雙因素方差分析

雙因素方差分析一、雙因素方差分析的含義和類型（一） 雙因素方差分析的含義和內(nèi)容在實(shí)際問(wèn)題的研究中，有時(shí)需要考慮兩個(gè)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。例如上一節(jié)中飲料銷售量的例子，除了關(guān)心飲料顏色之外，我們還想了解銷售地區(qū)是否影響銷售量，如果在不同的地區(qū)，銷售量存在顯著的差異，就需要分析原因，采用不同的推銷策略，使該飲料品牌在市場(chǎng)占有率高的地區(qū)繼續(xù)深入人心，保持領(lǐng)先地位，在市場(chǎng)占有率低的地區(qū)，進(jìn)一步擴(kuò)大宣傳，讓更多的消費(fèi)者了解，接受該產(chǎn)品。在方差分析中，若把飲料的顏色看作影響銷售量的因素A，飲料的銷售地區(qū)看作影響因素B。同時(shí)對(duì)因素A和因素B進(jìn)行分析，就稱為雙因素方差分析。雙因素方差分析的內(nèi)容包括：對(duì)影響因素進(jìn)行檢驗(yàn)，究竟一個(gè)因素在起作用，還是兩個(gè)因素都起作用，或是兩個(gè)因素的影響都不顯著。雙因素方差分析的前提假定：采樣地隨機(jī)性，樣本的獨(dú)立性，分布的正態(tài)性，殘差方差的一致性。（二） 雙因素方差分析的類型雙因素方差分析有兩種類型：一個(gè)是無(wú)交互作用的雙因素方差分析，它假定因素A和因素B的效應(yīng)之間是相互獨(dú)立的，不存在相互關(guān)系；另一個(gè)是有交互作用的雙因素方差分析，它假定因素A和因素B的結(jié)合會(huì)產(chǎn)生出一種新的效應(yīng)。例如，若假定不同地區(qū)的消費(fèi)者對(duì)某種品牌有與其他地區(qū)消費(fèi)者不同的特殊偏愛(ài)，這就是兩個(gè)因素結(jié)合后產(chǎn)生的新效應(yīng)，屬于有交互作用的背景；否則，就是無(wú)交互作用的背景。有交互作用的雙因素方差分析已超出本書的范圍，這里介紹無(wú)交互作用的雙因素方差分析。無(wú)交互作用的雙因素方差分析。無(wú)交互作用的雙因素方差分析是假定因素A和因素B的效應(yīng)之間是相互獨(dú)立的，不存在相互關(guān)系；有交互作用的雙因素方差分析。有交互作用的雙因素方差分析是假定因素A和因素B的結(jié)合會(huì)產(chǎn)生出一種新的效應(yīng)。例如，若假定不同地區(qū)的消費(fèi)者對(duì)某種顏色有與其他地區(qū)消費(fèi)者不同的特殊偏愛(ài)，這就是兩個(gè)因素結(jié)合后產(chǎn)生的新效應(yīng)，屬于有交互作用的背景，否則，就是無(wú)交互作用的背景。二、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)方差分析的基本思想：通過(guò)分析研究中不同來(lái)源的變異對(duì)總變異的貢獻(xiàn)大小，從而確定可控因素對(duì)研究結(jié)果影響力的大小。下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明方差分析的基本思想：如某克山病區(qū)測(cè)得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：患者：0.841.051.201.201.391.531.671.801.872.072.11健康人：0.540.640.640.750.760.811.161.201.341.351.481.561.87問(wèn)該地克山病患者與健康人的血磷值是否不同？從以上資料可以看出，24個(gè)患者與健康人的血磷值各不相同，如果用離均差平方和（SS）描述其圍繞總均數(shù)的變異情況，則總變異有以下兩個(gè)來(lái)源：組內(nèi)變異，即由于隨機(jī)誤差的原因使得各組內(nèi)部的血磷值各不相等；組間變異，即由于克山病的影響使得患者與健康人組的血磷值均數(shù)大小不等。而且：SS總=SS組間+SS組內(nèi)v總=v組間+v組內(nèi)如果用均方（即自由度v去除離均差平方和的商）代替離均差平方和以消除各組樣本數(shù)不同的影響，則方差分析就是用組內(nèi)均方去除組間均方的商（即F值）與1相比較，若F值接近1，則說(shuō)明各組均數(shù)間的差異沒(méi)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，若F值遠(yuǎn)大于1，則說(shuō)明各組均數(shù)間的差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。實(shí)際應(yīng)用中檢驗(yàn)假設(shè)成立條件下F值大于特定值的概率可通過(guò)查閱F界值表（方差分析用）獲得。因素A位于列的位置，共有r個(gè)水平，勺表示第j種水平的樣本平均數(shù)；因素B位于行的位置，共有k個(gè)水平，吒表示第I種水平的樣本平均數(shù)。五為樣本總平均數(shù)樣本容量為n=rxk。每一個(gè)觀察值乂而是由因素A的r個(gè)水平和因素B的k個(gè)水平所組成的〃弒先總體中抽取的樣本容量為1的獨(dú)立隨機(jī)樣本。在進(jìn)行雙因素方差分析時(shí)，假定在廠系”個(gè)總體中，每一個(gè)總體都服從正態(tài)分布，而且有相同的方差。三、離差平方和的分解與單因素方差分析相類似，進(jìn)行雙因素方差分析時(shí)也需要將總離差平方和SST進(jìn)行分解。但不同的是，這里需要將SST分解成三個(gè)組成部分：即SSA：反映因素A的組間差異SSB：反映因素B的組間差異SSE：隨機(jī)誤差的離散狀況它們的計(jì)算公式分別為：-mG】Ri）奸登"寸二云寸（2）踏二￡.［項(xiàng)二?底頊（3）SSE=SST-SSA-SSB（4）雙因素方差分析表如下：表V-8 雙因素方差分析表誤差來(lái)源離差平方和自由度均方差F值A(chǔ)因素SSAx-1MSA=SSA/(x-1)Fa=JISA/MSEB因素3SBK-lMSB=SSB/(K-1^玨=MSB/lrtSE1天差SSE(r-L)(kT)MSE=SSE/tx-1^(k-L)合計(jì)SSTn-1

例題：某商品有五種不同的包裝方式，在五個(gè)不同地區(qū)銷售?，F(xiàn)從每個(gè)地區(qū)隨機(jī)抽取一個(gè)規(guī)模相同的超級(jí)市場(chǎng)，得到該商品不同包裝的銷售資料如表7-9所示。*7-9某種商品不同地區(qū)不同包裝的鎧售資料包袋方式（心AiAiAs銷Bi2012201014售be221020126地2414181810區(qū)B-j164S6ISb52632162010試問(wèn)，包裝方式和銷售地區(qū)對(duì)該商品銷售量是否有顯著影響（a=0.05？解：從上表可看出，設(shè)包裝方式為因素A，銷售地區(qū)為因素B。如果五種包裝方式的銷售均值相等，則表明不同的包裝方式在銷售上沒(méi)有差別；同理，如果五個(gè)地區(qū)銷售均值相等，則表明不同地區(qū)在銷售上沒(méi)有影響。所以，方差分析的過(guò)程為：（一）建立假設(shè)：用A、B分別來(lái)表示兩個(gè)因素。因素A位于列的位置，有r個(gè)水平；因素B位于行的位置，有k個(gè)水平，因素A和因素B共有rxk種不同的水平組合。我們對(duì)每一種水平組合進(jìn)行一次試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果用Xj來(lái)表示。并且假定這rxk個(gè)觀察值均服從正態(tài)分布，且有相同的方差。全部試驗(yàn)結(jié)果如下表：B2X21X22,…X2j,…X2rX2,BXX,…X,…XXii1i2ijiri----■t■■■■■■■■?1,11BXX,…X,…XXkk1k2kkkrk,XXX,…X,…XX-j■1■2,j,r(5)X"r￥*，"'12，*)，表示第(5)'j_亡1X"'(J一1，2，…，‘)，表示第j列試驗(yàn)數(shù)值的平均數(shù)。(6)X_-1E￡xrkj_i'_iJ，表示小k個(gè)試驗(yàn)數(shù)值的平均數(shù)。 (7)對(duì)上表中的數(shù)據(jù)可以這樣來(lái)理解，假設(shè)A、B兩因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有影響，那么rxk個(gè)觀察值X'就是來(lái)自同一正態(tài)總體的同一個(gè)樣本的隨機(jī)變量，各個(gè)Xjj之間的變異，純是隨機(jī)因素所產(chǎn)生的隨機(jī)誤差，從而各列間的平均數(shù)應(yīng)是相等的，且等于總體平均數(shù)。各行間的平均數(shù)也應(yīng)相等，也等于總體平均數(shù)。如有差異，也是隨機(jī)誤差。假如兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有影響，則表現(xiàn)在各列平均數(shù)之間和各行平均數(shù)之間就有明顯的差異，這種差異除隨機(jī)誤差之外，還包含了系統(tǒng)偏差，這時(shí)就不能認(rèn)為各個(gè)觀察值是來(lái)自同一正態(tài)總體的樣本隨機(jī)變量了。所以，我們可以做如下假設(shè)：對(duì)因素A，H0i:*=%=…=口j=…=七 因素A各水平之間無(wú)差別對(duì)因素B，H02:%=%=…=口'=…=氣 因素B各水平之間無(wú)差別通過(guò)方差分析，就能對(duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè)是否可信作出一定程度的判斷。對(duì)于此題：對(duì)因素A：樂(lè)=冉=地=&=丹包裝方式之間無(wú)差別內(nèi)皈岳「悶，沔不全等包裝方式之間有差別對(duì)因素B：??也=如=&乩地區(qū)之間無(wú)差異.反如'電英中機(jī)不全等地區(qū)之間有差異計(jì)算F值：計(jì)算各種均值(1)因素A的列均值分別為：x.i-21.6,x,2—12.4^3-16.4,x.4—13.2,xj=11.6(2)因素B的行均值分別為X1,—15.27X2.—14,*、—16.8,X4.—10.-4,xj,—18.8

(3)總均值*=15.04計(jì)算各種離差平方和于是，由公式(1) (4)有：=(20-15.04)3+(12-15.04)3+...+[20-15.04)2+(10-15.04/=330.96齡二￡旗[心頊二旗瓦卜-』=5x(21.6-15.04)2+...+5x(11.6-15.04)2=335.36_5x(15.2-15.04)2+...+5x(13.3-15.04)2=199.36SSE=SST-SSA-SSB=880.96-335.36-199.36=346.24計(jì)算各種均方差…以335.36MSA=——=83.845-1(尸T)I>T)346.24A1)(3-1)==83.845-1(尸T)I>T)346.24A1)(3-1)=21.64計(jì)算F值踞擺彩…若使用計(jì)算機(jī)，Excel的輸出結(jié)果如下:雙因素方差分析表差異源SSdfMSFP-valueFcrit行（因素B）199.36449.842.3031420.1031953.006917列（因素A）335.36483.843.8743070.0218863.00