<7或m>15-6ln3時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有1個交點；當m=15-6ln3時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有2個交點;當7<m<15-6ln3時，h(x)的圖象與g(x(的圖象恰有3個交點.方法二：???x>l.當且僅當x-1=上11分23.解：(I)由圖形知：Jc=0a-82+b-8+c4ac-b2=16,4a?I函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=-x2+8x(II)由f=-t2+8tIy=一x2+8x^得x2—8x—t(t—8)=0,x=t,x=8—t,12??gtW24分a=-1=0解之得:<b=8,c=0直線l］與f(x)的圖象的交點坐標為(t，-12+8t)由定積分的幾何意義知：=-413+10t2-16t+40339分XT+84分6分(Ill)令申(x)=g(x)一f(x)=x2一8x+6Inx+m.因為x〉0,要使函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)有且僅有2個不同的交點，則函數(shù)申(x)=x2-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點當xU(O,1)時，卩(x)>0,甲(x)是增函數(shù)；當xU(1,3)時，卩(x)<0,甲(x)是減函數(shù)當xU(3,+?)時，卩(x)>0,甲(x)是增函數(shù)當x=1或x=3時，申'(x)二0???申(x)極大值為申⑴=m-7;申(x)極小值為申(3)=m+6ln3—1512分又因