雙因素方差分析

雙因素方差分析一、雙因素方差分析的含義和類型（一） 雙因素方差分析的含義和內容在實際問題的研究中，有時需要考慮兩個因素對實驗結果的影響。例如上一節(jié)中飲料銷售量的例子，除了關心飲料顏色之外，我們還想了解銷售地區(qū)是否影響銷售量，如果在不同的地區(qū)，銷售量存在顯著的差異，就需要分析原因，采用不同的推銷策略，使該飲料品牌在市場占有率高的地區(qū)繼續(xù)深入人心，保持領先地位，在市場占有率低的地區(qū)，進一步擴大宣傳，讓更多的消費者了解，接受該產品。在方差分析中，若把飲料的顏色看作影響銷售量的因素A，飲料的銷售地區(qū)看作影響因素B。同時對因素A和因素B進行分析，就稱為雙因素方差分析。雙因素方差分析的內容包括：對影響因素進行檢驗，究竟一個因素在起作用，還是兩個因素都起作用，或是兩個因素的影響都不顯著。雙因素方差分析的前提假定：采樣地隨機性，樣本的獨立性，分布的正態(tài)性，殘差方差的一致性。（二） 雙因素方差分析的類型雙因素方差分析有兩種類型：一個是無交互作用的雙因素方差分析，它假定因素A和因素B的效應之間是相互獨立的，不存在相互關系；另一個是有交互作用的雙因素方差分析，它假定因素A和因素B的結合會產生出一種新的效應。例如，若假定不同地區(qū)的消費者對某種品牌有與其他地區(qū)消費者不同的特殊偏愛，這就是兩個因素結合后產生的新效應，屬于有交互作用的背景；否則，就是無交互作用的背景。有交互作用的雙因素方差分析已超出本書的范圍，這里介紹無交互作用的雙因素方差分析。無交互作用的雙因素方差分析。無交互作用的雙因素方差分析是假定因素A和因素B的效應之間是相互獨立的，不存在相互關系；有交互作用的雙因素方差分析。有交互作用的雙因素方差分析是假定因素A和因素B的結合會產生出一種新的效應。例如，若假定不同地區(qū)的消費者對某種顏色有與其他地區(qū)消費者不同的特殊偏愛，這就是兩個因素結合后產生的新效應，屬于有交互作用的背景，否則，就是無交互作用的背景。二、數(shù)據結構方差分析的基本思想：通過分析研究中不同來源的變異對總變異的貢獻大小，從而確定可控因素對研究結果影響力的大小。下面用一個簡單的例子來說明方差分析的基本思想：如某克山病區(qū)測得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：患者：0.841.051.201.201.391.531.671.801.872.072.11健康人：0.540.640.640.750.760.811.161.201.341.351.481.561.87問該地克山病患者與健康人的血磷值是否不同？從以上資料可以看出，24個患者與健康人的血磷值各不相同，如果用離均差平方和（SS）描述其圍繞總均數(shù)的變異情況，則總變異有以下兩個來源：組內變異，即由于隨機誤差的原因使得各組內部的血磷值各不相等；組間變異，即由于克山病的影響使得患者與健康人組的血磷值均數(shù)大小不等。而且：SS總=SS組間+SS組內v總=v組間+v組內如果用均方（即自由度v去除離均差平方和的商）代替離均差平方和以消除各組樣本數(shù)不同的影響，則方差分析就是用組內均方去除組間均方的商（即F值）與1相比較，若F值接近1，則說明各組均數(shù)間的差異沒有統(tǒng)計學意義，若F值遠大于1，則說明各組均數(shù)間的差異有統(tǒng)計學意義。實際應用中檢驗假設成立條件下F值大于特定值的概率可通過查閱F界值表（方差分析用）獲得。因素A位于列的位置，共有r個水平，勺表示第j種水平的樣本平均數(shù)；因素B位于行的位置，共有k個水平，吒表示第I種水平的樣本平均數(shù)。五為樣本總平均數(shù)樣本容量為n=rxk。每一個觀察值乂而是由因素A的r個水平和因素B的k個水平所組成的〃弒先總體中抽取的樣本容量為1的獨立隨機樣本。在進行雙因素方差分析時，假定在廠系”個總體中，每一個總體都服從正態(tài)分布，而且有相同的方差。三、離差平方和的分解與單因素方差分析相類似，進行雙因素方差分析時也需要將總離差平方和SST進行分解。但不同的是，這里需要將SST分解成三個組成部分：即SSA：反映因素A的組間差異SSB：反映因素B的組間差異SSE：隨機誤差的離散狀況它們的計算公式分別為：-mG】Ri）奸登"寸二云寸（2）踏二￡.［項二?底頊（3）SSE=SST-SSA-SSB（4）雙因素方差分析表如下：表V-8 雙因素方差分析表誤差來源離差平方和自由度均方差F值A因素SSAx-1MSA=SSA/(x-1)Fa=JISA/MSEB因素3SBK-lMSB=SSB/(K-1^玨=MSB/lrtSE1天差SSE(r-L)(kT)MSE=SSE/tx-1^(k-L)合計SSTn-1

例題：某商品有五種不同的包裝方式，在五個不同地區(qū)銷售?，F(xiàn)從每個地區(qū)隨機抽取一個規(guī)模相同的超級市場，得到該商品不同包裝的銷售資料如表7-9所示。*7-9某種商品不同地區(qū)不同包裝的鎧售資料包袋方式（心AiAiAs銷Bi2012201014售be221020126地2414181810區(qū)B-j164S6ISb52632162010試問，包裝方式和銷售地區(qū)對該商品銷售量是否有顯著影響（a=0.05？解：從上表可看出，設包裝方式為因素A，銷售地區(qū)為因素B。如果五種包裝方式的銷售均值相等，則表明不同的包裝方式在銷售上沒有差別；同理，如果五個地區(qū)銷售均值相等，則表明不同地區(qū)在銷售上沒有影響。所以，方差分析的過程為：（一）建立假設：用A、B分別來表示兩個因素。因素A位于列的位置，有r個水平；因素B位于行的位置，有k個水平，因素A和因素B共有rxk種不同的水平組合。我們對每一種水平組合進行一次試驗，其試驗結果用Xj來表示。并且假定這rxk個觀察值均服從正態(tài)分布，且有相同的方差。全部試驗結果如下表：B2X21X22,…X2j,…X2rX2,BXX,…X,…XXii1i2ijiri----■t■■■■■■■■?1,11BXX,…X,…XXkk1k2kkkrk,XXX,…X,…XX-j■1■2,j,r(5)X"r￥*，"'12，*)，表示第(5)'j_亡1X"'(J一1，2，…，‘)，表示第j列試驗數(shù)值的平均數(shù)。(6)X_-1E￡xrkj_i'_iJ，表示小k個試驗數(shù)值的平均數(shù)。 (7)對上表中的數(shù)據可以這樣來理解，假設A、B兩因素對試驗結果沒有影響，那么rxk個觀察值X'就是來自同一正態(tài)總體的同一個樣本的隨機變量，各個Xjj之間的變異，純是隨機因素所產生的隨機誤差，從而各列間的平均數(shù)應是相等的，且等于總體平均數(shù)。各行間的平均數(shù)也應相等，也等于總體平均數(shù)。如有差異，也是隨機誤差。假如兩個因素對試驗結果有影響，則表現(xiàn)在各列平均數(shù)之間和各行平均數(shù)之間就有明顯的差異，這種差異除隨機誤差之外，還包含了系統(tǒng)偏差，這時就不能認為各個觀察值是來自同一正態(tài)總體的樣本隨機變量了。所以，我們可以做如下假設：對因素A，H0i:*=%=…=口j=…=七 因素A各水平之間無差別對因素B，H02:%=%=…=口'=…=氣 因素B各水平之間無差別通過方差分析，就能對統(tǒng)計假設是否可信作出一定程度的判斷。對于此題：對因素A：樂=冉=地=&=丹包裝方式之間無差別內皈岳「悶，沔不全等包裝方式之間有差別對因素B：??也=如=&乩地區(qū)之間無差異.反如'電英中機不全等地區(qū)之間有差異計算F值：計算各種均值(1)因素A的列均值分別為：x.i-21.6,x,2—12.4^3-16.4,x.4—13.2,xj=11.6(2)因素B的行均值分別為X1,—15.27X2.—14,*、—16.8,X4.—10.-4,xj,—18.8

(3)總均值*=15.04計算各種離差平方和于是，由公式(1) (4)有：=(20-15.04)3+(12-15.04)3+...+[20-15.04)2+(10-15.04/=330.96齡二￡旗[心頊二旗瓦卜-』=5x(21.6-15.04)2+...+5x(11.6-15.04)2=335.36_5x(15.2-15.04)2+...+5x(13.3-15.04)2=199.36SSE=SST-SSA-SSB=880.96-335.36-199.36=346.24計算各種均方差…以335.36MSA=——=83.845-1(尸T)I>T)346.24A1)(3-1)==83.845-1(尸T)I>T)346.24A1)(3-1)=21.64計算F值踞擺彩…若使用計算機，Excel的輸出結果如下:雙因素方差分析表差異源SSdfMSFP-valueFcrit行（因素B）199.36449.842.3031420.1031953.006917列（因素A）335.36483.843.8743070.0218863.00