全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案(2020年整理)x課件

學(xué)海無

涯中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題（共

5

小題，每小題

6

分，共

30

分.）1（甲）．如果實(shí)數(shù)

a，b，c

在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式

a2

|

a

b

|

(c

a)2

|

b

c

|

可以化簡為（ ）．（B）

2a

2b（C）

a（D）a（A）

2c

a1（乙）．如果a

2

12

，那么12

13

a的值為（）．（A）

2 （B）

2（C）2（D）2

2b2（甲）．如果正比例函數(shù)

y

=

ax（a

≠

0）與反比例函數(shù)

y

=

x

（b

≠0

）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一）．個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，－2），那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）．（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3）

（D）（3，2）2（乙）．

在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，滿足不等式

x2＋y2≤2x＋2y

的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）的個(gè)數(shù)為（（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果

a，b

為給定的實(shí)數(shù)，且1

a

b

，那么1，a

1，

2a

b，a

b

1

這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值是（ ）．（A）1 （B）42a

1（C）12（D）143（乙）．如圖，四邊形

ABCD

中，AC，BD

是對(duì)角線，△ABC

是等邊三角形．

ADC

30

，AD

=3，BD

=5，則

CD的長為（ ）．（A）32（B）4（C）2

5（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣．小倩對(duì)小玲說：“你若給我

2

元，我的錢數(shù)將是你的

n

倍”；小玲對(duì)小倩說：“你若給我

n

元，我的錢數(shù)將是你的

2

倍”，其中

n

為正整數(shù)，則

n

的可能值的個(gè)數(shù)是（ ）．學(xué)海無涯（B）2a2b（C）a（D）1OABCE學(xué)海無

涯（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果關(guān)于

x

的方程

x2

px

q

0（p，q

是正整數(shù)）的正根小于

3，那么這樣的方程的個(gè)數(shù)是（ ）．（A）5 （B）

6 （C）

7 （D）85（甲）．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是

1，2，3，4，5，6．?dāng)S兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以

4

的余數(shù)分別是

0，1，2，3

的概率為

p0，p1，p2，p3

，則p0，p1，p2，p3

中最大的是（ ）．（A）

p0 （B）

p1（C）

p2 （D）

p31 12 311005（乙）．黑板上寫有1，

， ，

，共

100

個(gè)數(shù)字．每次操作先從黑板上的數(shù)中選取

2

個(gè)數(shù)a，b

，然后刪去a，b

，并在黑板上寫上數(shù)a

b

ab

，則經(jīng)過

99

次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（ ）．（D）99（A）XXXX （B）101 （C）100二、填空題（共

5

小題，每小題

6

分，共

30

分）6（甲）．按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值

x”到“結(jié)果是否>487？”為一次操作.

如果操作進(jìn)行四次才停止，那么

x

的取值范圍是

.6

（

乙）

.

如果

a

，

b

，

c

是正數(shù)，

且滿足

a

b

c

9

，1 1

，

那么1 10

ab c

b

c c

a a

b的值a

b

b

c

c

a

9為

．對(duì)角線則線D7（甲）．如圖，正方形

ABCD

的邊長為

2

15

，E，F(xiàn)

分別是

AB，BC

的中點(diǎn)，AF

與

DE，DB分別交于點(diǎn)

M，N，則△DMN

的面積是

.7（乙）.如圖所示，點(diǎn)A

在半徑為

20

的圓

O

上，以

OA

為一條作矩形OBAC，設(shè)直線BC

交圓O

于D、E

兩點(diǎn)，若OC

12

，段

CE、BD

的長度差是

。8（甲）.

如果關(guān)于

x

的方程

x2+kx+

3

k2－3k+

9

=0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)4 2根分別OABCE學(xué)海無涯p0，p1，p2，p3中最大2學(xué)海無

涯xyOECABD1 22x

2012x

2011為

x

，

x

，那么

1 的值為

．8（乙）．設(shè)

n

為整數(shù)，且

1≤n≤XXXX.

若(n2

n

3)(n2

n

3)

能被

5

整除，則所有

n

的個(gè)數(shù)為

.9（甲）.

2

位八年級(jí)同學(xué)和

m

位九年級(jí)同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場(chǎng)．記分規(guī)則是：每場(chǎng)比賽勝者得

3

分，負(fù)者得

0

分；平局各得

1

分.

比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為

130

分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則

m的值為

.9（乙）．如果正數(shù)

x，y，z

可以是一個(gè)三角形的三邊長，那么稱（x，y，z）是三角形數(shù)．若（a，b，c）1

1

1

ac和（

，，）均為三角形數(shù)，且

a≤b≤c，則

的取值范圍是

.ab

c10（甲）如圖，四邊形

ABCD

內(nèi)接于⊙O，AB

是直徑，AD

=

DC.分別延長

BA，CD，交點(diǎn)為

E.

作

BF⊥EC，并與

EC

的延長線交于點(diǎn)

F.

若

AE

=

AO，BC

=

6，則

CF

的長為

.10（乙）．已知n

是偶數(shù)，且

1≤

n

≤100．若有唯一的正整數(shù)對(duì)（a，b）使得a2

b2

n

成立，則這樣的

n

的個(gè)數(shù)為．三、解答題（共

4

題，每題

15

分，共

60分）11（甲）．已知二次函數(shù)

y

x2

（m

3）x

m

2

，當(dāng)1

x

3時(shí)，恒有

y

0

；關(guān)于

x

的方程10x2

（m

3）x

m

2

0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于

9

．求m

的取值范圍．11（乙）.

如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy

中，點(diǎn)

A

在y

軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B、C

分別在

x

軸正、負(fù)半軸上，AO

8,

AB

AC,sin

C

45。點(diǎn)

D

在線段AB

上，連結(jié)

CD

交y

軸于點(diǎn)

E，且

SCOE

SADE

。試求圖像經(jīng)過

B、C、E

三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式。12（甲）.

如圖，⊙O

的直徑為

AB

，學(xué)海無涯xyOECABD1 22x2012x203學(xué)海無

涯O1

過點(diǎn)O

，且與⊙O

內(nèi)切于點(diǎn)

B

．C

為⊙O

上的點(diǎn)，OC與 O1

交于點(diǎn)

D

，且OD

CD

．點(diǎn)E

在OD

上，且

DC

DE

，BE的延長線與 O1

交于點(diǎn)

F

，求證：△BOC∽△

DO1F

．12（乙）．如圖，⊙O

的內(nèi)接四邊形

ABCD

中，AC，BD

是它的對(duì)角線，AC

的中點(diǎn)

I

是△ABD

的內(nèi)心.

求證：（1）OI

是△IBD

的外接圓的切線；（2）AB+AD=2BD.13（甲）.

已知整數(shù)

a，b

滿足：a－b

是素?cái)?shù)，且

ab

是完全平方數(shù).

當(dāng)a

XXXX

時(shí)，求

a

的最小值.學(xué)海無涯12（乙）．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形A4學(xué)海無

涯13（乙）．給定一個(gè)正整數(shù)

n

，凸n

邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于150

？并說明理由．14（甲）.

求所有正整數(shù)

n，使得存在正整數(shù)

x1，x2， ，x2012

，滿足

x1

x2

x2012

，且1

2

2012

n

.x1 x2 x201214（乙）．將2

，

3

，…，

n

（n≥2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)a，b，c

（可以相同），使得ab

c

，求n

的最小值．參考解答學(xué)海無涯14（甲）.求所有正整數(shù)n，使得存在正整5學(xué)海無

涯一、選擇題1(甲)

.C解：由實(shí)數(shù)

a，b，c

在數(shù)軸上的位置可知b

a

0

c

，且

b

c

，所以 a2

|

a

b

|

(c

a)2

|

b

c

|

a

(a

b)

(c

a)

(b

c)

a

．1（乙）．B1111解：1

1

12

2

13

a

1

21

12

2

1 2

1

1

2

1

2

．(y1)

0 (y1)

1；

(y1)2 2 2 2

0 (y1)

1.2（甲）．D解：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對(duì)稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.2（乙）．B解：由題設(shè)

x2＋y2≤2x＋2y，

得

0≤

(x

1)2

(

y

1)2

≤2.因?yàn)?/p>

x，y

均為整數(shù)，所以有(x

1)2

0，

(x

1)2

0，

(x

1)2

1，

(x

1)2

1，解得x

1，

x

1，

x

1，

x

0 x

0 x

0，

x

2 x

2 x

2

y2.

y

1；

y

2；

y

0

y

1；

y

0

y

2；

y

1；

y

0

以上共計(jì)

9

對(duì)（x，y）.3（甲）．D解：由題設(shè)知，1

a

1

a

b

1

2a

b

，所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1

(a

1)

(a

b

1)

(2a

b)

3

4a

2b

，4 4中位數(shù)為于是(a

1)

(a

b

1)

4

4a

2b

，2 44

4a

2b

3

4a

2b

1

.4 4 43（乙）．B解：如圖，以

CD

為邊作等邊△CDE，連接

AE.由于

AC

=

BC，CD

=

CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD

=∠ACE，學(xué)海無涯1111解：111226學(xué)海無

涯所以△BCD≌△ACE，

BD=

AE.又因?yàn)锳DC

30

，所以ADE

90

.在

Rt△

ADE

中，

AE

5，AD

3于是

DE= AE

2

AD2

4

，所以

CD=

DE

=

4.4（甲）．D解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為

x

元、小玲所有的錢數(shù)為

y

元，

x，y

均為非負(fù)整數(shù).

由題設(shè)可得x

2

n(

y

2)，

y

n

2(x

n)，消去

x

得(2y－7)n=

y+4，152

y

72

y

7(2

y

7)

152n

=

1

.因?yàn)?52

y

7為正整數(shù)，所以

2y－7的值分別為

1，3，5，15，所以

y

的值只能為

4，5，6，11．從而

n的值分別為

8，3，2，1；x

的值分別為

14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為q

0

，故方程的根為一正一負(fù)．由二次函數(shù)

y

x2

px

q

的圖象知，當(dāng)

x

3時(shí)，y

0，所以32

3

p

q

0

，即

3p

q

9

.由于

p，qp

2

，1≤q≤2，此時(shí)都有

p2

4q

0

.于是共有

7

組（p，q）都是正整數(shù)，所以

p

1，1≤q≤5；或符合題意．5（甲）．D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有

36

個(gè)，其和除以

4

的余數(shù)分別是

0，1，2，3

的有序數(shù)對(duì)有

9個(gè)，8

個(gè)，9

個(gè)，10

個(gè)，所以0 136

36

36

362 3 3p

9

，p

8

，p

9

，p

10

，因此

p

最大．5（乙）．C解：因?yàn)閍

b

ab

1

(a

1)(b

1)，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個(gè)數(shù)加

1后的乘積不變．設(shè)經(jīng)過

99

次操作后黑板上剩下的數(shù)為

x

，則學(xué)海無涯yn2(xn)，消7學(xué)海無

涯1x

1

(11)(1

1)(1

1)2 3( 1)

，100解得x

1

101，

x

100

．二、填空題6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的結(jié)果分別為3x－2，3(3x－2)－2=9x－8，3(9x－8)－2=27x－26，3(27x－26)－2=

81x－80.由已知得

27x－26≤487，81x－80＞487.解得 7＜x≤19.容易驗(yàn)證，當(dāng)

7＜x≤19

時(shí)，

3x

2

≤487

9x

8≤487，故

x

的取值范圍是7＜x≤19．6（乙）.7解：在11 1

a

b

b

c

c

a

9

10

兩邊乘以a

b

c

9

得3

c a

10

即

7a

b b

c c

a a

b b

c c

ab c a b7（甲）．8解：連接

DF，記正方形

ABCD

的邊長為

2

a

.

由題設(shè)易知△

BFN∽△

DAN

，所以AD

AN

DN

2

，BF NF BN 1由此得

AN

2NF

，所以

AN

2

AF

.3在

Rt△ABF

中，因?yàn)?/p>

AB

2a，BF

a

，所以AF

AB2

BF25a

，于是AF

5cosBAF

AB

25

.由題設(shè)可知△ADE≌△BAF，所以

AED

AFB

，AME

1800

BAF

AED

1800

BAF

AFB

90

.于是AM

AE

cosBAF

25a

，5MN

AN

AM

2AF

AM

45a

，3 15學(xué)海無涯1x1(11)(11)(18AF 15SAFD學(xué)海無

涯SMND

MN

4

.2AFD又

S

1

(2a)

(2a)

2a2

，所以

SMNDAFD

4

S

8a2

.15 15因?yàn)閍

15

，所以

SMND

8

.7（乙）.285解：如圖，設(shè)

DE

的中點(diǎn)為

M

，連接OM

，則OM

DE

．因?yàn)镺B

202

122

16

，所以BC

20

5OB

OC

1612 48OM

，CM

OC2

OM2

36，

BM

64．5 55 5 5CE

BD（EM

CM）（DM

BM）

BM

CM

64

36

28

．8（甲）．

23解：根據(jù)題意，關(guān)于

x

的方程有由此得

=k2－4

(

3

k

2

3k

9)

≥0，4 2(k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，從而

k=3.

此時(shí)方程為

x2+3x+

9

=0，解得

x1=x2=

3

.4 22x

2012x

2011故

1 =21 2x 3=

．8（乙）.1610解：

n2

n

3n2

n

3

n2

32

n2

n4

5n2

9因此5

|

(n4

9)

，所以n4

1(mod

5)

，因此n

5k

1,或5k

22012

5

4022所以共有XXXX-402=1610個(gè)數(shù)9（甲）．82解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為a

，勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為b

，由題設(shè)知2a

3b

130

，由此得

0≤b≤43.又

a

b

(m

1)(m

2)

，所以2a

2b

(m

1)(m

2)

.

于是0≤

b

130

(m

1)(m

2)

≤43，AF 15SAFD學(xué)海無涯2AFD又S 19學(xué)海無

涯87≤

(m

1)(m

2)

≤130，由此得

m

8

，或m

9

.2 2當(dāng)

m

8

時(shí)，

b

40，a

5

；當(dāng)m

9

時(shí)，

b

20，a

35

，

a

a

b

55

，不合題設(shè).故

m

8

．9（乙）.2

1c3

5

aa

b

c(1)解：依題意得：

1

1 1

(2)b c a，所以b

c

a

，代入（2）得1 1 11 1a b c c

a

c

，兩邊乘以

a

得1

a

a 即

c

a

ac

a c

， c c

a

，化簡得a2

3ac

c2

0

，兩邊除以c2

得

a

2a)

1

0所以3

5a 3

5

c

3(c2c 2另一方面：a≤b≤c，所以a

13

5綜合得ac2c

1ca另解：可令

k

，由（1）得b

(1

k)c

，代入（2）化簡得k2

3k

1

0

，解得2 23

5 3

5

k

另一方面：a≤b≤c，所以k

1

，

綜合得，23

5

k

1．10（甲）．

3

22解：如圖，連接

AC，BD，OD.由

AB

是⊙O

的直徑知∠BCA

=∠BDA

=

90°.依題設(shè)∠BFC

=

90°，四邊形

ABCD

是⊙O的內(nèi)接四邊形，所以∠BCF

=∠BAD,所以

Rt△BCF∽R(shí)t△BAD

，因此BC

BACF

AD

.因?yàn)?/p>

OD

是⊙O

的半徑，AD

=

CD，所以

OD

垂直平分

AC，OD∥BC，學(xué)海無涯2 2當(dāng)m8時(shí)，b40，a10學(xué)海無

涯于是DE

OEDC

OB

2

.

因此DE

2CD

2AD，CE

3AD

.由△

AED

∽△

CEB

，知

DE

EC

AE

BE

．因?yàn)?/p>

AE

BA，BE

3

BA，2 2BA

3所以

2AD

3AD

BA

，BA=

2

2

AD

，故2 2CF

AD

BC

BA 2

2 2BC

32

.10（乙）.12解：依題意得n

a2

b2

a

ba

b由于n

是偶數(shù)，a+b、a-b

同奇偶，所以

n

是

4的倍數(shù)，即n

4k

，當(dāng)

1≤

n

≤100

時(shí)，4

的倍數(shù)共有

25個(gè)，但要滿足題中條件的唯一正整數(shù)對(duì)（a，b），則：k

p或k

p2

，其中

p

是素?cái)?shù)，因此，k

只能取下列

12

個(gè)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，從而這樣的

n

有

12

個(gè)。

三、解答題11（甲）．解：

因?yàn)楫?dāng)1

x

3時(shí)，恒有

y

0

，所以

（m

3）2

（4

m

2）

0

，即（m

1）2

0，所以m

1．…………（3

分）當(dāng)

x

1時(shí)，

y

≤

0

；當(dāng)

x

3時(shí)，

y

≤

0

，即(1)2

(m

3)(1)

m

2

≤

0

，且32

3(m

3)

m

2

≤

0

，解得m

≤

5

．…………（8

分）

21 2設(shè)方程

x

m

3

x

m

2

0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為

x

，x，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

x1

x2

m

3，x1x2

m

2

．1 1 9 x

x m

3 9因?yàn)?

，所以

1 2

，x1 x2 10 x1x2 m

2 10學(xué)海無涯于是DE OEDC OB 2.因此11學(xué)海無

涯解得m

12

，或m

2

．因此m

12

．…………（15

分）AB

511（乙）.解：因?yàn)?/p>

sin∠ABC=

AO

4

，

AO

8

，所以

AB

=

10．由勾股定理，得

BO

AB2

AO2

6

．易知△ABO≌△ACO

，因此

CO

=

BO

=

6．于是

A(0，8)

，

B(6，0)

，

C(6，0)

．設(shè)點(diǎn)

D

的坐標(biāo)為(m，n)

．由

S△COE

S△ADE

，得

S△CDB

S△AOB

．1 11 12 2 2所以 BC

n

AO

BO

， 12(n)

8

6

．2解得

n

4．827因此

D

為

AB

的中點(diǎn)，點(diǎn)

D

的坐標(biāo)為(3，

4)

．因此

CD，AO

分別為

AB，BC

的兩條中線，點(diǎn)

E

為△ABC

的重心，所以點(diǎn)

E

的坐標(biāo)為(0

，

)

．（也可由直線

CD交

y

軸于點(diǎn)

E

來求得.）3設(shè)經(jīng)過

B，C，E

三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為

y

a(x

6)(x

6)．2將點(diǎn)

E的坐標(biāo)代入，解得

a= ．27

3故經(jīng)過

B，C，E

三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為

y

2

x2

8

．12

（

甲）．

證明：

連接

BD

，因?yàn)?/p>

OB

為 O1

的直徑，

所以O(shè)DB

90

．又因?yàn)?/p>

DC

DE

，所以△CBE

是等腰三角形．…………（5

分）設(shè)

BC

與 O1

交于點(diǎn)

M

，連接

OM，則OMB

90

．又因?yàn)镺C

OB

，所以BOC

2DOM

2DBC

2DBF

DO1F

．…………（10

分）又因?yàn)锽OC，DO1F

分別是等腰△

BOC

，等腰△

DO1F

的頂角，所以△BOC∽△

DO1F．…………（15

分）12（乙）.證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角相等的性質(zhì)知：

CID

IAD

IDA

，學(xué)海無涯…………（15分）AB 511（乙）.解：12學(xué)海無

涯CDI

CDB

BDI

BAC

IDA

IAD

IDA

．所以CID

CDI

，

CI

=

CD．同理，CI

=

CB

．故點(diǎn)

C是△IBD

的外心．連接

OA，OC，因?yàn)?/p>

I

是

AC

的中點(diǎn)，且

OA

=

OC，所以

OI⊥AC，即

OI⊥CI

．故

OI

是△IBD

外接圓的切線．（2）如圖，過點(diǎn)

I

作

IE⊥AD于點(diǎn)

E，設(shè)

OC

與

BD交于點(diǎn)

F．由

BC

CD

，知

OC⊥BD．因?yàn)椤螩BF=∠IAE，BC

=

CI

=

AI，所以

Rt△BCF

≌

Rt△AIE

．所以

BF

=

AE．又因?yàn)?/p>

I

是△ABD

的內(nèi)心，所以

AB

AD

BD

2AE

BD

BD

2BF

BD

．故

AB

AD

2BD．也可由托勒密定理得：

AB

CD

AD

BC

AC

BD

，再將

AC

2BC

2CD

代入即得結(jié)論AB

AD

2BD。13（甲）．解：設(shè)

a－b

=

m（m

是素?cái)?shù)），ab

=n2（n

是自然數(shù)）.因?yàn)?(a+b)2－4ab=

(a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2=

m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n)=

m2.…………（5

分）（1）當(dāng)n

1時(shí)，因?yàn)?/p>

2a－m+2n

與

2a－m－2n

都是正整數(shù)，且

2a－m+2n＞2a－m－2n

(m

為素?cái)?shù))，所以

2a－m+2n

m

2，2a－m－2n

1.解得a

，

n4 4(m

1)2 m2

1.于是b=a－m

4（m

1）2.…………（10

分）又

a≥XXXX，即4(m

1)2≥XXXX.又因?yàn)?/p>

m

是素?cái)?shù)，解得

m≥89.

此時(shí)，a≥4(89

1)

2=2025.當(dāng)

a

2025

時(shí)，

m

89

，

b

1936

，

n

1980

.此時(shí)，a的最小值為

2025.（2）當(dāng)n

0

時(shí)，因?yàn)閍

XXXX，所以b

0

，從而得

a

的最小值為

XXXX（素?cái)?shù)）。綜上所述，所求的

a

的最小值為

XXXX?！?5

分）學(xué)海無涯解得a，n4 4(m1)213學(xué)海無

涯13（乙）.解：設(shè)凸

n

邊形最多有k個(gè)內(nèi)角等于

150°，則每個(gè)

150°內(nèi)角的外角都等于

30°，而凸

n

邊形的

n

個(gè)外角和為

360°，所以k

360

12

，只有當(dāng)n

12

時(shí)，30k

才有最大值

12.

…………（5

分）下面我們討論n

12

時(shí)的情況：（1）當(dāng)n

12

時(shí)，顯然，k

的值是

11；（2）當(dāng)n

3,

4,5,6,7

時(shí)，k

的值分別為

1，2，3，4，5；（3）當(dāng)n

8,9,10,11時(shí)，k

的值分別為

7，8，9，10.…………（10

分）綜上所述，當(dāng)3

n

7

時(shí)，凸

n

邊形最多有n

2

個(gè)內(nèi)角等于

150°；當(dāng)8

n

11時(shí)，凸

n

邊形最多有n

1個(gè)內(nèi)角等于

150°；當(dāng)n

12

時(shí)，凸

n邊形最多有

12

個(gè)內(nèi)角等于

150°；當(dāng)n

12

時(shí)，凸

n邊形最多有

11

個(gè)內(nèi)角等于

150°。.

……（15

分）14（甲）．解：由于

x1，x2， ，x2012

都是正整數(shù)，且

x1

x2

x2012

，所以x1≥1，x2≥2，…，

x2012≥XXXX．x20121 2于是 n

x1 x22012

1

220122012≤

1 2

2012

．…………（5

分）當(dāng)

n

1

時(shí)，令

x1

2012，x2

2

2012， ，x2012

2012

2012

，則1

2

2012

1.x1 x2 x2012…………（10

分）當(dāng)n

k

1時(shí)，其中1≤

k

≤

2011，令

x1

1，x2

2， ，xk

kxk

1

(2012

k)(k

1),xk

2

(2012

k)(k

2)，x2012

(2012

k)

2012

，則x20121

2

x1 x2

2012

k

(2012

k)

12012

k

k

1

n

．綜上，滿足條件的所有正整數(shù)

n

為1，2， ，2012

．…………（15

分）14（乙）.解：當(dāng)n

216

1時(shí)，把2，3，

，n分成如下兩個(gè)數(shù)組：學(xué)海無涯14（甲）．解：由于x1，x2， ，x14學(xué)海無

涯

2

，3，28

，28

1，

，216

1

和

4

，5

，

，28

1

．在數(shù)組

2

，3，28

，28

1，

，216

1

中，由于33

28

（，28）2

216

1，所以其中不存在數(shù)a

，b，c

，使得ab

c

．在數(shù)組

4

，5

，

，28

1

中，由于44

28

1，所以其中不存在數(shù)a

，b，c

，使得ab

c

．所以，

n

216

．下面證明當(dāng)n

216

時(shí)，滿足題設(shè)條件．不妨設(shè)

2

在第一組，若22

4

也在第一組，則結(jié)論已經(jīng)成立．故不妨設(shè)22

4

在第二組．

同理可設(shè)44

28

在第一組，

(28

)2

216

在第二組．此時(shí)考慮數(shù)

8．如果

8

在第一組，我們?nèi)

2

，b

8，c

28，此時(shí)ab

c

；如果

8

在第二組，我們?nèi)

4

，b

8，c

216

，此時(shí)ab

c

．綜上，

n

216

滿足題設(shè)條件．所以，

n

的最小值為216

．（注：也可以通過考慮

2，4，16，256，65536

的分組情況得到

n

最小值為

65536．）學(xué)海無涯15學(xué)海無

涯中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題（共

5

小題，每小題

6

分，共

30

分.）1（甲）．如果實(shí)數(shù)

a，b，c

在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式

a2

|

a

b

|

(c

a)2

|

b

c

|

可以化簡為（ ）．（B）

2a

2b（C）

a（D）a（A）

2c

a1（乙）．如果a

2

12

，那么12

13

a的值為（）．（A）

2 （B）

2（C）2（D）2

2b2（甲）．如果正比例函數(shù)

y

=

ax（a

≠

0）與反比例函數(shù)

y

=

x

（b

≠0

）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一）．個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，－2），那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）．（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3）

（D）（3，2）2（乙）．

在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，滿足不等式

x2＋y2≤2x＋2y

的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）的個(gè)數(shù)為（（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果

a，b

為給定的實(shí)數(shù)，且1

a

b

，那么1，a

1，

2a

b，a

b

1

這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值是（ ）．（A）1 （B）42a

1（C）12（D）143（乙）．如圖，四邊形

ABCD

中，AC，BD

是對(duì)角線，△ABC

是等邊三角形．

ADC

30

，AD

=3，BD

=5，則

CD的長為（ ）．（A）32（B）4（C）2

5（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣．小倩對(duì)小玲說：“你若給我

2

元，我的錢數(shù)將是你的

n

倍”；小玲對(duì)小倩說：“你若給我

n

元，我的錢數(shù)將是你的

2

倍”，其中

n

為正整數(shù)，則

n

的可能值的個(gè)數(shù)是（ ）．學(xué)海無涯（B）2a2b（C）a（D）16OABCE學(xué)海無

涯（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果關(guān)于

x

的方程

x2

px

q

0（p，q

是正整數(shù)）的正根小于

3，那么這樣的方程的個(gè)數(shù)是（ ）．（A）5 （B）

6 （C）

7 （D）85（甲）．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是

1，2，3，4，5，6．?dāng)S兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以

4

的余數(shù)分別是

0，1，2，3

的概率為

p0，p1，p2，p3

，則p0，p1，p2，p3

中最大的是（ ）．（A）

p0 （B）

p1（C）

p2 （D）

p31 12 311005（乙）．黑板上寫有1，

， ，

，共

100

個(gè)數(shù)字．每次操作先從黑板上的數(shù)中選取

2

個(gè)數(shù)a，b

，然后刪去a，b

，并在黑板上寫上數(shù)a

b

ab

，則經(jīng)過

99

次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（ ）．（D）99（A）XXXX （B）101 （C）100二、填空題（共

5

小題，每小題

6

分，共

30

分）6（甲）．按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值

x”到“結(jié)果是否>487？”為一次操作.

如果操作進(jìn)行四次才停止，那么

x

的取值范圍是

.6

（

乙）

.

如果

a

，

b

，

c

是正數(shù)，

且滿足

a

b

c

9

，1 1

，

那么1 10

ab c

b

c c

a a

b的值a

b

b

c

c

a

9為

．對(duì)角線則線D7（甲）．如圖，正方形

ABCD

的邊長為

2

15

，E，F(xiàn)

分別是

AB，BC

的中點(diǎn)，AF

與

DE，DB分別交于點(diǎn)

M，N，則△DMN

的面積是

.7（乙）.如圖所示，點(diǎn)A

在半徑為

20

的圓

O

上，以

OA

為一條作矩形OBAC，設(shè)直線BC

交圓O

于D、E

兩點(diǎn)，若OC

12

，段

CE、BD

的長度差是

。8（甲）.

如果關(guān)于

x

的方程

x2+kx+

3

k2－3k+

9

=0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)4 2根分別OABCE學(xué)海無涯p0，p1，p2，p3中最大17學(xué)海無

涯xyOECABD1 22x

2012x

2011為

x

，

x

，那么

1 的值為

．8（乙）．設(shè)

n

為整數(shù)，且

1≤n≤XXXX.

若(n2

n

3)(n2

n

3)

能被

5

整除，則所有

n

的個(gè)數(shù)為

.9（甲）.

2

位八年級(jí)同學(xué)和

m

位九年級(jí)同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場(chǎng)．記分規(guī)則是：每場(chǎng)比賽勝者得

3

分，負(fù)者得

0

分；平局各得

1

分.

比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為

130

分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則

m的值為

.9（乙）．如果正數(shù)

x，y，z

可以是一個(gè)三角形的三邊長，那么稱（x，y，z）是三角形數(shù)．若（a，b，c）1

1

1

ac和（

，，）均為三角形數(shù)，且

a≤b≤c，則

的取值范圍是

.ab

c10（甲）如圖，四邊形

ABCD

內(nèi)接于⊙O，AB

是直徑，AD

=

DC.分別延長

BA，CD，交點(diǎn)為

E.

作

BF⊥EC，并與

EC

的延長線交于點(diǎn)

F.

若

AE

=

AO，BC

=

6，則

CF

的長為

.10（乙）．已知n

是偶數(shù)，且

1≤

n

≤100．若有唯一的正整數(shù)對(duì)（a，b）使得a2

b2

n

成立，則這樣的

n

的個(gè)數(shù)為．三、解答題（共

4

題，每題

15

分，共

60分）11（甲）．已知二次函數(shù)

y

x2

（m

3）x

m

2

，當(dāng)1

x

3時(shí)，恒有

y

0

；關(guān)于

x

的方程10x2

（m

3）x

m

2

0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于

9

．求m

的取值范圍．11（乙）.

如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy

中，點(diǎn)

A

在y

軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B、C

分別在

x

軸正、負(fù)半軸上，AO

8,

AB

AC,sin

C

45。點(diǎn)

D

在線段AB

上，連結(jié)

CD

交y

軸于點(diǎn)

E，且

SCOE

SADE

。試求圖像經(jīng)過

B、C、E

三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式。12（甲）.

如圖，⊙O

的直徑為

AB

，學(xué)海無涯xyOECABD1 22x2012x2018學(xué)海無

涯O1

過點(diǎn)O

，且與⊙O

內(nèi)切于點(diǎn)

B

．C

為⊙O

上的點(diǎn)，OC與 O1

交于點(diǎn)

D

，且OD

CD

．點(diǎn)E

在OD

上，且

DC

DE

，BE的延長線與 O1

交于點(diǎn)

F

，求證：△BOC∽△

DO1F

．12（乙）．如圖，⊙O

的內(nèi)接四邊形

ABCD

中，AC，BD

是它的對(duì)角線，AC

的中點(diǎn)

I

是△ABD

的內(nèi)心.

求證：（1）OI

是△IBD

的外接圓的切線；（2）AB+AD=2BD.13（甲）.

已知整數(shù)

a，b

滿足：a－b

是素?cái)?shù)，且

ab

是完全平方數(shù).

當(dāng)a

XXXX

時(shí)，求

a

的最小值.學(xué)海無涯12（乙）．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形A19學(xué)海無

涯13（乙）．給定一個(gè)正整數(shù)

n

，凸n

邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于150

？并說明理由．14（甲）.

求所有正整數(shù)

n，使得存在正整數(shù)

x1，x2， ，x2012

，滿足

x1

x2

x2012

，且1

2

2012

n

.x1 x2 x201214（乙）．將2

，

3

，…，

n

（n≥2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)a，b，c

（可以相同），使得ab

c

，求n

的最小值．參考解答學(xué)海無涯14（甲）.求所有正整數(shù)n，使得存在正整20學(xué)海無

涯一、選擇題1(甲)

.C解：由實(shí)數(shù)

a，b，c

在數(shù)軸上的位置可知b

a

0

c

，且

b

c

，所以 a2

|

a

b

|

(c

a)2

|

b

c

|

a

(a

b)

(c

a)

(b

c)

a

．1（乙）．B1111解：1

1

12

2

13

a

1

21

12

2

1 2

1

1

2

1

2

．(y1)

0 (y1)

1；

(y1)2 2 2 2

0 (y1)

1.2（甲）．D解：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對(duì)稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.2（乙）．B解：由題設(shè)

x2＋y2≤2x＋2y，

得

0≤

(x

1)2

(

y

1)2

≤2.因?yàn)?/p>

x，y

均為整數(shù)，所以有(x

1)2

0，

(x

1)2

0，

(x

1)2

1，

(x

1)2

1，解得x

1，

x

1，

x

1，

x

0 x

0 x

0，

x

2 x

2 x

2

y2.

y

1；

y

2；

y

0

y

1；

y

0

y

2；

y

1；

y

0